Geodetisk mätningskunskap
GEODETISK MÄTNINGSKUNSKAP
AF
J. O. ANDERSSON,
LÄRARE VID KONGL. TEKNOL. INSTITUTET.
*
Med 236 figurer i träsnitt och på 9 stentrycksplancher.
STOCKHOLM.
ALBERT BONNIERS FÖRLAG.
STOCKHOLM.
ALB. BONNIERS BOKTRYCKERI 1876.
Med detta arbete har författaren sökt afhjelpa behofvet
af en lärobok, som med hänsyn till fordringarne vid Kongl.
Teknologiska Institutet tillräckligt fullständigt belyser de
geodetiska instrumentens teori och användning. Det var
först hans afsigt att endast skrifva en instrumentlära. Han
insåg imellertid snart, att ämnet skulle genom en sådan
inskränkning komma att allt för stympadt behandlas och
har derför tillfogadt den afdelning, som sammanfattas under
namnet mätningslära. Härvid befanns det nödigt att i denna
afdelning utesluta den, af ett fåtal studerade, högre (sferiska)
geodesien, för att derigenom ej ytterligare fördyra arbetet.
Då det af flera skäl ej lät sig göra att afhandla de
olika yrkesmätningarne hvar för sig, och detta med hänsyn
till arbetets uppgift för öfrigt ej torde hafva varit fullt
lämpligt, har författaren valt en teoretisk indelningsgrund, enligt
hvilken han hufvudsakligen sökt framhålla det gemensamma
och väsendtliga hos ämnet för alla, som, med skilda
praktiska syften, vilja studera dess grundbyggnad. En följd af
denna indelningsgrund är, att åtskilliga, med anledning af
vårt lands terrängförhållanden hos oss föga brukliga
mätningssätt äfven blifvit afhandlade. Att så skett torde
imellertid från en annan synpunkt låta försvara sig. I den mån
egendomsvärden stiga, måste gränsen mellan mitt och ditt
skarpare bestämmas. Ehuru det grafiska mätningssättet
alltid torde blifva förherrskande hos oss, får det
tvifvelsutan i sinom tid vid många tillfällen grundas på en
strängare stommätning än hittills eller ersättas af strängare
mätningssätt. I England användes ej den grafiska metoden.
I Tyskland börja många framstående geodeter — visserligen
ej alltid utan teoretisk ensidighet — ej blott att yrka på,
utan äfven att använda koordinatmätning, grundad på en
föregående trigonometrisk stommätning.
Det metriska systemet har i arbetet blifvit användt; och
för att underlätta öfvergången till detsamma, finnas alla
vigtiga måttbestämmelser inom parentes i svenskt fotmått, samt
äro reduktionstabeller i slutet af boken anbringade.
Åtskilliga andra i arbetet befintliga tabeller torde i ej obetydlig
mån öka dess praktiska användbarhet.
De bästa äldre och nyare verk inom den geodetiska
literaturen hafva af författaren blifvit rådfrågade; och äfven
om han det oaktadt ej alltid kunnat så kritiskt och
omsorgsfullt förfara som önskligt varit, så vågar han dock hoppas,
att detta arbete måtte välvilligt bedömas och att det måtte
kunna gagna icke blott vid, utan äfven utom det läroverk,
hvarför det egentligen är afsedt.
Stockholm i September 1876.
FÖRFATTAREN.
*
Geodesien har till ändamål, dels att förskaffa oss en
noggran kännedom om jordkroppens grundform, dels att i
bestämd skala gifva oss afbildningar, vare sig i plan eller
profil, af större eller mindre delar af jordytan. Dessa
ändamål vinnas genom mätnings- och räkneoperationer i eller
utan samband med grafiska konstruktioner.
Geodesien får en olika karakter allt efter som den
företrädesvis tjenar vetenskapliga eller rent praktiska intressen.
Man plägar med anledning häraf skilja mellan den högre
och den lägre geodesien.
Den högre (sferiska eller sferoidiska) geodesien lär oss
att bestämma jordkroppens grundform samt, när det gäller
ett helt lands uppmätning, att förlägga och bestämma det
hufvudnät af punkter, hvilka skola tjena såsom utgångs- och
kontrollpunkter för följande mätningar.
Den lägre (plana) geodesien, lär oss att verkställa
detaljmätningar och derför erforderliga stommätningar, vare sig
att de stå i samband med föregående mätningar eller äro
alldeles fristående.
Det är ej likgiltigt i hvilken ordning de geodetiska
mätningsoperationerna företagas. Likasom det enkla problemet,
att med passare indela en meter i millimeter endast kan på
ett praktiskt sätt lösas, genom att metern först halfveras,
derpå indelas i decimeter, så i centimeter, o. s. v., så kan
en fullständig uppmätning af ett helt land endast lyckas,
om man först med vetenskaplig skärpa bestämmer ett
erforderligt antal af öfver hela landet fördelade hufvudpunkter,
derpå från dessa bestämmer andra, mera tätt liggande
punkter och så undan för undan, tills man kommer till detaljerna.
Valde man ett motsatt förfarande, d. v. s. började med
detaljmätningarne, begick man samma fel, som då man
omedelbart sökte afsätta millimeterstrecken, när en meter skulle
med passare indelas i millimeter. Endast genom att gradvis
öfvergå från det stora till det lilla blir det möjligt, att vid
geodetiska mätningar kontrollera och utjemna mätningsfelen.
Af det föregående framgår, att gränsen mellan den högre
och lägre geodesien är svår att bestämma. Såsom en
väsendtlig skilnad kan dock anföras, att den förra beaktar, den
senare lemnar utan afseende jordytans buktiga form. Den
högre geodesiens vetenskapliga syften förutsätta dessutom
noggrannare instrument och omsorgsfullare mätnings- och
räkneoperationer än den lägre geodesiens rent praktiska
syften
topografien. Andra åter, påpekande det ohållbara häri, sammanfatta under
det alltför vidsträckta ordet mätningskunskap såväl den högre som den
lägre geodesien..
Innan vi öfvergå till en närmare redogörelse för de
geodetiska mätningsinstrumentens teori och användning, torde
det vara lämpligt, att under en orienteringsfärd på
geodesiens område angifva de vigtigaste instrumentens platser och
bestämmelser.
Med afseende på arbetets fördelning inom geodesien
särskiljer man:
1) de erforderliga mätningsoperationerna och
2) framställningen af dessas resultat.
Hvad mätningsoperationerna beträffar, hafva vi att
beakta: mätningar i horisontalplanet och mätningar i vertikalplanet.
Mätningar i horisontalplanet. Enligt hvad nyss blifvit
antydt, gå de högre geodetiska mätningarne ut på att med
stor noggranhet bestämma ett färre antal af öfver hela
landet fördelade punkter. Dessa punkter utväljas på så stort
afstånd från hvarandra, som terrängförhållanden samt en med
instrument såvidt möjligt är skärpt synvidd tillåta, och helst
så, att de bilda knutpunkter i ett nät af närmevis liksidiga
trianglar. Hithörande mätningsoperationer pläga
sammanfattas under namnet triangelmätning och bestå uti, att man
bekantgör sig erforderliga storheter, för att kunna beräkna
triangelsidorna och med kännedom af dem punkternas
koordinater, hänförda till en af dessa punkter — vanligen landets
observatorium — såsom origo för ett axelsystem, hvars axlar
äro punktens meridian och en deremot vinkelrätt gående
storcirkelbåge.
Den första storhet, man har att uppmäta vid en
triangelmätning, är en baslinie, från hvilkens ändpunkter
vinkelmätningar kunna begynna. Den baslinie, som skall läggas,
till grund för ett triangelnät af högre ordning, måste
uppmätas med all möjlig noggranhet, under användning af de
finaste längdmätnings-instrument samt under iakttagande af
alla omständigheter, som på resultatet kunna utöfva
inflytande. Man använder härvid ett system af basstänger —
vanligen fyra till antalet. Dessa basstänger, som, på det
att deras temperatur och deraf beroende förändringar samt
deras lutning mot horisonten må kunna uppmätas, äro
försedda med termometrar och vattenpass, läggas på en slags
bockar efter hvarandra i basliniens riktning. När basmätningen
är afslutad, göras alla de korrektioner, som till följd af
mätningssätt och temperaturvexlingar äro behöfliga, och slutligen
reduceras baslinien till medie-hafsytans klot. Naturligtvis
är denna linie i det närmaste en cirkelbåge.
Förr uppmättes långa baslinier; numera uppgå de sällan
till en half svensk mil. Såsom exempel på noggranheten
vid hithörande mätningar kan anföras, att skilnaden mellan
resultaten vid två mätningar af en nära 9000 fot lång
baslinie på Axevalla i Vestergötland, ej uppgick till mer än
två tredjedels linie.
I basliniens ändpunkter mätas sedermera de vinklar,
som densammas vertikalplan bildar med de vertikalplan,
hvari syftlinierna till närmaste triangelpunkter äro belägna.
Likartade vinkelmätningar utföras med teodoliten, hvilken, som
bekant, är ett projektions-instrument, hvarmed såväl
horisontal- som vertikalvinklar, d. v. s. vinklars såväl
horisontal- som vertikalprojektioner kunna mätas. Det är imellertid ej
nog att bestämma de båda vinklarne vid basen, för att kunna
beräkna hithörande trianglar, ty dessa, hvilkas sidor uppgå
till 20 à 60 kilometer (2 à 6 sv. mil) och derutöfver, hafva
så stor utsträckning, att de, såsom varande sferiska trianglar,
ej kunna såsom plana behandlas. En sferisk triangel har
nämligen vinkelsumman större än 180°, och det i samma mån
som triangeln är stor. Derför måste äfven den tredje
vinkeln mätas — detta imellertid äfven af andra skäl. Man
vill nämligen hafva alla vinklar så skarpt bestämda, att
målet endast kan vinnas, genom att med
sannolikhetskalkylen till hjelp göra en felutjemning på grund af många
observationer. Af denna anledning mätes i trianglar af första
ordningen, hvarom här är fråga, hvarje vinkel 30 à 60
gånger. Hafva på detta sätt de trianglar, hvari baslinien
ingår såsom sida, blifvit bestämda, så kunna deras andra,
nu bekanta sidor i sin ordning tjena såsom baser för andra
trianglar — och så undan för undan, såsom närstående figur
utvisar. Sedan baslinien är uppmätt förekomma alltså endast
vinkelmätningar.
Vid triangelmätning af första ordningen understiger
numera vanligen vinkelfelet en sekund, en noggranhet, hvarom
man får en föreställning deraf, att på ett
afstånd af 20626 meter (fot) en decimeter
(tum) ses under en vinkel af en sekund.
Äro alla triangelsidorna i nätet
beräknade, så följer beräkning af samtlige
punkternas koordinater till ett axelsystem,
hvilket, som redan blifvit nämndt, består af
origos meridian och en deremot vinkelrätt
liggande stor-cirkelbåge. Härför erfordras
likväl, att en af de från origo utgående
sidornas azimutvinkel — den vinkel som sidan
bildar med origos meridian — äfven blifvit
bestämd. Dessa koordinater, likasom
triangelsidorna utgöras naturligtvis af cirkelbågar
på basliniens, d. v. s. mediehafsytans klot.
För att gifva en idé om ett dylikt triangelnäts
vetenskapliga betydelse, må i korthet redogöras för bestämningen
af jordradiens storlek och variabilitet, eller, hvad som är
detsamma, bestämningen af den meridianbåglängd, som svarar
mot en vinkel af en grad. De för detta ändamål afsedda
mätningar sammanfattas med anledning häraf under namnet
gradmätning. Är ett triangelnät förlagdt i meridianriktningen,
så kan påtagligen längden af den meridianbåge, som
afskäres af detta nät (ab i föreg. figur), beräknas. Bestämmas
sedan astronomiskt dess ändpunkters latituder (med en orts
latitud förstås, som bekant, den
vinkel, som dess jordradie bildar med
eqvatorsplanet), så äro enligt
vidstående figur bågen ab samt
vinklarne aoc och boc bekanta. Om för
den således äfven bekanta vinkeln
boa båglängden i enhetscirkeln
betecknas med w, så är rw = ab eller
r = ab∕w.
I sjelfva verket är på grund af meridianliniens ovala form
formeln för jordradiens beräkning mera komplicerad. Vi hafva
härmed endast velat approximativt antyda densamma. Är
imellertid jordradien bestämd för på hvarandra följande delar
af meridianlinien, så är denna kroklinies natur gifven. Ehuru
dessa mätningar ännu på långt när ej äro afslutade, så har
man redan funnit, att meridianlinien är en ellipsen sig
närmande oval kroklinie. Den längsta uppmätta meridianbåge
torde vara den rysk-skandinaviska, som upptager den
aktningsvärda längden af 25 ⅟₂ latitudgrader, motsvarande en
sträcka af 382,5 geografiska mil.
Skall triangelnätet af första ordningen läggas till grund för
uppmätningen af ett helt land, så anslutes till detsamma ett
nät af mindre trianglar, trianglar af andra ordningen, hvilka
bilda en öfvergång till ännu mindre, eller dem af tredje
ordningen. Trianglar af tredje ordningen äro vanligen så små, att de
kunna såsom plana betraktas. Man anknyter till hithörande
punkter detaljmätningen, dels genom en triangelmätning af
fjerde ordningen, dels genom bruten liniemätning, hvarvid slutna
eller icke slutna polygoners sidor och vinklar mätas, dels
ock genom en grafisk triangelmätning.
Triangelmätning af fjerde ordningen och isynnerhet
bruten liniemätning användas när detaljpunkterna skola
bestämmas genom koordinatmätning. Koordinatmätningen består uti,
att punkters ordinater till triangel- eller polygonsidorna och
motsvarande abskisslängder mätas och i ett protokoll
antecknas, som, sedan samtlige triangel- och polygonpunkter
blifvit genom sina koordinater kartlagda, lägges till grund för
detaljernas kartläggning. Vid koordinatmätning användes
landtmäterikedjan för mätning af längder och korstaflan,
vinkelspegeln eller prisman för utsättning af räta vinklar.
Grafisk triangelmätning och understundom
triangelmätning af fjerde ordningen användes i händelse af grafisk
detaljmätning. Innan den grafiska triangelmätningen kan taga
sin början, måste först de trigonometriskt bestämda
triangelpunkterna, medelst sina koordinater, uti bestämd skala
kartläggas. Med anledning af omöjligheten att exakt kunna
afbilda den buktiga jordytan på ett plant papper, så måste
man söka använda de projektions- och utbredningsmetoder, som
med hänsyn till landets läge lemna den minsta
förskjutningen. De härvid erhållna kartbladen indelas uti mätblad, af
hvilka hvarje bör innehålla minst två, men helst flera
triangelpunkter. Dessa mätblad spännas sedan å ett på stativ
hvilande mätbord.
Den grafiska triangelmätningen utföres med tub-linial
eller diopter-linial — syftinstrument, vid hvilka syftlinien är
parallel med en till instrumentet hörande linial. Uppställes
mätbordet först öfver den ena och sedan öfver den andra
af två triangelpunkter, så att vid båda tillfällena punkten
på bordet ligger lodrätt öfver motsvarande stationspunkt, och
baslinien på bordet (sammanbindningslinien för punkterna på
bordet) är parallel med baslinien på terrängen
(sammanbindningslinien för punkterna på terrängen), så blifva, om från
båda stationerna kringliggande punkter insyftas och
motsvarande linier utefter linialkanten dragas, trianglar i den gifna
skalan uppritade, hvilka äro likformiga med dem på
terrängen. Sistnämnde punkter blifva således i och med
mätningsoperationerna kartlagda.
Den grafiska detaljmätningen försiggår under
stationering uti de genom triangelmätning af fjerde ordningen, eller
genom grafisk triangelmätning bestämda punkterna, och
utföres på samma sätt som grafisk triangelmätning. Härvid
kan man äfven med fördel betjena sig af distansmätare — ett
syftinstrument, som omedelbart angifver afstånd — om
densamma är försedd med linial. I så fall afsättes det af
instrumentet angifna afståndet till ett föremål från stationspunkten
på bordet utefter den med syftlinien parallela linialkanten.
Koordinatmätning och grafisk detaljmätning utesluta ej
hvarandra, utan användas ofta samfäldt.
Till grund för en fristående planmätning af större
utsträckning lägges med fördel en triangelmätning af fjerde
ordningen eller en bruten liniemätning. Härför nödiga basmätningar
verkställas med enkla träbasstänger, metallbeslagna för ändarne.
Hvad beträffar den noggranhet, som vid
detaljmätningarne bör eftersträfvas, så gäller i allmänhet såsom regel,
att den bör harmoniera med den skala, hvari
kartläggningen skall ega rum. Om man antager, att bredden af ett
medelfint blyerzstreck är 0,1 m. m. (0,03 lin.), så är
felgränsen för afståndsbestämning till enstaka detaljpunkter vid
skalorna ¹⁄₁₀₀₀₀₀, ¹⁄₁₀₀₀₀, ¹⁄₁₀₀₀ lika med respektive 10, 1 och
0,1 meter. När man derför mäter i liten skala, kan
afståndsbestämningen för detaljpunkter ske approximativt, såsom
genom stegning, etc.
Mätningar i vertikalplanet. Höjdmätning verkställes
med teodolit, avvägningsinstrument, sammansatt distans- och
höjdmätningsinstrument och barometer. Man skiljer med anledning
häraf mellan trigonometrisk höjdmätning, afvägning och
höjdmätning med barometer.
Den trigonometriska höjdmätningen, som hufvudsakligen
användes för att bestämma höjdskilnaden mellan
triangelpunkter, eger rum i samband med vinkelmätningen i
horisontalplanet och grundar sig på, att, när det horisontela
afståndet a mellan två punkter (triangelsidans längd) är kändt,
man blott behöfver känna zenitvinkeln z (den vinkel, som
punkternas sammanbindningslinie bildar med stationspunktens
lodlinie), för att kunna beräkna höjdskilnaden mellan dessa
punkter. Lemnas såväl jordytans buktiga form, som
ljusstrålarnes refraktion utan afseende, så låter detta helt enkelt
göra sig ur x = a cot z. Formeln är imellertid för noggranna
och på större afstånd företagna mätningar ej så enkel; ty
då måste dels afseende fästas vid jordytans buktighet, dels,
alldenstund atmosferens täthet varierar med höjden öfver
jordytan, och ljusstrålarne med anledning häraf brytas — häraf
oriktiga zenitvinklar — en korrektions-koefficient införas.
Skall en fullständig höjdmätning af ett land genomföras,
så begagnas de trigonometriskt höjdmätta triangelpunkterna
såsom utgångspunkter för detalj-höjdmätningar, som
verkställas med afvägningsinstrument eller ock med ett
sammansatt distans- och höjdmätningsinstrument.
Höjdmätning med afvägningsinstrument kan endast ega
rum på korta afstånd — sällan öfver 300 meter; dock
kan äfven på detta sätt genom på hvarandra följande
stationeringar, höjdskilnaden mellan två aflägset frän hvarandra
belägna punkter bestämmas. Afvägningsinstrumentet är ett
syftinstrument, som beqvämt medgifver syftliniens inställning
i horisontalplanet. Afvägningen består uti att med
horisontel tub syfta och afläsa på en graderad och besiffrad stång,
som uppställes i de punkter, hvilkas höjdskilnader sökas.
Skilnaden mellan afläsningstalen för två punkter angifver
påtagligen dessa punkters höjdskilnad.
Emedan barometern angifver atmosfertrycket, och detta
enligt bestämd lag aftager med höjden öfver jordytan, så
kan barometern användas för höjdbestämning.
Höjdmätning med barometer medgifver ej den noggranhet
som föregående höjdmätningssätt; dock har man på senare
tider med hänsyn till instrumentets mätningsprincip uppnått
ganska skarpa resultat. Höjdskilnader på 500 à 1000 meter
kunna bestämmas på 2 à 5 meter när. Små aneroidbarometrar
i västficksformat, hafva på senare tider börjat användas vid
undersökningsmätningar och kunna angifva smärre
höjdskilnader på 3 à 4 meter när.
Horisontalmätningarnes resultat framställas dels såsom
ordnade, genom räkneoperationer erhållna sifferuppgifter, dels
genom kartläggning.
Kartläggningen har till ändamål, att på ett åskådligt och
tydligt sätt framställa mätningarnes resultat. En karta kan
imellertid aldrig göras till en fullt trogen afbild af jordytan,
emedan denna, varande en buktig yta, hvarken låter sig till
ett plan utvecklas eller på ett sådant oförändradt projiceras.
Kartor blifva på grund häraf mer falska i samma mån som de
omfatta större delar af jordytan. På plankartor, som endast
upptaga små delar af jordytan, utöfvar dess buktighet ej något
beaktansvärdt inflytande; men på en karta, som omfattar ett
helt land, måste man med hänsyn till landets läge söka
använda den projektions- eller utbredningsmetod, som medför
minsta afvikelsen.
Ändamålet med en genomförd uppmätning och
kartläggning af ett helt land, är i första hand att erhålla en
stomkarta (konturkarta), som sedermera kan läggas till grund för
specialkartor — vare sig att dessa äro afsedda att tjena
militära, ekonomiska eller geologiska intressen. På
stomkartan inläggas nämligen sedermera de detaljer, som för det
speciela ändamålet äro af intresse.
Enligt hvad förut blifvit antydt, kartläggas
triangelpunkterna genom sina, med hänsyn till det antagna
projektions- eller utbredningssystemet beräknade koordinater, och
detaljerna genom uppmätta koordinater eller i och med
grafiska mätningsoperationer. För att tydligt kunna framställa
de föremål, som en karta skall innehålla, måste särskildt
öfverenskomna beteckningssätt, bestående i olika färger,
gränslinier, stilar, o. s. v., användas.
Ytinnehåll måste vid alla på grafiskt sätt upprättade
kartor uttagas på sjelfva kartan. Detta göres med tillhjelp
af små ytmätningsinstrument, som gemensamt benämnas
planimetrar. Vid de genom koordinatmätning upprättade kartorna,
kunna ytinnehåll oberoende af den grafiska mätningsmetodens
ofullkomligheter på grund af mätningsprotokollet beräknas.
För att kopiera en karta, vare sig i samma eller annan
skala, betjenar man sig af instrument, som pläga benämnas
transportörer.
Höjdmätningarnes resultat framställas dels genom på kartan
skrifna höjdsiffror, dels genom nivåkurver, dels ock genom profiler.
Som de påskrifna höjdsiffrorna ej på ett åskådligt sätt
framhålla terrängens höjdförhållanden, användas, när en sådan
åskådlighet eftersträfvas, nivåkurver. Dessa utgöras af
jordytans skärningslinier med horisontela, på lika afstånd från
hvarandra liggande planer. Alla punkter på en sådan kurva
hafva således samma höjd; och genom sina inbördes lägen i
förhållande till hvarandra, åskådliggöra dessa kurver
terrängens höjnings- och sänkningsförhållanden — brantare terräng,
i den mån på hvarandra följande kurver ligga hvarandra nära
och tvärtom. För att för det oinvigda ögat underlätta
uppfattningen, brukas ofta en på kurv-afstånden grundad
schaffrering. Nivåkartor upprättas beqvämast med en för
höjdmätning inrättad distansmätare.
Linieafvägningar åskådliggöras lämpligast genom profiler
— vertikala ytors skärningslinier med jordytan.
*
INSTRUMENTLÄRA.
Mätningsinstrumentens vigtigaste organ.
1. Innan vi öfvergå till de egentliga
mätningsinstrumenten, torde det vara lämpligt att först sysselsätta oss med
några vigtiga organ, som ofta på dem äro anbringade, eller
som vid geodetiska mätningar på ett eller annat sätt ofta
finna användning. Vi hafva såsom sådana att beakta:
hjelpmedel för inställning i lodlinien eller i horisontalplanet,
hjelpmedel för att skarpt angifva eller bestämma riktningar,
samt hjelpmedel för noggran bestämning af längder och
vinklar.
Hjelpmedel för inställning i lodlinien och i
horisontalplanet.
2. För att kunna med noggranhet angifva lodliniens
eller horisontens riktning äfvensom för att understundom
mäta små lutningsvinklar mot lodlinien eller horisonten
betjenar man sig af sättvågen och vattenpasset, hvilka, ehuru af
betydligt olika utseende, teoretiskt stå hvarandra så nära,
att de i detta hänseende kunna samtidigt behandlas.
Om man har en ihålig cirkelring, uti hvilken en
materielt homogen kula kan fritt röra sig, så bibehåller denna
kula, när ringen vrides i vertikalplanet kring sin axel,
förutsatt att all friktion är upphäfd, samma plats i ringen; och
linien, som ringens och kulans centra bestämma,
sammanfaller med lodlinien. Hafva (fig. 1) fyra punkter a, b, c och
d blifvit så bestämda på ringen, att ab och cd äro två mot
hvarandra vinkelräta diametrar, så
kommer, om ringen vrides till
kulans centrum sammanfaller med a,
ab att angifva lodliniens och cd att
angifva horisontens riktning.
Fig. 1.
Är ifrågavarande ring fyld med
en vätska, dock ej helt och hållet
utan så, att en liten gasblåsa
uppkommit, så eger vid dess vridning
i vertikalplanet samma förhållande
rum med blåsan som med kulan,
likväl med den skilnad, att den
förra i motsats till den senare söker högsta punkten af
ringen. Således komma ab och cd att angifva lodlinien och
horisonten, när a sammanfaller med blåsans midtpunkt.
Men icke nog härmed; kulan och blåsan angifva ock
lutningsvinklar. Om nämligen ringen är graderad, så kan i
båda fallen lutningsvinkeln φ, som ab bildar med lodlinien
och cd mot horisonten, afläsas.
Af kulan begagnar man sig vid den för rent praktiska
ändamål afsedda sättvågen; af blåsan åter vid det för
noggranna mätningar afsedda vattenpasset. Intetdera af dessa
instrument har imellertid i verkligheten det utseende, som
förevarande, sammanhanget dem imellan visande figur
antyder, utan äro de, ehuru ej teoretiskt förändrade, gjorda
mera praktiskt användbara. Vi finna derför vid sättvågen
kulan eller lodet fastade med ett snöre i en fix punkt,
hvarigenom ringen undvikes, samt vid vattenpasset endast en
mindre del af ringen använd.
Sättvågen.
3. Vid detta instrument, som finnes afbildadt i fig. 2,
måste punkten p så bestämmas, att linien op är parallel med
linialkanten ab och bildar rät vinkel med linialkanten ac.
Under förutsättning att ab och ac äro mot hvarandra
vinkelräta, bestämmes punkten p på följande sätt: Man uppställer
sättvågen på ett efter ögat horisontallagdt plan (fig. 3) och
utmärker punkten p1, omställer sättvågen och utmärker
punkten p2. Emedan
p1op2
är dubbelt så stor som planets
lutningsvinkel mot horisonten, så blir p bestämd, om
p1p2
halfveras.
Om man på ömse sidor om p afsätter delningsstreck,
teoretiskt eller praktiskt bestämda, så kunna äfven lutningsvinklar
mätas; dock begagnas instrumentet, som föröfrigt
uppträder i många former, oftare för att utsätta än för att
uppmäta sådane.
Fig. 2.
Rörvattenpasset.
4. Rörvattenpasset består af ett — vanligen uti en
messingsdosa inneslutet — böjdt glasrör, i hvilket, till följd
af att det ej helt och hållet är uppfyldt af vätska, en
lättrörlig gasblåsa smyger sig mot dess uppåt vända sida och
dervid alltid sträfvar att ställa sig så högt som möjligt.
Enligt hvad redan blifvit antydt måste detta rör vara böjdt
efter en cirkelbåge. Förr uppnåddes detta på så sätt, att
glasröret upphängdes vid båda ändarne öfver glödande kol,
hvarvid det genom sin egen tyngd cirkelformigt böjdes.
Numera erhålles genom slipning, ehuru med mer
besvär, ett noggrannare
resultat, och hafva så
förfärdigade rör, som
alltid användas på fina
instrument, den form,
som fig. 4 antyder.
Fig. 4.
Till grofva vattenpass användes sprit, till fina
svafveleter. Röret fylles härmed vid vanlig temperatur, tills ett
litet rum återstår och uppvärmes sedan, nerstucket i ett
sandbad, tills vätskan så utvidgat sig, att den helt och hållet
uppfyller detsamma. Tillsmältes röret i detta ögonblick, så
uppkommer vid påföljande afsvalning till vanlig temperatur
blåsan, som således innehåller gas af den vätska, hvarmed
röret blifvit fyldt. Förr begagnades ej annan vätska än
vatten, och blåsan bestod då af vattenånga eller luft. Dessa
vattenpass voro betydligt underlägsna föregående, såväl på
grund af mindre lättrörlig blåsa, som genom uppkomsten af"
farliga spänningar i rören.
5. Blåsans utslag. Med normalpunkt (n i fig. 4)
förstås den punkt å rörets högsta inre generatris — vare sig
att denna punkt är utsatt eller ej — med hvilken blåsans
midtpunkt sammanträffar, då instrumentet angifver horisonten.
För att man må kunna med skärpa observera när detta eger
rum, äfvensom afläsa lutningsvinklar, är röret graderadt på
ömse sidor om denna punkt. Vid gröfre vattenpass består
graderingen uti ett färre antal symetriskt till normalpunkten
liggande streck; vid finare är den fullständig och gjord i
bestämd skala — vanligen pariserlinier.
Med vattenpassets axel (va i fig. 4) brukar man förstå
tangenten i normalpunkten till den inre generatris, hvarå
denna punkt är belägen. När axeln är horisontel
sammanfaller blåsans midt med normalpunkten. Blåsan ligger då
mellan två symetristreck och säges spela in. I motsatt fall
kallas afståndet från blåsans midt till normalpunkten för
utslaget. Dess storlek kan på grund af graderingen i
skaldelar uppskattas genom afläsning vid blåsans båda ändar.
6. Känslighet. Med ett vattenpass" känslighet förstår
man förhållandet mellan utslaget och axelns häremot
svarande lutningsvinkel.
Fig. 5.
Om (fig. 5) utslaget betecknas
med a, lutningsvinkeln med
φ samt rörbågens radie med
r, så kan följande analogi
uppställas:
a∶2πr = φ′∶360 · 60
hvaraf
a∕φ′ = r∕3437,75 = r∕ρ′
må en gång för alla påpekas, att med ρ förstås i det följande reduktionskonstanten för båge och vinkel samt att
180∕π = 57,2958 = ρ⁰
180 · 60∕π = 3437,75 = ρ′
180 · 60 · 60∕π = 206265 = ρ″. (1).
Häraf framgår att
känsligheten växer med radien.
Gjordes r oändligt stor,
blefve utslaget äfvenledes oändligt stort. Röret vore då
cylindriskt; blåsan skulle vid minsta vridning löpa från den
ena ändan till den andra — och vattenpasset vore obrukbart.
Ofvanstående känslighetsformel angifver antalet skaldelar,
som svara mot en minuts vinkel.
Såsom exempel på känsligheten hos vattenpass må
anföras, att af två till en teodolit vid teknologiska institutet
hörande vattenpass, det ena har till utslag 6¹⁄₄ och det andra
11 skaldelar på en minuts vinkel. Vid det förra motsvaras
alltså en skaldel af 10,4, vid det senare af 5,5 sekunder.
Dessa vattenpass höra imellertid på långt när ej till de
känsligaste.
Vill man beräkna krökningsradien hos ofvannämnde
vattenpass, så blir, under antagande att skaldelen är lika med
en pariserlinie samt att en meter är 443 pariserlinier, för
det förstnämnda
r = 3437,75 · 6,25∕443 = 49 meter
samt för det andra
r = 3437,75 · 11∕443 = 85 meter.
I praktiken kan i allmänhet antagas, att en skaldel
motsvarar vid fina höjdmätningsinstrument 2″ — 4″, vid stora
teodoliter 3″ — 10″ samt vid de vanliga
fältmätningsinstrumenten 10″ — 80″. Om man betänker att afläsning kan ega
rum på ¹⁄₈ à ¹⁄₁₀ af en skaldel, så inses att fina vattenpass
medgifva afläsning af lutningsvinklar på bråkdelen af en
sekund när
en likbent triangel, hvars tredje sida är en decimeter (en tum)..
I allmänhet sträfvar man efter att ej få känsligare
vattenpass, än hvad behofvet påkallar, ty ju känsligare desto
besvärligare att få blåsan att spela in. Deremot söker man
i en annan bemärkelse, nämligen med afseende på blåsans
lättrörlighet, hvad beträffar friktionsförhållanden, att få
känsligheten så stor som möjligt. Med anledning häraf anses
blåsans längd ej böra öfverstiga en tredjedel samt ej
understiga en femtedel af rörlängden. Långa blåsor äro under i
öfrigt lika förhållanden lättrörligare än korta.
7. Temperaturens inflytande. Blåsans storlek ändras
med temperaturen. Detta medför endast olägenhet när röret
är utsatt för lokal afkylning eller uppvärmning, i hvilket fall
blåsan ej utvidgar eller sammandrager sig symetriskt. Vid
noggranna mätningar bör man derför skydda röret mot
solstrålar och andedrägt samt fatta det så, att ej lokal
uppvärmning kommer i fråga, och dessutom på sätt som i 10—3) är
visadt bestämma utslaget ur afläsningar vid blåsans båda ändar.
De fina vattenpassen på nyare precisionsinstrument
finner man, med anledning af berörde förhållande, ofta
inneslutna uti trädosor.
8. Rörets infattning. Röret infattas på olika sätt,
allt efter som vattenpasset skall vara liggande, stående eller
hängande, afsedt för horisontalställning af ett plan eller en tub.
Fig. 6.
Fig. 6 visar ett liggande vattenpass, afsedt för
horisontalinställning af ett plan. Som synes, är röret inneslutet i en hylsa,
hvilken upptill har en erforderlig urtagning, för att graderingen
må synas. Denna hylsa är förmedelst ett charnier e och en
skruf j förbunden med en
linial. Sistnämnde skruf, som motverkas af en stark
spiralfjeder, är afsedd för vattenpassets justering, d. v. s. den
tjenar till att bringa dess axel till parallelism med linialens
hvilplan. I stället för en skruf med åtföljande fjeder
användas äfven två skrufvar, som, verkande i motsatta riktningar,
läsa mot hvarandra. Äfvenledes finner man justerskrufven
direkt verkande på röret, som då genom en fjeder pressas mot
honom. Hylsan är i så fall orubbligt fästad vid underlaget.
Fig. 7.
Fig. 7 visar en finare infattning, lämplig när rörombyte ofta
kommer i fråga. Röret hvilar här uti en halfcirkelformad
ränna på mellanlagda stanniolskifvor och fasthålles af två
byglar medelst klämskrufvarne c och c₁. Till venster visas
justerinrättningen i vertikal led; till höger en
tillställning, hvarigenom röret kan förskjutas i horisontel led, om
dess axel skulle ligga skeft i förhållande till underlaget.
Detta senare utgöres här af två fötter med sådan urtagning,
att vattenpasset lämpar sig för horisontal-inställning af en
tub eller en axel. Man kallar ett dylikt vattenpass för
ryttarvattenpass. När detsamma är justeradt, bör dess axel
vara parallel med de tubens två generatriser (ab), i hvilka
fötterna beröra tuben. Vattenpassets axel är då tydligen
äfven parallel med tubens axel. För mindre tuber och för
tappar användes vanligen, såsom i fig. 7, gaffelformad
urtagning; vid större tuber är urtagningen ofta på hvardera
sidan afrundad efter tuben.
9. Pröfning och justering. Härvid har man att
beakta känsligheten samt axelns läge relativt till hvilplanet.
Fig, 8.
1) För att bestämma känsligheten betjenar man sig
vanligen af en apparat (Fig. 8), bestående af ett bräde, som
med sin ena ände
hvilar på två spetsar e
och med sin andra på
en mikrometerskruf,
förmedelst hvilken
denna ände kan höjas
eller sänkas kring den
geometriska axel, som
bestämmes af de båda
spetsarne e.
Skrufvens skifva är
graderad i 100 delar och
medgifver således afläsning af en hundradedels stigning.
Framvrides denna skifva u skaldelar, så blir, om
skrufvens stigning betecknas med t, liniära höjningen eller
sänkningen ut∕100; och häremot svarande vinkeln erhålles, om
armens längd betecknas med l, ur tang φ = ut∕(100l). Som φ
är en mycket liten vinkel, så kan utan märkbart fel tangenten
utbytas mot bågen; således φb = ut∕(100l). Som vidare
φ min. = ρ′ · φb
= [(ρ′t)∕(100l)] · u
och t∕l är en för hvarje apparat
karakteristisk konstant, så blir, om (ρ′t)∕(100l) tecknas med k,
Uppställes vattenpasset på detta bräde, och det visar
sig, att mot u skaldelar på skifvan svarar utslaget a —
erhållet genom afläsning vid blåsans båda ändar — så fås
känslighetsförhållandet (antalet skaldelar på röret, som svarar
mot en minuts vinkel) ur
a/φ min. = a/(k · u)
Vanligen tages ett medium af flera observationer för
olika värden på u. Vid känsliga vattenpass måste man efter
hvarje rörelse på skrufven vänta 1 à 2 minuter, tills blåsan
lugnat sig.
Hos tubinstrument med vattenpass på tuben kan man på
ett enkelt sätt, hvarför vid afvägningsinstrumentet finnes
närmare redogjordt, pröfva känsligheten hos vattenpasset.
Samtidigt med pröfningen af känsligheten försiggår
undersökningen, om hvarje skaldel på röret svarar mot samma
vinkel, ty härpå beror i väsendtlig mån vattenpassets
godhet. Helt och hållet felfritt i detta afseende kan ej
detsamma åstadkommas; dels inverka friktionsförhållanden vid
blåsan, dels är det ej möjligt att med matematisk skärpa
slipa röret efter en cirkelbåge.
2) För att undersöka om vattenpassets axel är parallel med
hvilplanet, kan man gå tillväga på två sätt.
Fig. 9.
Om ett vattenpass, som uppfyller detta vilkor, uppställes
på ett underlag och sedan afläsning egt rum ändvändes, så
måste detsamma i båda lägena angifva samma lutningsvinkel
för underlaget, d. v. s. i båda fallen gifva samma utslag
åt samma håll. Häraf följer omvändt, att vattenpasset är
felaktigt, om olika utslag under ofvannämnda förhållanden
erhållas. Att uti ifrågavarande afseende justera ett
vattenpass, är således att bringa det till att gifva samma utslag
åt samma håll, då det
intager två motsatta
lägen på underlaget.
Kände man (fig. 9 10)
utslaget aφ, som
svarar mot underlagets
lutningsvinkel φ, så
hade man blott att
med justerskrufven
bringa det på
underlaget uppstälda vattenpasset
att angifva detta utslag. aφ kan imellertid lätt
erhållas ur de båda aflästa utslagen a och a1 som svara mot
vinklarne ψ och ψ1.
Betecknas för öfrigt felvinkeln mellan vattenpassets axel
och hvilplanet med β och det motsvarande utslaget med aᵦ,
så är, emedan utslagen äro proportionela mot vinklarne, om
φ > β (fig. 9),
a₁ = aᵩ — aᵦ,
samt om β > φ (fig. 10)
a₁ = aᵦ — aᵩ.
Elimineras aᵦ i båda fallen, så erhålles, om resultaten
sammanställas,
I förra fallet (fig. 9) har blåsan tydligen gifvit de båda
utslagen åt samma håll, i senare fallet (fig. 10) åt motsatta
håll. Man kan derföre uppställa följande regel: När de båda
utslagen gå åt samma håll, erhålles aᵩ af deras halfva summa;
när de gå åt motsatta håll af deras halfva skilnad.
Sedan aᵩ är kändt, så har man, såsom redan blifvit
nämndt, då vattenpasset innehar något af de båda
ofvannämnda lägena, att vrida justerskrufven j (fig. 6) tills blåsan
angifver detta utslag. I allmänhet får förfarandet upprepas
en eller flera gånger.
I stället för ofvan beskrifna justersätt, som är ytterst
lätt att utföra, ej fordrar något ställbart underlag och derför
medför stor tidsbesparing vid känsliga vattenpass" justering,
angifva de geodetiska läroböckerna slentrianmessigt följande
justersätt, som egentligen blott är ett specielt fall af
föregående och endast lämpligt vid justering af de gröfre, på
den vanliga afvägningstuben anbringade vattenpassen.
Fig. 11.
För utförandet af detta justersätt erfordras ett underlag,
hvars ena ända, vare sig genom skruf eller kil, kan höjas
eller sänkas. Man uppställer
vattenpasset på underlaget
(fig. 11) samt bringar med
tillhjelp af nämnde skruf blåsan
att spela in. Axeln är då
horisontel. Vändes sedan
vattenpasset om, så att det får
det streckade läget, så spelar
blåsan, när detsamma är
ojusteradt, ej längre in, utan gifver utslag för en vinkel ψ = 2β.
Utslagsvinkeln ψ är således dubbelt så stor som
felvinkeln mellan axeln och hvilplanet, eller som hvilplanets
lutningsvinkel mot horisonten. Om derför halfva utslaget
bortskaffas medelst justerskrufven, så blir vattenpassets axel
parallel med hvilplanet — och vattenpasset är justeradt. För
att förvissa sig att operationen blifvit riktigt utförd, bringar
man derpå blåsan att spela in med underlagets skruf,
omställer vattenpasset ånyo och förfar som ofvan, i fall ännu
något utslag visar sig. I de flesta fall behöfvas flera
omställningar, innan man får blåsan att spela in i båda lägena:
ty det är i allmänhet svårt att skarpt halfvera utslaget,
isynnerhet då det är stort. Regeln för vattenpassets
justering blir i detta fall: Bringa blåsan att skarpt spela in med
underlagets skruf; ställ sedan om vattenpasset och bortskaffa halfva
utslaget med justerskrufven.
När ett omställbart ryttarvattenpass hvilar på en tub,
bringas blåsan att spela in med den eller de skrufvar, som äro
afsedda för tubens horisontalinställning, och efter omställningen
sker justeringen som ofvan med vattenpassets justerskruf.
Ar ett vattenpass fast förbundet med en tub, så
begagnas det i de flesta fall för att ställa tubens rörelseaxel
lodrätt. Justeringen består då uti att bringa vattenpassets axel
att bilda rät vinkel med nämnde rörelseaxel. I detta fall
ersättes, vare sig att man använder det ena eller det andra
af de båda förut afhandlade justersätten, påtagligen (se fig.
9, 10 och 11) vattenpassets omställning med att tuben vrides
180° kring sistnämnde axel.
Vid sådana känsliga vattenpass, som äro anbringade på
höjdmätningsteodoliter eller fina afvägningsinstrument,
inbesparas mycken tid och möda, om det först anförda
justersättet begagnas i stället för det sist anförda. Man undviker
då besväret att bringa blåsan till inspelning med underlagets
grofgängade skrufvar (fotskrufvarne vid nyssnämnde
instrument).
Till en närmare belysning af hithörande förhållanden
återkomma vi längre fram.
Fig. 12
Vid ryttarvattenpass har man äfven att undersöka, om
vattenpassets axel ligger i samma vertikalplan som tubens
geometriska axel; ty om ofvannämnde axlar ligga skeft mot
hvarandra, så kunna de endast vid en ställning hos
vattenpasset samtidigt ligga horisontelt. Hvarje aldrig så liten
vridning af detsamma (fig. 12)
kring tuben i pilens
riktning rubbar detta läge,
emedan den ena ändan a
af röret dervid närmar sig
till under det den andra b
aflägsnar sig från tubens
högsta generatris, hvarigenom a höjes och b sänkes. Eger
vridningen rum i motsatt led, så blir förhållandet omvändt.
Man upptäcker således lätt detta fel, om vattenpasset
vrides fram och tillbaka på den såvidt möjligt är horisontelt
stälda tuben: föres vattenpasset i ena riktningen, så rör
sig blåsan åt motsatt håll mot när det föres i den andra.
Felet, som ej har något farligt inflytande, emedan dylika
vattenpass ej hafva stort vridningspelrum, afhjelpes lätt genom
sidoskrufvarne s och s₁ (fig. 7), med hvilka rörets ena ända
kan i horisontel led förskjutas.
10. Vattenpassets användning kommer i det följande
vid flera tillfällen att belysas. Här må beaktas:
1) Horisontal-inställning af ett plan. Härför kan
användas såväl justeradt som ojusteradt vattenpass. I förra
fallet har man blott att med planets ställskrufvar bringa
blåsan att spela in i hvardera af två mot hvarandra vinkelräta
riktningar hos vattenpasset; i senare fallet, att i hvardera
af dessa riktningar genom ändvändning gifva åt vattenpasset
två motsatta lägen och med planets ställskrufvar bringa det
derhän, att för dessa lägen samma utslag erhålles åt
motsatta håll (om ett ojusteradt vattenpass ändvändes på ett
horisontalt plan, så ändras lutningshållet men ej
lutningsvinkeln hos vattenpassets axel). Detta utslag, som svarar mot
planets horisontela läge, erhålles ur utslagen för två
motsatta lägen, enligt 9, fallet 2), om aᵩ elimineras i stället
för aᵦ, ur
aᵦ = (a ∓ a₁)/2,
hvarvid — användes när utslagen gå
åt samma, och + då de gå åt motsatta håll.
De riktningar, i hvilka ofvannämnde operationer försiggå,
bero på planets ställskrufvar. Finnas fyra sådana, så
uppställes vattenpasset parallelt med de diagonala
förbindningslinierna; finnas blott tre, så uppställes vattenpasset först
parallelt med två och sedan vinkelrätt emot deras
förbindningslinie (öfver den tredje); ej tvärtom, ty om man först bringar
blåsan att spela in öfver och med den tredje skrufven och
sedan rör vid någon af de öfriga, så ändras blåsans läge,
d. v. s. man upphäfver den föregående inställningen.
2) Vertikal-inställning af en axel försiggår enligt
samma grunder och på samma sätt som horisontal-inställning af
ett plan. Den enda skilnaden består uti att vattenpasset ej
ställes utan vrides kring nämnde axel i någon af de
operationsriktningar, som af ställskrufvarne bestämmas, äfvensom
att ändvändningen ersättes med vridning af 180°. Det torde
väl knapt behöfva påpekas, att en axel står lodrätt, då ett
relativt till den justeradt vattenpass spelar in i två mot
hvarandra vinkelräta riktningar eller då — om vattenpasset
är ojusteradt — i hvardera af dessa riktningar för motsatta
lägen erhålles samma utslag åt motsatta håll. Det utslag, som
svarar mot axelns lodräta ställning, erhålles ur utslagen för
två motsatta lägen af vattenpasset i öfverensstämmelse med
det föregående ur
aᵦ = (a ∓ a₁)/2.
3) Mätning af smärre lutningsvinklar, vare sig att
det är planers eller axlars, kan verkställas med såväl
justeradt som ojusteradt vattenpass. Vill man göra detta
synnerligen noggrant, så bestämmes såsom i det följande
lutningsvinkeln ur afläsningar vid blåsans båda ändar.
Fig. 13
Befinner sig (fig. 13) vid ett justeradt vattenpass
normalpunkten i N — innanför blåsan samt till venster om dess
midt — och dervid vid ena
änden afläsas m samt vid den andra n
skaldelar, så är tydligen (m + n)/2 — n
utslaget för vinkeln φ͵; befinner
den sig åter i N͵ — utanför
blåsan åt samma sida — så är med
samma beteckning (m — n)/2 + n
utslaget för φ͵͵. Lika uttryck
erhållas under i öfrigt lika
förhållanden för symetriska lägen af
normalpunkten på ömse sidor om
blåsans midtpunkt. Utslaget a
erhålles derför ur a = (m ± n)/2,
hvarvid man använder + då normalpunkten faller utom, och —
då den faller inom blåsan; den häremot svarande
lutningsvinkeln φ fås ur
hvarvid α är den vinkel, som svarar mot en skaldel på röret.
Som det är förenadt med svårigheter att få ett känsligt
vattenpass att bibehålla sig justeradt, så brukar man —
isynnerhet vid noggranna mätningar — göra sig oberoende
häraf genom att härleda lutningsvinkeln ur afläsningar i två
lägen.
Om (fig. 9 och 10) en lutningsvinkel φ skall
bestämmas med ett vattenpass, hvars axel bildar en okänd
felvinkel β med underlaget, så söker man på nyss anförda sätt
utslaget a ur afläsningar vid blåsans båda ändar, försätter
vattenpasset i andra läget — vare sig genom omställning
eller vridning kring en axel — och söker, sedan blåsan
lugnat sig, det hithörande utslaget a͵ på samma sätt som a.
När den sökta vinkeln φ är större än felvinkeln β, så är
(fig. 9), om α betecknar vinkeln för en skaldel, aα = φ + β
och a͵α = φ — β;
när förhållandet är motsatt, alltså β > φ,
så är (fig. 10) aα = φ + β och
a͵α = β — φ. Elimineras i
båda fallen vinkeln β, så erhålles
När blåsan för båda lägena gifver utslag åt samma håll,
användes + ; när den gifver utslag åt motsatta håll,
användes —.
Sistnämnda sätt att mäta lutningsvinklar förekommer
isynnerhet inom den trigonometriska höjdmätningen vid
bestämning af alhidad-axelns felställning mot lodlinien. Det
är nämligen i detta likasom i likartade fall med afseende
på tidsbesparing och skärpa förmånligare att med
vattenpasset bestämma afvikelsevinkeln och taga den med i
räkning än att söka med detsamma gifva åt axeln en felfri
ställning.
Dosvattenpasset.
11. Dosvattenpasset består som bekant af en rund
dosa, upptill afslutad med ett sferiskt slipadt glas. Denna
dosa har likasom rörvattenpasset blifvit så fyld med en
vätska, att en gasblåsa uppkommit. Med dosvattenpasset
möjliggöres en snabbare inställning af planer än med
rörvattenpasset, som i så fall behöfver uppställas i två mot hvarandra
vinkelräta riktningar. Naturligtvis lemnar deremot
dosvattenpasset ej någon synnerlig skärpa. Det användes
hufvudsakligen för inställning af mätbord.
Fig. 14
Fig. 14 antyder en af de olika konstruktioner,
hvarunder ifrågavarande vattenpass förekommer. En del
dosvattenpass hvila på
fyra skrufvar, hvilka
derjemte äfven
äro afsedda för
justering. Denna
operation försiggår alldeles som vid rörvattenpasset, dock uti två
mot hvarandra vinkelräta riktningar.
Hjelpmedel för att angifva eller bestämma
riktningar.
12. Vid geodetiska mätningar måste ofta riktningar
bestämmas eller angifvas. För detta ändamål betjenar man
sig af syftinstrument, hvilka äro försedda med två fina, på
lämpligt afstånd från hvarandra förlagda punkter eller linier,
som bestämma en syftlinie (kollimationsaxeln) eller ett
syftplan (kollimationsplanet). Det organ, som vid dessa
instrument innehåller syftinrättningen, är vanligen dioptern eller
tuben.
anföras här, finnes vid detta instrument närmare redogjordt.
Dioptern.
13. Dioptern består utaf två delar, okular och objektiv.
Okularet uppbär den punkt af kollimationsaxeln, som vändes
mot ögat, objektivet den andra punkten, som vändes åt
föremålet. Vanligtvis äro okularet och objektivet fast förenade
medelst en linial.
Fig. 15 utvisar en diopter i dess enklaste form.
Kollimationsaxeln bestämmes här af ett rundt hål i okularplattan
samt af ett hårkors, bestående af två fina metalltrådar i
objektivplattan.
Fig. 15.
Dioptersigten, afsedda för planmätning, äro vanligen
inrättade på annat sätt. Emedan dessa böra gifva alla linier
i samma vertikalplan samma horisontalprojektion, måste de
angifva ett vertikalt kollimationsplan. Okularet innehåller
derför en syftspricka och objektivet en tråd. Naturligtvis
måste spricka och tråd bestämma ett plan, som står vinkelrätt
mot linialens hvilplan.
Fig. 16 och 17 angifva två olika konstruktioner af
dioptersigten för planmätning. I fig. 16, som utvisar den
vanliga landtmäteri-dioptern, äro flera okularsprickor och flera
objektivtrådar så anordnade, att syftning beqvämt kan
försiggå vid alla de lutningsförhållanden, som i praktiken
förekomma. I fig. 17 är hvarje skifva försedd med ett okular
och ett objektiv. Detta senare utgöres ej här af någon
tråd, utan har man genom att göra cirkelformiga
urtagningar erhållit en slags i samma plan liggande spetsar,
som ersätta tråden. Ehuru
dessa objektiv, som
vanligen användas på
grufmätnings-dioptern, äro svåra att
tillverka, så hafva de, väl
utförda, deruti företräde, att
de medgifva ett ljusare och
friare synfält än de
föregående. Diopterlinialen i
fig. 17 är försedd med
dioptersigte för afvägning.
Fig. 16, 17.
För diopterlinialens
användning och pröfning för
planmätning finnes längre
fram redogjordt.
14. Noggranhet. Enligt
vidlyftiga försök, gjorda af
professor Stampfer i Wien
med dioptern, skola okular
med runda hål medgifva
större skärpa vid syftning än sprickor, och bör diametern å
de förra variera mellau hälften och tredjedelen samt
bredden af de senare mellan tredjedelen och femtedelen af en
pariserlinie. Dessa försök hafva vederlagt en förut utbredd
åsigt, att syftningsfelet vore proportionelt med
parallaxvinkeln — den vinkel, som de planer, hvilka gå genom
tråden och sprickans båda kanter, bilda med hvarandra. En
bredare spricka medgifver nämligen enligt Stampfer lika stor
skärpa som en smalare, så länge ej ofvannämnde gränser
öfverstigas. Detta förhållande torde finna sin
förklaringsgrund deruti, att ögat alltid söker midten af sprickan.
Som för ett normalt öga afståndet för tydliga seendet
är ungefär 270 m.m., bör afståndet mellan okularet och
objektivet ungefärligen vara 270 m.m. Vanliga afståndet hos oss
är 380 m.m. Föröfrigt bör den öppning, i hvilken
objektivtråden är placerad, vara tillräckligt stor, på det att
förvillande kantstrålar (inflektionsstrålar) må undvikas.
Med ett vandt öga, en god diopter och lämplig signal
(bricksignal med cirklar), kan man under fördelaktig dager
syfta rätt på 10 à 20 sekunder när, oaktadt nyssnämnde
parallaxvinkel uppgår till 5 à 6 minuter. Med vår vanliga
landtmäteridiopter kan i anseende till grof objektivtråd
under vanliga förhållanden ej påräknas större skärpa, än att
felet belöper sig till en minut. Försök gjorda af Sefström
i Sverige hafva visat, att under lika förhållanden samma
skärpa vinnes med grufdioptern (ej känd af Stampfer) som
med landtmäteridioptern.
Hvad som mest medverkar till det fel, man vid
syftning med diopter gör sig skyldig till, är måhända den
omständigheten, att ögat måste samtidigt se den nära liggande
tråden och det aflägsna föremålet. Trådens och föremålets
bilder kunna nämligen på grund af den stora
afståndskilnaden ej med skärpa sammanträffa på näthinnan. Såväl med
anledning häraf som isynnerhet deraf att dioptern ej låter
föremålet framträda förstoradt, är den hvad beträffar skärpa
och användbarhet underlägsen tuben.
Den enkla astronomiska tuben.
15. Vid geodetiska mätningar begagnas astronomisk
tub. Den astronomiska tuben består i sin enklaste
sammansättning af två linser, af hvilka den som är vänd åt ögat
kallas okular, den som är vänd åt föremålet objektiv.
Objektivet föranleder uppkomsten af en upp- och nedvänd bild af
föremålet, och medelst okularet sättes man i tillfälle att
betrakta denna bild under en större synvinkel, än hvad
möjligt är med blotta ögat.
Fig. 18.
Enligt optiken går från hvarje punkt af ett föremål
alltid en stråle obruten genom linsens optiska medelpunkt; och
hvarje punkt får sin bild, der en sådan stråle och en annan
från punkten utgående, af linsen bruten stråle skära
hvarandra. Som alla strålar, hvilka gå parallelt med optiska axeln,
råkas i bränpunkten, så kan man således, då föremålets
afstånd och linsens bränvidd äro kända, med lätthet konstruera
sig till bildens läge. På så sätt hafva vi (fig. 18) funnit,
om föremålet A ställes på afståndet a framför en lins, hvars
bränvidd är f, att den reela bilden A͵ faller på afståndet a͵.
Storleken af a͵ kan äfven beräknas ur den för linser
gällande formeln
1∕f = 1∕a + 1∕a͵ = (n — 1) (1∕r + 1∕r͵)
hvaraf a͵ = af/(a — f)
Enligt ofvanstående formel är objektivbildens afstånd
från objektivet ej konstant, utan varierar det, ehuru relativt
obetydligt, med föremålets afstånd; och emedan a͵ ökas, då
a minskas och tvärtom, så flyttas bilden närmare objektivet, då
föremålet aflägsnas och tvärtom.
Ofvannämnde konstruktion och formel gälla äfven för
okularlinsen.
För att denna lins imellertid skall kunna spela rol af
förstoringsglas, måste föremålets (objektivbildens) afstånd a′
vara mindre än okularets bränvidd f′. Men när f′ > a′, så
blir enligt formeln (7) okularbildens afstånd a͵′ negativt; och
detta i full öfverensstämmelse med hvad konstruktionen
utvisar, då den låter den virtuela bilden A͵͵ uppkomma på
samma sida om okularet som föremålet (objektivbilden A͵).
Afståndet a′ bestämmes deraf, att okularbilden A͵͵ skall
af ögat ses på afståndet for tydliga seendet. Betecknas detta
för lång- och närsynta personer betydligt olika afstånd med s,
så är (fig. 18), emedan ögat, närmevis är placeradt i
okularets bränpunkt och a͵′ är negativt, a͵′ = — (s — f′) och således enligt formeln (7)
1/f′ = 1∕a′ + 1∕(f′ — s), hvaraf a′ = f′[1 — (f′∕s)]
Emedan afståndet s är stort vid jemförelse med f′, så
framgår af ofvanstående formel, att objektivbilden bör ligga
helt obetydligt innanför linsens branvidd; och som långsynta
personer hafva afståndet för tydliga seendet större än
närsynta, så framgår af densamma dessutom att de förra önska
afståndet mellan objektivbilden och okularet större än de
senare.
16. Förstoring. Man brukar härmed vid en tub
förstå förhållandet mellan den vinkel, hvarunder
objektivbilden synes genom okularet och den vinkel, hvarunder blotta
ögat ser föremålet. Om förstoringen betecknas med F, så
är alltså
Härvid är β ej den exakta vinkel, hvarunder ögat ser
föremålet, ty ögat befinner sig ej på afståndet a utan på
afståndet a + tublängden från föremålet. Det fel, som begås
genom att bortkasta sistnämnde, relativt till a obetydliga
storhet, är imellertid högst obetydligt.
Beteckna α och β båglängder i enhetscirkeln, så
framgår af fig. 18 att man approximativt kan sätta
a͵ · β = f′· α
hvaraf
Emedan bildens afstånd a͵ ökas, då föremålets afstånd a
minskas och tvärtom, så följer af ofvanstående formel, att
förstoringen minskas, då föremålet aflägsnas och tvärtom,
och att den således ej är en för hvarje tub karakteristisk
konstant.
Som imellertid f är en obetydlig storhet i förhållande
till a, så kan, om man endast önskar ett approximativt
uttryck på förstoringen, f försummas vid sidan af a.
Förstoringen kan då sägas vara förhållandet mellan objektivets och
okularets bränvidder, eller
F = f∕f′
Förstoringen vid en enkel tub (ej vid den sammansatta),
erhålles således om f och f′ mätas samt nämnde division
utföres
Ramsdens tub blott 9/10 af ögonglasets bränvidd medtagas (se teorien för
dessa tuber).. Ett praktiskt och allmängiltigt sätt att bestämma
förstoringen är följande: Man syftar genom tuben med ena
ögat på en graderad stång (afvägningsstång) och betraktar
med andra ögat omedelbart samma stång samt bringar
dervid stångens bild i tuben att täcka den direkt sedda
stången. Förstoringen är då lika med antalet direkt sedda
skaldelar, som af en i tuben sedd sådan öfvertäckas. Vid de
vanliga fältmätningsinstrumenten är förstoringen 10- till
30-faldig. En företeelse, som ej får förvexlas med förstoringen,
är att bilden synes större i samma mån som föremålet
närmas tuben. Detta står naturligtvis i samband med samma
företeelse, då föremålet närmas det obeväpnade ögat. Såväl
α som β ökas, när föremålet närmas, men förhållandet
α/β förändras högst obetydligt.
17. Synfält. Härmed förstås det fält, som genom
tuben samtidigt kan öfverskådas. Genom okularet kan man i
allmänhet ej se större fält än okularet sjelf, ty strålar från
punkter, som ligga utanför detta fält, råkas ej på näthinnan
och gifva derför upphof till orediga bilder. Det anbringas
med anledning häraf på det ställe, der objektivbilden bör
uppstå, en ring, som utestänger dylika strålar. Denna ring
kallas som bekant för diafragma.
Fig. 19.
Såsom mått på synfältets storlek anses (fig. 19) vinkeln
β, som bildas af de diametralt motsatta gränsstrålarne hos den
ljuskon, som med objektivets optiska medelpunkt till spets
har diafragmans öppning till bas. Storleken af denna vinkel
erhålles närmevis ur
β⁰ = (360∕2π)∙(d∕f) = 57,2958 d∕f,
hvarvid d är diafragmans diameter. Om d antages vara ⅔f"
(erfarenheten utvisar att d ej bör tagas större), så är
eller enligt formel (12)
Häraf framgår, att synfältet är omvändt proportionelt mot
förstoringen. För 10- till 30-faldig förstoring ligger β mellan
3°49′ och 1°16′.
18. Ljusstyrka. Om (fig. 19) det obeväpnade ögat
betraktar en elementär del p af ett föremål, så har den
ljuskon, som omsluter samtlige från p i ögat inträdande strålar,
pupillen till bas. Betraktas p genom en tub, så inträda i
ögat, om man afser från reflekterade eller på annat sätt
förlorade strålar, samtlige strålarne uti den stråikon, som har p
till spets och objektivöppningen till bas, förutsatt att
objektivöppningens diameter ej öfverstiger diametern z till den
infallskon, som svarar mot den ur okularet utträdande
stråikonen med ögats pupill till bas; ty de strålar, som gå
utanför nämnde i figuren schaffrerade infallskon, träffa tydligen
ej ögats pupill. Emedan afståndet mellan objektivet och
okularet är i verkligheten obetydligt vid sidan af föremålets
afstånd från objektivet, så kan, om pupillens diameter
betecknas med ö, förhållandet mellan antalet ljusstrålar från p i
ena och i andra fallet, när D ≦ z, sägas vara
πD²∕(πö²) = D²∕ö²; och
påtagligen förhåller sig antalet i ögat inträngande ljusstrålar
från hela föremålet, sedt genom tuben, till antalet sådana
från detsamma, sedt med blotta ögat, äfvenledes som D²∕ö².
De strålar, som gå genom tuben emottagas imellertid
af ögat från en F² gånger förstorad yta (F liniär förstoring);
således erhålles förhållandet mellan antalet ljusstrålar pr
ytenhet från bilden och antalet ljusstrålar pr ytenhet från
föremålet eller
(tubens ljusstyrka)∕(naturl. ljusstyrkan) = (D²∕ö²)∙1∕F²
Denna formel är, i öfverensstämmelse med hvad nyss
blifvit sagdt, endast giltig för D≦z. Söka vi det största värde, som förhållandet mellan tubens ljusstyrka och den
naturliga Ijusstyrkan kan få, så hafva vi således att i
formeln (14) sätta D = z. Enligt föregående är imellertid F = f∕f′,
och (se fig. 19) närmevis z∕ö = f∕f′, hvaraf F = z∕ö = D∕ö. Insättes
detta värde på F, så erhålles
(tubens ljusstyrka)/(naturl. ljusstyrkan) = 1.
Häraf framgår, att en tub ej förmår öka ljusstyrkan,
då föremål på geodetiska afstånd genom den betraktas.
Annorlunda är förhållandet med så ofantligt aflägsna
föremål som fixstjernorna.
En fixstjernas bild i tuben kan anses alstrad af strålar,
som, infallande parallelt med optiska axeln, brytas tillsamman
i bränpunkten. Denna bild blir såsom varande en punkt ej
förstorad genom okularet. Man finner häri förklaring öfver,
hvarför en fixstjerna kan med tub ses om dagen.
Emedan alla strålar från p, som falla utanför den
schaffrerade konen med z till basdiameter, äfven falla utanför det
ur tuben trädande strålknippe, som pupillen förmår rymma,
samt å andra sidan det från tuben utgående ljusknippet ej
förmår uppfylla ögats pupill, när objektivöppningens diameter
är mindre z, så följer att man ej ökar ljusstyrkan genom att
göra objektivets diameter större än z, men att man minskar
henne genom att göra nämnde diameter mindre än z. Om
man derför med Prechtl antager pupilldiametern ö = 1,58 m.m.
(0,53 linie), så utvisar, emedan enligt föregående z = ö∙F =
= 1,58 F,
den relation mellan objektivets diameter (uttryckt i m.m.)
och förstoringen, som bör förefinnas vid den tub, af hvilken
den naturliga ljusstyrkan emotses.
Vanligen är D större än z, på det att man utan förlust
i ljusstyrka må kunna undvara (genom diafragman utestänga)
de orediga bilder åstadkommande kantstrålarne; men
understundom uppdrifves med flit förstoringen på Ijusstyrkans
bekostnad. I sistnämnda fall är D mindre än z, och
ljusstyrkan erhålles, om i formeln (14) insattes ö = 1,58 och den
naturliga ljusstyrkan = 1, ur
hvarvid D uttryckes i m.m.
Det följer af det föregående att denna formel endast
har giltighet, då den lemnar L ≦ 1; och i detta fall utvisar den att ljusstyrkan är inverse proportionel mot qvadraten på förstoringen.
19. Hårkorset. Den astronomiska tuben är ej tjenlig
för geodetiska mätningar förr än kollimationsaxeln blifvit
fixerad. Detta sker genom att i diafragman insätta hårkorset,
som består af två under rät vinkel sig korsande, ytterst fina
trådar, vanligen radiela spindelväfstrådar, men äfven af
platina. Korsningspunkten och objektivets optiska axel
bestämma kollimationsaxeln.
För att hårkorset skall kunna tydligt ses genom
okularet, måste äfven dess okularbild falla på afståndet för
tydliga seendet. Då, enligt hvad formeln (9) angifver,
afståndet mellan okularet och hårkorset önskas olika af långsynta
och närsynta personer, så måste antingen okularet vara
flyttbart relativt till hårkorset eller tvärtom. Vanligen är det
förra händelsen, och, som vi framdeles skola finna, kan
okularets hylsa antingen skrufvas eller skjutas ut och in
inställning på ett föremål.. Hvar
och en måste således fore begagnandet af ett tubinstrument
försätta okular och hårkors på det afstånd från hvarandra,
som hans öga fordrar. Detta sker bäst om tuben riktas mot
himlen. Målet är vunnet, när hårkorset synes tydligast.
Ehuru härvid okularets eller hårkorsets flyttning sällan
öfverstiger en millimeter, så kunna likväl ej långsynta och
närsynta personer begagna samma tub, utan att göra en dylik
justering.
20. Tubens inställning på ett föremål. Då hårkorset
och objektivbilden måste sammanfalla med hvarandra, om
de skola kunna samtidigt betraktas genom okularet, så måste
antingen hårkorset jemte okularet, med oförändradt afstånd
sinsimellan, vara flyttbart; till objektivet eller tvärtom. Det
förra begagnas mest, och äro för den skull såväl okular som
hårkors fastade uti en mindre tub, okulartuben, som på ett
eller annat sätt, vanligen med ett dref och en kuggstång,
kan skjutas ut eller in uti den större objektivtuben.
När hårkorset och objektivbilden skarpt sammanfalla,
säges tuben vara instäld. Det kan likväl hända, att man
tycker sig se båda tydligt, utan att tuben är instäld. Så
är alltid förhållandet, om de ej ligga stilla relativt till
hvarandra, då ögat höjes och sänkes framför okularet. Detta
fel, som föranleder osäkerhet vid syftningen, brukar man
betekna med namnet parallax. Man undviker det genom att
skjuta okulartuben ut eller in tills vid en sådan förflyttning
hårkors och föremål synas ligga orörliga. Finner man
härvid fördel i att betjena sig af regler, så kunna sådane på
grund af följande betraktelser uppställas.
Fig. 20.
Om såsom i fig. 20 hårkorset ligger mellan ögat och
bilden, så synes, när ögat sänkes, bilden skenbart sänka sig,
ty den kommer allt mer och
mer under kollimationsaxeln;
är åter såsom i fig. 21 bilden
belägen mellan ögat och
hårkorset, så synes den, när ögat
sänkes, skenbart höja sig öfver
hårkorset. På grund häraf
följer, att okulartuben måste
skjutas in, då bilden rör sig med, samt dragas ut, då den rör sig
mot ögat.
Den sammansatta astronomiska tuben.
21. Hvarken objektiv eller okular äro vid de
geodetiska instrumenten numera så enkelt ihopkomna som vid den
enkla tuben. På nutidens instrument bestå de hvar för sig
af två linser. Den enkla linsen lemnar som bekant aldrig
fullt tydliga bilder. I samma mån som krökningsradierna
till linsens buktiga ytor minskas, afvika de från optiska axeln
aflägset gående strålarne från de centralas skärningspunkt.
Denna afvikelse, som i hög grad minskar tydligheten hos
den uppkomna bilden, kallas för sferisk aberration. Den
afvikelse, som har sin grund uti, att de elementära färgerna
brytas olika starkt och hvarigenom ögat äfvenledes förvirras,
kallas för chromatisk aberration.
22. Den sferiska aberrationen hos en lins kan
förminskas, om man gifver linsen lämpliga begränsningsytor (den
skulle upphäfvas helt och hållet, om det vore praktiskt
möjligt att slipa linsen efter de elliptiska eller hyperboliska ytor,
som teorien utvisar), samt med diafragma utestänger de mest
divergerande strålarne. Den plankonvexe linsen är, om dess
buktade yta vändes mot föremålet, förmånligare än den
bikonvexe. Vanligen söker man upphäfva den sferiska
aberrationen genom att sammmanställa två plankonvexa linser,
som hafva lämpligt valda bränvidder.
23. Den chromatiska aberrationen. Som de olikfärgade
strålarne brytas olika starkt, så uppkommer egentligen en
bild för hvarje elementär färg. I verkligheten är ej
spridningen så stark, att ögat förmår särskilja dessa bilder, men
spridningen medverkar icke desto mindre till att göra bilden
oredig. Ville man helt och hållet upphäfva den chromatiska
aberrationen, så skulle man bringa de olikfärgade bilderna
att skarpt sammanfalla. Detta är ej praktiskt möjligt (teorien
visar att man då måste använda lika många linser som
antalet färger i spektrum). Alldenstund de violetta strålarne
brytas mest och de röda minst, åtnöjer man sig derför med
att få den violetta bilden att sammanträffa med den röda.
Detta vinnes genom att sammanställa en positiv och en
negativ lins, hvilka hafva lämpligt valda krökningsradier och äro
tillverkade af glas med olika brytnings-koefficienter.
Om (fig. 22) endast den positiva linsen finnes, så komma
af de olikfärgade strålarne de violetta att brytas mest, de
röda att brytas minst.
Finnes endast den
negative linsen, så
blir detta äfven
händelsen. Som
imellertid de båda linsernas
ytor äro buktade åt
motsatta håll, så
inträffar vid den förra,
att de röda strålarne
falla utanför de violetta, under det att vid den senare
förhållandet är motsatt. Det är derföre möjligt, om man
tillverkar den negative linsen af ett material med större
brytningskoefficient än den positive linsens, att forma de båda
linserna så, att, när de sammanfogas, de violetta och röda
strålarne sammanbrytas och alstra en gemensam bild
Ett försök att lösa problemet utan att använda olika glassorter
skulle leda derhän, att de båda yttre ytorna fingo samma krökningsradie
och att således de från linsen utträdande strålarne fingo samma riktning;
som de infallande.. Den
positive linsen bör vara gjord af kronglas, den negative af
flintglas.
24. Det sammansatta objektivet. Emedan vid det
relativt obetydligt buktade objektivet den sferiska aberrationen
utöfvar mindre menligt inflytande än den chromatiska, så
är objektivet vid en tub vanligen sammansatt af ett
achromatiskt linspar. Den formel, som bestämmer linsernas form,
innehåller imellertid, när den sammansatte linsens bränvidd
(för de röda och violetta strålarne) ej är bestämd, alla tre,
och när den är bestämd, två af de buktiga ytornas radier
såsom obekanta. Man har derför i sin makt att äfven forma
det achromatiska linsparet med hänsyn till den sferiska
aberrationens upphäfvande.
Ett sammansatt objektiv, insatt i stället för ett enkelt
sådant, åstadkommer ingen förändring uti de i det föregående
afhandlade egenskaper hos den enkla tuben, om man i stället
för det enkla objektivets bränvidd inför det sammansattas.
Vill man, med kännedom om kron- och flintglaslinsernas
bränvidder f′ och f″, söka den sammansatta linsens bränvidd
f₀, så erhålles den lätt på grund af följande betraktelse:
Strålar från ett oändligt aflägset föremål lemna den positiva
linsen (fig. 22) med tendens att förenas i dess bränpunkt.
Här får man således tänka sig en bild, som relativt till den
negative linsen spelar rol af föremål. Frågan är derför:
På hvilket afstånd f₀ alstrar nämnde lins bilden af detta
föremål? Svaret härpå fås, enligt den allmänna formeln
för linser ur
25. Det sammansatta okularet. Äfven hos okularet
söker man vid nutidens tuber att upphäfva den sferiska och
chromatiska aberrationen. Hos det relativt starkt buktade
okularet utöfvar den förra ett menligare inflytande än den
senare. Man söker derför i främsta rummet att upphäfva
den sferiska aberrationen och låter derför vanligen okularet
bestå af två lämpligt formade plankonvexa linser, som
insättas på passande afstånd från hvarandra. Innan vi redogöra
för de olika slag af sammansatta okular, som i praktiken
finna användning, är det först lämpligt att skärskåda de
förhållanden, som inträda, då en lins ersattes af två.
Fig. 23.
Om från ett oändligt aflägset föremål strålar falla på
en lins L (fig. 23), så brytas de till dess bränpunkt c. Har
imellertid en annan lins L′ blifvit så insatt mellan L och c,
att de båda linsernas optiska axlar sammanfalla, så brytas
strålarne ånyo, låt vara till c′. Förlänges en sådan två
gånger bruten stråle bakåt, tills den råkar sin ursprungliga
riktning, så kan man påtagligen i skärningspunkten anbringa
en lins L͵″ som ersätter de båda föregående, d. v. s. som
ensam bryter på honom parallelt med optiska axeln fallande
strålar till c′. Det frågas då, huru stor bränvidden f″ är
hos denna lins, om de båda andra linsernas bränvidder
betecknas med f och f′. Af fig. 23 kunna följande analogier
härledas: f∕(x + y) = h∕h′ = f″∕y, hvarjemte, om den allmänna formeln
för linser tillämpas på linsen
L′ 1∕f′ = [1∕−(x + y)] + 1∕y.
Häraf får man, om värdet på x + y uttages i den ena och
insattes i den andra eqvationen,
Vill man i stället för afståndet y mellan linsen L′ och
bilden införa afståndet t mellan båda linserna L och L′, så
har man enligt fig. 23 att sätta x + y = f − t. Kombineras
denna eqvation med de båda föregående, hvarvid x och y
elimineras, så erhålles
Med tillhjelp af formlerna (18) och (19) kunna vi närmare
skärskåda de sammansatta okular, som vanligen förekomma.
Dessa äro i främsta rummet Huyghens" och Ramsdens okular.
Huyghens" okular (fig. 24) består af två plankonvexa, åt
samma håll vända linser O och L′, af hvilka den förra kallas
för okularlins, den senare för samlingslins. Dessa båda linser
hafva den gemensamma bränpunkten p. Deras bränvidder
f₀ och f′ förhålla sig till hvarandra som 1∶3, och afståndet
mellan dem är således 2f₀. Buktighets- och bränvidds-
förhållanden äro vid dessa linser så valda, att såvidt möjligt är
både den sferiska och den chromatiska aberrationen upphäfvas.
Fig. 24
De genom det achromatiska objektivet inträdande
strålarne brytas för andra gången af L′, och åstadkomma, när
tuben är instäld, mellan L′ och O i hårkorsets plan en
upp- och nedvänd bild af föremålet, hvilken bild genom
okularlinsen betraktas. Enligt formeln (9) måste denna lins vara
flyttbar relativt till hårkorset. För detta ändamål är den
fästad i en liten gängad hylsa, som kan skrufvas ut eller in.
På en del instrument kan i stället hårkorset flyttas.
Linserna L och L′ verka alldeles som liknämnde linser
i fig. 23. Vi kunna således äfven här tänka oss en
eqvivalentlins L″, som ersätter dem, och hvilkens bränvidd f″
erhålles ur formeln (18).
Som imellertid hårkorset skall betraktas genom
okularlinsen och enligt formeln (9) måste ligga mycket nära dess
bränpunkt, så kan närmevis sättas y = f₀ = f′∕3 , hvaraf
Ofvanstående formel visar, att en samlingslins, så insatt
vid en enkel tub, att en Huygens" tub erhållits, verkar som
om objektivets bränvidd blott vore ⅔ af hvad den var förut.
Enligt formlerna (12), (13) och (16) förhålla sig derför förstoring,
synfält och ljusstyrka hos Huyghens" tub till
förstoring, synfält och ljusstyrka hos den motsvarande enkla tuben
som ⅔, ³⁄₂ och ⁹⁄₄. Emedan en tubs ljusstyrka ej kan
öfverstiga den naturliga ljusstyrkan, så följer att sistnämnde
relationstal endast eger giltighet, då den enkla tubens ljusstyrka
ej öfverstiger ⁴⁄₉ af den naturliga.
Enligt formeln (15) blir, om förstoringen hos Huyghens
tub betecknas med Fh (= ⅔F), vilkorseqvationen för naturlig ljusstyrka vid denna tub:
Ramsdens okular (fig. 25) består likasom föregående af
två plankonvexa linser, okularlinsen L och samlingslinsen
L′, som båda hafva den gemensamma bränpunkten p, och
hvilkas bränvidder f och f′ förhålla sig som 5∶9. Det skiljer
sig från föregående deruti, att de båda linserna hafva sina
buktiga ytor vända mot hvarandra, att de äro relativt till
hvarandra orubbligt fästade uti en skjutbar hylsa samt att
hårkorset k ligger mellan samlingslinien och objektivet.
Fig. 25.
De genom objektivet brutna strålarne alstra här, när
tuben är instäld, en bild, som sammanfaller med det i
närheten af samlingslinsen anbringade hårkorset k. Det
Ramsdenska okularet spelar rol af ett sammansatt förstoringsglas,
och måste derför, på det att olika ögon må kunna begagna
sig af detsamma, de båda linserna vara fästade uti en
relativt till hårkorset skjutbar hylsa.
Linserna L och L′ kunna här anses verka som
liknämnde linser i fig. 23 och kunna således, matematiskt taget,
ersättas af en eqvivalentlins L″, hvars bränvidd fås ur
formeln (19):
Insättas i denna formel f′ = ⁹⁄₅f och t = ⁴⁄₅f, så erhålles
Vill man söka afståndet y mellan samlingslinsen och
hårkorset, så fås ur formeln (18)
om värdena på f″ och f insättas,
Som f sällan öfverstiger 20 m.m. och häremot svarar
y = 3,6 m.m., så synes, att samlingslinsen måste ligga
mycket nära hårkorset.
Formeln (21) visar, att en samlingslins, så insatt vid
en enkel tub, att en Ramsdens tub uppkommit, verkar som
om okularlinsens bränvidd blott vore ⁹/₁₀ af hvad den var
förut. Enligt formlerna (12), (13) och (16) förhålla sig
derför förstoring, synfält och ljusstyrka hos Ramsdens tub
till förstoring, synfält och ljusstyrka hos motsvarande enkla
tub som ¹⁰/₉, ⁹/₁₀ och ⁸¹/₁₀₀. Det sista relationstalet gäller enligt
formeln (15) endast såvida den enkla tubens objektivdiameter
är lika stor eller mindre än 1,58 F m.m. I samband
härmed fås, om förstoringen hos Ramsdens tub betecknas
med Fr ( = ¹⁰/₉F), vilkorseqvationen för naturlig ljusstyrka
hos denna tub:
Jemförelse af föregående okular. Om F, β och L
beteckna förstoring, synfält och ljusstyrka hos den enkla
tuben, och man tänker sig en tredje lins så införd, att ena
gången ett Huyghens" och andra gången ett Ramsdens okular
uppkommit, så gäller enligt föregående följande schema hvad
beträffar förstoring, synfält och ljusstyrka vid ifrågavande tuber.
+-------------+---------------+-----------+-------------+
| | Kepler. | Huyghens. | Ramsden. |
|=============+===============+===========+=============|
|Förstoring.. | F = f∕f′ | ⅔ F | ¹⁰/₉ F |
|Synfält..... | β = 38,2/F | ³/₂ β | ⁹/₁₀ β |
|Ljusstyrka.. | L = 0,4 D²∕F² | ⁹/₄ L *) | ⁸¹/₁₀₀ L **) |
| *) Gäller endast för L ≦ ⁴/₉. |
| **) Gäller endast för L ≦ 1. |
Om vi bortse från den Keplerske tuben, som vid
geodetiska instrument numera ej begagnas, så följer af det
föregående — så snart Huyghens" och Ramsdens tuber kunna
anses hafva uppkommit genom inskjutning af en
samlingslins vid samma enkla tub — att den förre har större
synfält men mindre förstoring än den senare, vidare, om vid
ofvannämnde enkla tub
ljusstyrka än den senare.
För att vid en Huyghens" och en Ramsdens tub samma
ljusstyrka må erhållas, måste, om denna ljusstyrka (tillföljd
af en uppdrifven förstoring) blir mindre än den naturliga,
1:o) när de båda tuberna skola hafva lika okularlinser och
samma objektivbränvidd, objektivdiametern vid Ramsdens
tub förhålla sig till objektivdiametern hos Huyghens" tub som
5 : 3 och 2:o) när de båda tuberna skola hafva lika
okularlinser och samma förstoring (Fh = Fr), således äfven samma
objektivdiameter, objektivbränvidden vid Ramsdens tub
förhålla sig till objektivbränvidden vid Huyghens" tub som 3 : 5.
Huyghens" okular lider af en brist i så måtto, att den
sferiska likasom den chromatiska aberrationen ej blir i
samma mån upphäfd för de från hårkorset utgående strålarne
som för de från objektivet kommande, bilden alstrande
strålarne; ty samlingslinsen har på de förra ej utöfvat något
inflytande. Dessutom få vid Huyghens" okular de båda
linserna ej förblifva på det afstånd från hvarandra, som i och
för achromatiseringen är förmånligast, emedan allt efter som
olika ögon fordra, okularlinsen måste skrufvas ut eller in
för att hårkorset må synas tydligt. Dessa båda olägenheter
äro, så länge det blott är fråga om ett centreradt hårkors,
utan betydelse; men om tuben är inrättad för
distansmätning, i hvilket fall den besitter öfver och under midtelkorset
liggande distanshårkors, så synas hithörande trådar otydliga
och böjda. På grund såväl häraf som af den starka
förstoringen hos Ramsdens okular användes detta förmånligast vid
distanstuber.
Vid teodoliter bibehålles ännu mest Huyghens" okular,
men vid afvägningsinstrument synes Ramsdens okular mer
och mer blifva förherrskande.
Fig. 26.
Det ortoskopiska okularet, uppfunnet af Kellner, skall
i ännu högre grad än de båda föregående upphäfva sferisk
och chromatisk aberration samt medgifver dessutom att bilden
af ett plant föremål blir plan. Häraf dess namn. Tyvärr
är dess fullt riktiga
sammansättning och utarbetning en hemlighet,
som uppfinnaren tagit med sig i
grafven. Detsamma, som är i fig.
26 antydt, består af en
achromatisk okularlins jemte samlingslins,
och närmar sig för öfrigt, om man
undantager linsernas form samt
införandet af en diafragma mellan okularlinsen och
samlingslinsen, Ramsdens okular.
Det prismatiska okularet (fig. 27) är egentligen afsedt
för att underlätta observationer vid vissa lägen af tuben,
synnerligen observationer i
zenith, och har sitt namn af en
införd rätvinklig prisma, som
så bryter de från objektivet
kommande strålarne, att det
blir möjligt att göra
observationer i en mot tuben
vinkelrät riktning. Det egentliga
okularet kan vara hvilket som
helst af de i det föregående
beskrifna.
Fig. 27.
Tubens pröfning och justering.
26. Af en god tub fordrar man tydliga och skarpa
bilder samt, om den är vridbar kring sin geometriska axel,
att objektiv och hårkors skola vara noggrant centrerade.
27. Pröfning af tydlighet och skärpa hos en tub sker
enligt Frauenhofer bäst på följande sätt. Man tecknar på
en hvit tafla några regelbundna, svarta figurer, qvadrater
eller cirklar med 30 till 70 millimeters diameter, och
betraktar dem vid stark dager på 50 à 80 meters afstånd genom
tuben. Synas dessa figurer öfverallt jemnsvarta, och
bibehålla de sin form, så är tuben god. En svag blå färgton i
kanterna har dock härvid intet att betyda; tvärtom är den
karakteristisk för de bästa tuber af Frauenhofer och har sin
grund deruti, att han, lemnande åsido de minst skadliga
mörkblå och violetta strålarne, i främsta rummet sökt förena
de öfriga. Vid en dåligt achromatiserad tub öfvertygar man
sig lätt, om felet ligger hos okularet eller objektivet, genom
att betrakta objektivbilden vid okularets centrum. Visar sig
då ingen färgspridning, så är objektivet felfritt.
Med hänsyn till den sferiska aberrationen, så är en tub
bättre, i samma mån som vid dess inställning på ett föremål
bildens tydlighet visar sig känslig för den minsta
förflyttning af okularet. Kan okularet deremot förflyttas långt ut
eller in, utan att bildens tydlighet synnerligen ändras, så
antyder detta en långt utdragen aberrationskon.
28. Objektivets och hårkorsets centrering vid den
vridbara tuben. Kollimationsaxelns läge i tuben beror, enligt
hvad förut blifvit anfördt, på objektivets optiska medelpunkt
och hårkorset. Vid den fasta (ej kring sin geometriska axel
vridbara) tuben är det likgiltigt, om en mindre afvikelse
mellan kollimationsaxeln och tubens geometriska axel eger
rum. Så får deremot ej förhållandet vara vid den kring
sin axel vridbara tuben, emedan i så fall vid tubens
vridning kollimationsaxeln ändrar läge. På grund häraf fordras,
att vid den vridbara tuben såväl objektiv som hårkors äro
noga centrerade eller åtminstone så belägna, att
kollimationsaxeln är parallel ined tubens eller rättare sagdt med
tubringarnes geometriska axel. Den vridbara tuben är nämligen
försedd med två ringar (r͵ r i fig. 28), genom hvilka tuben
hvilar i lagergångarne.
Fig. 28.
Objektivets centrering måste en gång för alla utföras
af instrumentmakaren. Det är härvid dock ej nödvändigt,
att dess optiska axel bringas att sammanfalla med tubens
geometriska. Af fig. 28 (längdsektionen) synes visserligen
att, på det bilden p′ må ligga orörlig när tuben vrides, strålen
p p′ måste skära den geometriska axeln uti optiska medelpunkten
— eller med andra ord, att den optiska medelpunkten
måste ligga på sistnämnde axel; men häraf följer
ingalunda, att den optiska axeln måste sammanfalla med tubens
geometriska axel. Bilden ligger orörlig, äfven om dessa axlar
korsa hvarandra, blott det sker i optiska medelpunkten.
Denna afvikelse får imellertid af andra skäl ej vara stor.
Att fullt noga centrera ett objektiv är förenadt med svårigheter.
Lyckligtvis är det ej nödvändigt, hvilket af följande
torde framgå. Betecknas (fig. 29) diametern
till den cirkel, som optiska medelpunkten
beskrifver, då tuben vrides,
med e, och föremålets afstånd
från objektivet med
a, så erhålles felvinkeln v
ur analogien:
v″∶360 · 60 · 60 = e∶(2 π a),
hvaraf v″ = 206265e∕a.
Fig. 29.
För e = 1 m.m. och a = 206,265 meter är v = 1 sekund.
På ju längre afstånd från föremålet, man företager den i det
följande beskrifna justeringen af hårkorset, ju mindre blir v,
och dess mer kommer vid justeringen kollimationsaxeln att
närma sig till parallelism med ringaxeln. För oändligt
afstånd skulle parallelismen blifva fullständig. Den
parallelförflyttning af kollimationsaxeln, som objektivets excentricitet
i så fall föranleder, är så obetydlig, att den kan lemnas
utan afseende. Att objektivet ej är centreradt märker man,
sedan hårkorset blifvit centreradt, derpå, att föremålet och
hårkorset liksom synas rotera, då tuben vrides.
Hårkorsets centrering är en operation, som den, hvilken
begagnar ett instrument med vridbar tub, tid efter annan
måste utföra. För att undersöka om hårkorset är
centreradt (det förutsättes att objektivet är centreradt), uppsätter
man på 50 à 100 meter från instrumentet en rund eller
fyrkantig hvit papperslapp, 6 à 10 m.m. i diameter, och
inställer tuben härpå, d. v. s. bringar hårkorset att symmetriskt
klyfva lappens bild i fyra delar. Vrides tuben derefter, så
måste hårkorset, om det är centreradt, fortfarande synas
bibehålla samma läge relativt till papperslappen; ty att
hårkorset förblir orörligt är sjelfklart, och att så äfven blir
fallet med föremålets bild, när objektivet — såsom här
förutsattes — är centreradt, har förut blitvit visadt. Är
hårkorset deremot ej centreradt, så afviker det från den
orörligt liggande bilden. Centreringen verkställes då med de
fyra i fig. 30 antydda
justerskrufvarne, hvilka
verka på en ring,
hvaruti hårkorset är fastsatt.
Denna ring är koniskt
formad, på det att dess
anslagsyta må tvingas
att stadigt följa
motsvarande yta hos en annan
vid tuben invändigt
fastlödd ring. Bästa sättet att verkställa justeringen torde
vara följande.
Fig. 30.
Sedan man förvissat sig att hårkorset så skarpt som
möjligt sammanfaller med papperslappens midt, hvarvid tuben
helst bör läggas så, att det ena paret skrufvar står
horisontelt, det andra således lodrätt, vrides tuben varsamt 180°.
Om hårkorset först innehaft (fig. 28) läget 1, så kommer det
efter vridningen att få det diametralt motsatta läget 2, under
det att papperslappens bild bibehåller samma läge som förut.
Härigenom ett felutslag l—2, som tydligen är dubbelt
så stort som hårkorsets afstånd från tubaxeln. Om derför
hårkorset från 2 i riktning mot 1 flyttas halfva afståndet
mellan dessa punkter, så blir det centreradt. En sådan
flyttning i diagonal riktning skulle imellertid förutsätta samtidig
vridning på båda paren skrufvar, och är derför förenad med
svårigheter. Bättre är att endast använda ett par i sänder,
att således t. ex. först medelst skrufvarne vv′ (i det
streckade läget) flytta hårkorset halfva det vertikala afståndet
mellan 2 och l, då det kommer att innehafva läget 3, samt
att sedan med hh′ flytta det halfva det horisontela afståndet
mellan 3 och l, då det måste inträffa på c. Har denna
operation blifvit rätt utförd, så synas vid förnyad inställning
af tuben på papperslappen denna och hårkorset ligga
orörliga i förhållande till hvarandra, då tuben vrides.
Vanligen får operationen upprepas en eller två gånger,
synnerligen om felutslaget är stort, emedan det då är svårt
att efter ögonmått skarpt halfvera detsamma. Af vigt är att
ej skrufva ut den utgående skrufven mer än hvad som är
nödigt, ty motstående skrufvar böra naturligtvis läsa mot
hvarandra, på det att ej glapprum må uppkomma.
Hjelpmedel för noggran afläsning af längder
och vinklar
29. Vid geodetiska mätningar förekommer ofta, att
afstånd och vinklar måste afläsas skarpare än hvad möjligt
är att direkt göra med vanliga skalor. Man betjenar sig
då af nonien eller af skrufmikroskopet.
Nonien.
30. Nonien består som bekant af en vid rätlinig skala
eller graderad cirkelbåge skjutbar liten skala, så indelad, att
n noniedelar svara antingen mot n − 1 eller n + 1 skaldelar.
I förra fallet, eller då en noniedel är mindre än en skaldel,
säges nonien vara efterlöpande; i senare fallet, eller då
förhållandet är motsatt, förelöpande. I båda fallen kallas
skilnaden mellan en noniedel och en skaldel för noniens utslag.
31. Den efterlöpande nonien, som i praktiken nästan
uteslutande användes, har som redan blifvit nämndt n
noniedelar svarande mot n − 1 skaldelar. Om derför längden af
en skaldel betecknas med l samt längden af en noniedel
med l͵, så är
l͵ = l − l∕n.
Enligt föregående definition är alltså noniens utslag
och således skilnaden mellan m skaldelar och lika många
noniedelar
s = ma = m · l∕n
Om derför en efterlöpande nonie (fig. 31) är delad i 10
delar, så är dess utslag l∕10. Står ett visst noniestreck, t. ex,
4, midt för ett skalstreck, så är skilnaden mellan de 4 föregående
skaldelarne och de 4 föregående noniedelarne, eller
afståndet mellan noniens nollstreck och nästföregående skalstreck
lika med (4∕10) · l. Uti ifrågavarande fall afläses
således 41,4 · l.
Fig. 31, 32.
Vid den efterlöpande nonien, som har sitt namn deraf
att nollstrecket ligger vid noniens eftersta ände, d. v. s. är
vändt åt utgångspunkten för skalans besiffring, gäller alltså
såsom regel: Utslaget erhålles genom att dividera skaldelens
längd- eller vinkelvärde med noniedelarnes antal; afläsning vid nonien sker
genom att multiplicera utslaget med siffran vid det noniestreck, som
står midt för ett skalstreck. Härvid är dock att bemärka, det
man ej får medtaga de öfverdelningsstreck, som
understundom, synnerligen på finare nonier, finnas anbringade, på det
att man må kunna säkrare verkställa afläsningar vid
noniens ändar.
Tillämpas nyssnämnde regel vid afläsningar å en
medelstor teodolit, vanligen graderad såsom i fig. 32 är angifvet,
så blir, om noniedelarnes antal är 60, utslaget l∕n = 10′∕60 = 10 sek.
Uppsöker man, följande den riktning i hvilken
besiffringen går, det skalstreck, närmast efter hvilket noniens
nolistreck följer, så afläses direkt 60°30′. Det återstår att med
tillhjelp af nonien bestämma och härtill foga vinkeln mellan
nämnde båda streck för att få totalafläsningen. Om vi till
en början ej fästa afseende vid den besiffring, som finnes å
nonien, så synes att det 16:de noniestrecket (från
nollpunkten räknadt) står midt för ett skalstreck och att således
afläsningen vid nonien är 16 · 10 sek. = 2′40″. För att
undvika all reduktion af sekunder till minuter, har man
imellertid uti förevarande fall blott besiffrat hvart 6:te streck
efter löpande nummer. Dessa siffror angifva då, alldenstund
utslaget är 10″, påtagligen minuter, och man kan således
omedelbart afläsa 2′40″. Totalafläsningen blir alltså
60°30′ + 2′40″ = 60°32′40″.
32. Den förelöpande nonien har n noniedelar svarande
mot n + 1 skaldelar. Om (fig. 33) derför samma
beteckningssätt som förut bibehålles, så är
l͵ · n = l(n + 1), hvaraf l͵ + l∕n
och således utslaget
samt skilnaden mellan m noniedelar och lika många skaldelar
Fig. 33.
Till följd af att noniedelarne vid den förelöpande nonien
äro större än skaldelarne, så måste afläsningen ske vid
noniens främre ända. Som synes, afläses 50,6 i fig. 33.
Den förelöpande nonien finner sällan användning.
Skrufmikroskopet.
33. Vi hafva redan i det föregående vid pröfningen
af vattenpassets känslighet visat, huru man med tillhjelp af
mikrometerskrufven kan mäta smärre vinklar, och det
kommer framdeles att visas, att den med anledning häraf får en
ganska vidsträckt användning. Här är det endast på sin plats
att framhålla huru mikrometerskrufven, i förening med
mikroskopet bildande det s. k. skrufmikroskopet, i likhet med nonien
begagnas, när man vill skarpt bestämma och afläsa längder
och vinklar. Som skrufmikroskopet hufvudsakligen finner
användning vid högre geodetiska mätningar, må här blott
dess allmänna karakter antydas.
Fig. 34.
Det (fig. 34) utgöres af ett mikroskop med ett genom
mikrometerskruf flyttbart hårkors k, som vanligen har två
mycket nära hvarandra liggande
parallela trådar, mellan hvilka
inställning på skalstrecken eger
rum. Detta hårkors bör, då
mikroskopet är riktigt instäldt,
ligga uti bildplanet, d. v. s.
sammanfalla med den mätande
skalans bild. Uti hårkorsets
plan finnes dessutom ett litet
fixt index, hvilket hårkorset
bör täcka, då det innehar sitt
normala läge (midtelläge). Är
en teodolit försedd med
skrufmikroskop, så deltaga de uti
alhidadens rörelse. För att visa
huru afläsning med
skrufmikroskopet försiggår, kunna vi
betrakta fig. 34.
Som synes, är graden här
indelad i 10 delar. Emedan
alltså hvarje skaldel svarar mot 6′, så afiäses direkt 61°12′.
Det återstår att finna och härtill foga bågelementet mellan
syftlinien (hårkorset) och närmast föregående skalstreck. För
detta ändamål afläser man på mikrometerskrufvens graderade
skifva, vrider sedan på skrufven, tills hårkorset flyttat sig
så att nämnde skalstreck ligger mellan dess båda parallela
trådar och afläser ånyo. Af skilnaden mellan de båda
afläsningarne erhålles storleken af hårkorsets förflyttning — det
sökta bågelementet. Behöfves exempelvis, för att flytta
hårkorset en skaldel, skrufven vridas ett helt hvarf, och dess
skifva är indelad i 120 delar, så svarar mot vridning af ett
delningsafstånd på skifvan 6′∕120 = 3″ af bågen. Har derför
vid ett tillfälle 7 delningsafstånd framryckt på skifvan, så
är den sökta tillskottsvinkeln 7∙3″ = 21″ och således
totalafläsningen 60°12"21"".
Behöfver man, för att få hårkorset att flytta sig en
skaldel, vrida flera hvarf på mikrometerskrufven, så
anbringas i stället för ofvannämnde indexstreck en liten med fina
spetsar (på stigningsafståndet från hvarandra) försedd kam,
uti hårkorsets plan. Antalet spetsar, som hårkorset
öfverfarit, utvisar antalet hvarf, som skrufven vridits.
Det är imellertid omöjligt för instrumentmakaren att få
skaldelens bild att vara lika med eller jemn multipel af
mikrometerskrufvens stigning, såvida han ej beräknar den
graderade cirkelns radie, sedan stigningen med skärpa
blifvit bestämd, eller inrättar mikroskopet enligt följande
grunder: Som bekant förstoras objektivbilden, i den mån som
föremålet flyttas närmare objektivet. Är derför
skrufmikroskopet så inrättadt, att man kan närma det till eller
aflägsna det från den graderade cirkeln, så får man, allt
efter som det förra eller det senare göres, en större eller
mindre bild af en skaldel att betrakta genom okularet och
kan således genom en sådan förflyttning få det ofvannämnda
vilkoret att uppfyllas. Men som denna bild i och med
mikroskopets förflyttning ändrar läge i förhållande till hårkorset,
så måste såväl detta som okularet (hela mätinrättningen) vara
flyttbara i förhållande till objektivet.
Af de båda ofvan antydda sätten att få skaldelens bild
att vara lika med eller jemn multipel af
mikrometerskrufvens stigning, lemnar endast det sista tillfredsställande
resultat. Ofta äro imellertid skrufmikroskopen ej inrättade i
öfverensstämmelse härmed, utan betjenar man sig af enklare
sådane, hvarvid på förhand uträknade tabeller kunna
underlätta den räkning, som blir en följd af att skaldelens bild
ej är lika med eller jemn multipel af skrufvens stigning.
Skrufmikroskopet är långsammare och besvärligare att
använda, men medgifver större skärpa än nonien. På grund
häraf förekommer det endast vid instrument, afsedda för
synnerligen fina mätningar.
*
Operationspunkternas beteckning.
34. De punkter på terrängen, hvilkas lägen skola
bestämmas eller hvilka skola såsom hjelpmedel vid mätningarne
användas, måste, för att de må kunna från hvarandra
observeras, på ett eller annat sätt utmärkas. Detta sker, såvida
ej punkten signalerar sig sjelf (såsom tornspiror etc.), med
tillhjelp af konstgjorda signaler. Vi hafva i det följande att
beakta: signaler för triangelpunkter och signaler för räta
liniers och bipunkters beteckning.
Signaler för triangelpunkter af högre ordning.
35. Dessa signaler äro vanligen inrättade för såväl
triangelmätning som för trigonometrisk höjdmätning, men för
öfrigt på olika sätt allt efter som terrängförhållanden fordra.
I höga skogfria trakter eller på dominerande berg kunna de
göras enkla och låga; i skogstrakter och på slättbygder måste
de uppföras till en sådan höjd, att de beherrska omgifvande
träd och föremål.
36. Pyramidsignaler. Fig. 35 visar en pyradmidsignal,
afsedd för skoglösa bergstrakter etc. På den fasta stenpelaren
p är triangelpunkten utmärkt med
ett ritskors på en i pelaren ingjuten
jern- eller messingsdubb. Öfver denna
stenpelare är signalen uppbygd och på så sätt,
att det cylindriska syftmärkets
geometriska axel går genom punkten på
dubben. Då mätning skall ega rum,
uppställes teodoliten på stenpelaren och
centreras öfver nämnde punkt.
Fig. 35.
I skogstrakter och på slättbygder
måste understundom pyramidsignaler
uppföras ända till 30 meters höjd. I så
fall finnes närmast under syftmärket en
platå, på hvilken teodoliten uppställes.
Dessa signaler måste byggas mycket
stadigt, om en noggran uppställning af instrumentet skall
blifva möjlig. Teodoliten lodas öfver den såsom vid
föregående signal utmärkta punkten.
Fig. 36 visar den signal, som blifvit använd vid
triangelmätningen för Stockholms kartläggning, och som för öfrigt
är användbar vid nät af 3:dje eller
4:de ordningen. Triangelpunkten är
äfven här utmärkt genom ett
ritskors på en jerndubb, nedfäld uti berg
eller uti en jordfast sten. Som vid
hithörande mätningar smärre teodoliter
användas, så vinnes tillräcklig stadga
äfven om de uppställas på stativ.
Fig. 36
37. Andra signaler. På nakna
och dominerande bergshöjder byggas
ofta signalerna helt och hållet af sten.
I så fall uppställes understundom
teodoliten excentriskt, d. v. s. vid sidan
af signalen, och det häraf föranledda
felet beräknas. Ett sådant mätningssätt förekommer äfven,
då tornspiror, trästammar med påspikade syftbräden eller
likartade föremål, som ej medgifva teodolitens uppställning
lodrätt under syftmärket (spirans klot eller kors etc.), såsom
signaler användas.
Fig. 37.
Fig. 37 visar huru ändpunkterna
till en baslinie fixeras. Förutom
midtpelaren, hvari ändpunkten är utmärkt
genom en ingjuten messingscylinder,
finnas äfven fyra säkerhetspelare N,
S, V, Ö, till hvilkas midtpunkter
afstånden äro uppmätta. Man kan
härigenom återfinna ändpunktens läge äfven
om dess pelare skulle blifva rubbad.
Signaler vid detaljmätningar.
38. Vid detaljtriangelmätning begagnas på längre afstånd
och i kuperad terräng stänger (fig. 38) af erforderlig
längd (3 à 10 meter) samt försedda med kors, brickor eller
flaggor. Dessa stänger måste noga lodas, om man är nödsakad
att syfta på deras toppar. Vid korta afstånd mellan
punkterna och isynnerhet vid fina teodolit-stakningar betecknar man
operationspunkterna med ritskors eller spikar på i marken
nedslagne träpålar och syftar direkt på spiken eller på en
å korset hållen blyerzpenna eller fin pikstake.
39. Stakar. För att utsätta och beteckna räta linier på
terrängen, betjenar man sig af stakar om 2 à 3 meters längd.
För finare stakningar användas med fördel skodda
stakar, hvilka äro vexelvis målade (fig. 39) med färger, som
sticka af såväl mot
fonden som
föregående stakar.
En del bruka rödt
och hvitt. För vår
del hafva vi
funnit svart och hvitt
bättre. När fonden
är mörk, komma
de hvita, när den
är ljus, de svarta
partierna hos
stakarne att träda
fram.
Fig. 38, 39, 40.
Vanligen får man
i praktiken åtnöja
sig med granstör.
Man söker naturligtvis att få så rak och smidig sådan som
möjligt; och för att den må skiljas från likartade föremål,
brukar man upptill skräda den sida, som skall vändas i liniens
riktning, eller ock påträda papperslappar, t. ex. bladen ur en
annotationsbok, på sätt fig. 40 visar.
40. Stakning af räta linier. Sedan de stakar, som
bestämma linien, eller rättare stakplanet, äro utsatta, inriktas
de följande stakarne sålunda:
Fig. 41.
Man håller (fig. 41) staken 1 vid dess topp med högra
handens tumme och pekfinger, så att den hänger fritt och
ungefär 30 m.m. öfver marken, för ögat först på ena och
sedan på andra sidan om staken, tills staken 3 träder fram,
och efterser, om afstånden a och a͵ äro lika stora; flyttar i
motsatt fall staken tills detta inträffar och låter honom då
fritt falla och bestämma den punkt, der han skall nedköras.
Sedan staken blifvit nedkörd, vrides han i stakplanet. Är
staken krokig, vändes kröken i liniens riktning. Äro de
föregående operationerna rätt utförda, bör han nu äfven stå
lodrätt.
Afstånden mellan stakarne bestämmas af
terrängförhållanden. I plan och öppen terräng kunna dessa afstånd vid
gynsam belysning uppgå till 100 meter; och förutsatt att
stakarne synas tydligt — för kontrolls skull är det
förmånligt, att äfven se den 4:de staken — förlorar man ej i skärpa
genom att ställa stakarne långt i sär. I kuperad terräng
böra ej stakarne sättas längre i sär, än att man åtminstone
ser tredjedelen af den tredje staken. Att de isynnerhet i
kuperad terräng måste lodas väl säger sig sjelf.
Skall en stake inriktas mellan två andra, får man, såvida
ej en medhjelpare finnes, gå försöksvis till väga.
Fig. 42. Fig. 43.
I plan och öppen terräng och vid god belysning — vid
belysning från sidan framträder den belysta sidan hos
stakarne på skuggsidans bekostnad, och
linien vill kröka sig — samt med målade
stakar kan man med obeväpnadt
öga åtminstone utsätta stakarne rätt på
3 å 6 m.m. när. Det oaktadt kan
afvikelsen under fortsatt stakning blifva rätt
betydlig.
41. Stickor och pålar (fig. 42 och
43) användas mest för beteckning af
detaljpunkter. Äro de försedda med påskrifter, så bör man
taga för regel att vända de med påskrifter försedda sidorna
åt samma håll, t. ex. vid sektionering i en jernvägslinie åt
liniens utgångspunkt.
Heliotroper.
42. Som vid triangelmätningar af l:sta ordningen
signalerna understundom kunna vara på så stora afstånd från
hvarandra, att de ej synas tydligt, så brukar man göra dem
tydligt synliga till den punkt, i hvilken vinkelmätningen
skall företagas, genom att anbringa instrument, som till denna
punkt reflektera solljuset. Dessa instrument, hvaraf många
olika konstruktioner finnas, kallas för heliotroper. Den
enklaste heliotropen vore tvifvelsutan en polerad metallkula.
Sådane kulor hafva ock blifvit använda. De lida imellertid
af ett fel, bestående uti, att bilden flyttar sig med solen.
Då vi företrädesvis hafva att sysselsätta oss med den lägre
geodesien, må endast principen för några heliotroper antydas.
43. Heliotrop af Gauss. Detta instrument (fig. 44 och
45) består af tre speglar t (den mellersta och minsta står
vinkelrätt mot de båda sidospeglarne), som äro så fästade
framför objektivet till en vridbar geodetisk tub, att de kunna
vridas såväl med tuben (kring dess axel) som kring en genom
deras skärningslinie gående och mot tuben vinkelrät axel ab.
Om speglarne vridas jemte tuben kring tubens axel tills ab
ligger vinkelrätt emot solstrålarne, så komma sidospeglarne,
alldenstund de stå vinkelrätt mot den mellersta spegeln, att
reflektera solstrålarne i linierätt motsatt riktning mot den
senare. Ställer man derför speglarne (fig. 44 och 45) så,
att man genom syftning öfver den mellersta (lilla spegeln)
kan direkt inställa tuben på den signal (äfven förtydligad
med heliotropljus, om så erfordras), i hvilken
vinkelmätningen skall företagas, och sedan inställningen är gjord
vrider tuben kring dess geometriska axel tills speglarnes
vridningsaxel ab bildar rät vinkel med solstrålarne, och
slutligen speglarne kring sistnämnde axel tills den mellersta
spegelns solbild täcker hårkorset i tuben, så reflektera
påtagligen de båda sidospeglarne ljuset till observationspunkten.
44. Heliotrop af Bertram. Fig. 46 antyder
sammansättningen af denna heliotrop, förbättrad af Reit. Framför
en geodetisk tub är en i alla
riktningar vridbar spegel
anbringad. Denna spegel har
i midten ett rundt hål af 15
millimeters diameter, genom
hvilket man kan i tuben
betrakta en liten mot dess axel
vinkelrät och på denna axel
centrerad spegel b, af samma storlek som hålet. En signal
s, hvarpå tuben blifvit instäld, erhåller reflekteradt ljus från
s, om denna spegel vrides tills den genom båda speglarnes
reflektionskraft uppkomna S-bilden i b synes sammanträffa
med hårkorset. När denna inställning göres, har man ett
skymglas framför tuben.
Fig. 46
45. Heliotrop af Steinheil. Denna heliotrop består af
en enda spegel, i hvars midt folieringen är borttagen på en
cirkelrund yta om 3 m.m:s diameter. Betecknar i fig. 47
S b en strålknippa, som infaller på spegeln t, så reflekterar
den folierade delen af spegeln
dessa strålar på vanligt sätt, under
det att den ofolierade
öppningen genomsläpper dem. Finnes
en lins placerad i l, och i linsens
bränpunkt a en hvit yta, t. ex.
en kritbit, så uppkommer der en
stark ljusbild, som utsänder
strålar äfven i riktningen a S. Större
delen af de bland dessa strålar,
som falla på den ofolierade ytan, utträda, men tillräckligt
många reflekteras för att en för ögat synlig bild må
uppkomma i riktningen b ö. Denna riktning sammanfaller
tydligen med riktning b S, i hvilken de direkt reflekterade
strålarne lemna spegeln. Vrider man derför spegeln tills
observationssignalen ligger i linie med ögat och sistnämnde bild,
så reflekteras solljuset till signalen s.
Fig. 47.
46. Heliotropljuset synes olika tydligt under olika
tider på dygnet. Vid middagstiden förefaller det utbredt
på en större yta och har en mera dallrande rörelse än mot
aftonen. Först vid 4 à 5-tiden lär det blifva tillräckligt
skarpt och lugnt för att noggranna observationer må kunna
ega rum. Under synnerligen gynsamma förhållanden lär man
med obeväpnadt öga hafva sett heliotropljuset på 6 och med
tub på 10 svenska mils afstånd.
Heliotropljuset, som vanligen ömsesidigt utsändes mellan
två triangelpunkter, användes äfven för teiegrafering mellan
observatörerna, hvilka kunna genom på hvarandra följande
skymningar af ljuset med handen enligt förut
öfverenskommet signalschema meddela sig med hvarandra rörande ljusets
beskaffenhet, o. s. v.
*
Instrument för vinkelmätning.
47. Den så kallade positionsvinkeln — vinkeln mellan
två i hvilket plan som helst belägna räta linier — mätes
mycket sällan inom geodesien. Det är nästan uteslutande
med horisontal- och vertikalvinklar, som vi här hafva att
sysselsätta oss.
Med horisontalvinkel förstås den vinkel, som två räta
liniers horisontalprojektioner bilda med hvarandra; med
vertikalvinkel antingen en linies vinkel med horisonten
(höjdvinkel eller djupvinkel) eller med lodlinien (zenitvinkel).
Bland de vinkelmätnings-instrument, hvilka inom
geodesien finna användning, komma vi hufvudsakligen att
sysselsätta oss med teodoliten. Fältmätningskompassen, sextanten och
den dermed närbeslägtade spegelcirkeln, af hvilka de båda
sistnämnde egentligen lämpa sig för mätning af positionsvinklar,
finna på senare tider inskränkt användning vid geodetiska
mätningar.
Teodoliten.
48. Teodoliten är ett tubinstrument, afsedt for att mäta
horisontalvinklar och — i de flesta fall — vertikalvinklar.
Om man föreställer sig en graderad rund skifva, så
förbunden med en kring skifvans axel vridbar och i ett mot
skifvan vinkelrätt plan äfvenledes rörlig geodetisk tub, att
den vinkel, som tuben vrides kring skifvans axel, kan vid
skifvan afläsas, så har man principen för ett instrument för
uppmätning af vinkeln mellan två liniers projektioner på
skifvans plan. Kan vid ett sådant instrument skifvan bringas
att sammanfalla med horisontalplanet, så har man en teodolit
för mätning af horisontalvinklar; och om dessutom en
graderad skifva finnes, å hvilken de vinklar, som tuben vrides
i vertikalplanet, kunna afläsas, så har man en fullständig
teodolit, hvarmed äfven vertikalvinklar kunna mätas.
Man skiljer, allt efter som den horisontela skifvan
(horisontalcirkeln) är orubblig eller vridbar i förhållande till
fotställningen, mellan den enkla och den sammansatta teodoliten
(repititions- eller multiplikations-teodoliten).
Teodolitens beståndsdelar.
49. Innan vi öfvergå till en teoretisk behandling af
ifrågavarande instrument, torde det vara på sin plats att
först lemna en allmän redogörelse för dess vigtigare
beståndsdelar. Bland den mängd olika teodolit-konstruktioner som
finnas hafva vi med hänsyn till den följande teoretiska
belysningen utvalt en representant för hvardera af de tre
hufvudtyper, hvartill teodoliterna från teoretiskt konstruktiv synpunkt
kunna hänföras. Efterföljande förklaringar sluta sig
dock hufvudsakligen till en i fig. 48 för ändamålet skisserad
teckning af en enkel teodolit.
Fig. 48.
Fotställningen A utgöres af fyra eller tre armar,
uppburna af fotskrufvarne B, genom hvilka instrumentets
uppställning för mätning eger rum. Teodoliten hvilar genom
dessa skrufvar antingen på ett stativ S, eller, såsom vid
större instrument, på i operationspunkterna murade
stenpelare. De smärre för praktiska ändamål afsedda
teodoliterna uppställas alltid på stativ, vid hvilka de på ett eller
annat sätt elastiskt fastlåsas.
I fig. 48 sker den elastiska fastlåsningen vid ett stativ
med metallplatta medelst en spiralfjeder och skrufmuttern C,
hvilken senare blott behöfver
lösskrufvas, för att instrumentet
må kunna lyftas från stativet.
Fig. 49.
Fig. 49 visar ett ännu
beqvämare sätt vid ett stativ med
träplatta. Man har här att
införa låsen l (hylsan af trä) under
stativplattan, att haka på kroken
k vid en motsvarande ögla i
fotställningen (se fig. 52) samt att
med muttern m erforderligt spänna
fjedern.
Horisontalcirceln D är
vanligen en metallring, som vid sin
inre kant — åtminstone på alla
finare instrument — är belagd
med ett silfverband a, på hvilket
graderingen är anbringad. Vid
den enkla teodoliten (fig. 48) är
horisontalcirkeln genom armar orubbligt förenad med
fotställningens hylsa (vid fotställningens tapp i den
konstruktion, som fig. 52 visar); vid den sammansatta teodoliten
(fig. 50) är den åter genom armar fast förenad med en
hylsa G, som äfven spelar rol af tapp i förhållande till
fotställningens hylsa. Härigenom är horisontalcirkeln vridbar
i förhållande till fotställningen.
Det är med tillhjelp af horisontalcirkeln som
horisontalvinklar mätas; den bör derför vid mätningen vara horisontel.
Alhidaden E, som deltager uti tubens rörelse, och genom
hvilken afläsning eger rum, består i sin enklaste gestalt af
en visare; men utgöres vanligen af en med horisontalcirkeln
koncentrisk, genom alhidadtappen vridbar, rund skifva, som
noggrant smyger sig intill horisontalcirkelns innerkant och
som i två eller fyra diametralt motsatta ställen uppbär
skrufmikroskoper eller nonier. Nonierna äro äfven graderade på
i alhidaden infälda silfverbågar.
Alhidadtappen F är i fig. 48 och 50 fast förenad med
alhidaden och den rörliga delen af teodoliten. Den är till
formen konisk och bör vara ytterst väl inslipad uti
fotställningens eller horisontalcirkelns hylsa. På det att alhidaden
må kunna vridas i horisontalcirkelns plan och nonierna röras
koncentriskt med horisontalcirkeln, måste nyssnämnda hylsas
geometriska axel stå vinkelrätt mot horisontalcirkeln och gå
genom dess medelpunkt samt alhidadtappens geometriska
axel (alhidadaxeln) stå vinkelrätt mot alhidaden och gå genom
noniebågarnes medelpunkt
fästad vid horisontalcirkeln och hylsan vid alhidaden. Om man vid ett
sådant instruments teoretiska behandling talar om alhidadaxeln, så menas
påtagligen alhidadhylsans geometriska axel..
En teodolits godhet beror i väsendtlig mån på att dessa
vilkor äro uppfylda samt på en noggrann inslipning af tappen
i hylsan. För att underlätta en sådan inslipning, brukar
man blott upp- och nedtill låta tappen beröra hylsan, som
tör ändamålet har lämplig urtagning. För öfrigt göres
tappen af hårdare material (stål) än hylsan (af brons) för att
nötningen må företrädesvis drabba den senare.
På det att ej för stor friktion må uppkomma vid
tappens rörelse, så låter man den vid stora, tunga teodoliter
till en del hvila på en fjederplatta, som med tillhjelp af en
skruf t kan spännas mer eller mindre. Denna fjedring
anordnas föröfrigt på mångahanda satt.
Fig. 50.
Repititionstappen G. Vid den
sammansatta
teodoliten (fig. 50)
måste äfven
horisontalcirkeln kunna
vridas. Dess hylsa
G spelar derför
utvändigt rol af tapp
i förhållande till
fotställningens hylsa,
Vid ett felfritt
instrument måste
alhidadaxeln sammanfalla med
repititionsaxeln.
Härför erfordras, förutom exakt inslipning af de båda tapparne,
att hylsans G inre och yttre kon hafva samma geometriska
axel. Äfven repititionstappen brukar man understödja med
ön fjederinrättning t.
Horisontatexeln H, kring hvilken tuben vid mätningen
vrides i vertikalplanet, hvilar vanligen genom sina båda
tappar i en vid alhidaden fastskrufvad lagerbock, som har
V-formade eller runda lagergångar. De båda tapparne (af
stål) beröra, såsom i fig. 48 synes, dessa lagergångar (af
brons) utefter två generatriser. När på tapparne, såsom vid
ifrågavarande konstruktion, hvilar ett omställbart
ryttarvattenpass, böra de vara så noga som möjligt svarfvade till
exakt samma diameter.
För att instrumentet skall mäta riktigt måste
horisontalaxeln bilda rät vinkel med alhidadaxeln. Emedan, äfven
om detta är fallet vid ett nytt instrument, den minsta
nötning föranleder rubbning, så finner man på alla större
teodoliter och isynnerhet på sådane med V-formade
lagergångar en justerinrättning anbringad, hvarigenom den ena
lagergången kan höjas eller sänkas. Fig. 48 visar ett enkelt
sätt, vid hvilket metallens fjedringsbegär motverkas af en
skruf. Det medgifver obetydlig, men tillräcklig rörelse. Vid
större teodoliter torde en justerinrättning med två vertikala
stödskrufvar och en dragskruf lemna större stadga.
Tuben är fästad vid horisontalaxeln, vare sig placerad
midt imellan lagren eller utanför dem (teodolit med
excentrisk tub). Emedan kollimationsaxeln (syftlinien) endast, när
han bildar rät vinkel med horisontalaxeln, kommer att röra
sig uti ett plan, så måste hårkorset vid en teodolit vara
justerbart i horisontel led. Hos de teodoliter, vid hvilka
kollimationsaxeln måste lämpas efter ett på tuben anbringadt
vattenpass eller efter vertikalcirkelns nonie, likasom hos
sådane med vridbar tub, måste äfven i vertikal led
justerskrufvar finnas.
Nästan alla moderna teodoliter äro inrättade för
genomstegning, d. v. s. horisontalaxeln är antingen så högt förlagd,
att tuben med okularändan går fritt mellan stöttorna, eller
ock tuben lagd utanför en af stöttorna; äfven kan, såsom i
fig. 52, lagerlocken slås upp, horisontalaxeln med tub
upplyftas samt efter tubens genomslagning i luften nedläggas.
Vid teodoliten med vridbar tub (fig. 51) hvilar tuben
vanligen i två med horisontalaxeln förbundna V-formade lager.
Genomslagningen ersättes vid dessa instrument med att tuben
ändvändes, så att tubringarne byta lager. Genomslagningen
eller andvändningen medgifver mätning i två lägen, de i det
följande ofta åberopade första och andra läget.
Omläggning kallas det förfarande, då horisontalaxeln
upplyftes ur lagren och så nedlägges, att tapparne byta lager.
Såsom i det följande skall visas, bidrager mätning i två
lägen i väsendtlig mån till oskadliggörandet af teodolitens
felaktigheter.
Fig. 51.
Vertikalcirkeln J (fig. 48) bildar rät vinkel med och är
fastläst vid horisontalaxeln. Af skäl, som framdeles komma att
anföras, bör vertikalcirkeln kunna löskopplas från och vridas
kring horisontalaxeln. Man behöfver för detta ändamål blott
uppskrufva muttern u. Vertikalcirkelns gradering (den
graderade sidan bör vara belagd med silfver eller försilfrad)
finner man besiffrad på olika sätt, såsom 0°—90°—0°—90°—0,
0°—90°—180°—90°—0° eller 0°—360°. Den bästa
besiffringen är 0°—360°. Alhidaden motsvaras vid
vertikalcirkeln af två eller fyra från den ena lagerstöttan utgående
armar, hvilka uppbära nonierna. Likasom vid
horisontalcirkeln får ej vid vertikalcirkeln några excentricitetsfel
förefinnas. Derför fordras att horisontalaxelns medellinie går
såväl genom vertikalcirkelns som noniebågarnes medelpunkt.
För att horisontalaxelns båda lagergångar må blifva lika
belastade finnes vanligen en motvigt W anbringad.
Vid fig. 51 (engelsk konstr.) hvila tublagren på den vid
horisontalaxelns midt fastade halfva vertikalcirkeln.
Vattenpassen. En teodolit har vanligen flera
vattenpass. Förutom det mindre känsliga, oftast vid en af
lagerstöttorna fästade uppställningsvattenpasset finner man på alla
teodoliter, inrättade för trigonometrisk höjdmätning, ett
känsligt höjdmätningsvattenpass i tubens riktning, vare sig hvilande på
tuben eller, hvad som är bättre, fästadt vid alhidaden.
Dessutom har konstruktionen i fig. 48 ett omställbart
ryttarvattenpass på horisontalaxelns tappar. Tillvaron eller frånvaron af ett
sådant vattenpass bestämmer, såsom i det följande kommer
att visas, i väsendtlig mån gången af justeroperationerna vid
en teodolit.
Uppställningsvattenpasset användes vid teodolitens
uppställning för horisontalmätning; höjdmätningsvattenpasset för
att man vid trigonometrisk höjdmätning må kunna noga
bestämma alhidadaxeln felställning eller oskadliggöra
inflytandet af en sådan felställning. Ett omställbart vattenpass på
horisontalaxeln underlättar instrumentets pröfning och justering.
Ehuru alhidadaxeln kan ställas lodrätt med ett
ojusteradt vattenpass, så böra dock vattenpassen vara justerade i
förhållande till alhidadaxeln (det på tuben, om ett sådant
finnes, justeras i förhållande till kollimationsaxeln). Hvarje
vattenpass måste således hafva erforderlig justerinrättning.
Inställningsmekanismen. I och för en skarp inställning af
tuben på föremålet bör dess finare rörelse såväl i horisontel
som vertikal led ske med en fint gängad skruf.
Vid horisontalcirkeln är mekanismen förbunden med en
bromsinrättning, hvarmed man, sedan tuben blifvit för hand
närmevis instäld, kan på ett eller annat sätt fastläsa
den eljest i alhidadens rörelse deltagande mekanismen vid
horisontalcirkeln, för att sedermera genom skrufvens vridning
få den fina rörelsen mellan alhidaden och
horisontalcirkeln. En repititionsteodolit måste äfven hafva dylik
mekanism mellan fotställningen och horisontalcirkeln; ty vid
repititionsmätning skall tuben äfven inställas under vridning
kring repititionstappen.
Hithörande mekanismer finnas på flera sätt anordnade,
I fig. 48 (se båda projektionerna) består bromsinrättningen
af två plattor p och p͵, af hvilka den ena löper uti ett i
horisontalcirkeln insvarfvadt spår, och den andra uppbär en
dubb d, på hvilken inställningsskrufven verkar. Dessa båda
plattor kunna med tillhjelp af klämskrufven k fastläsas vid
horisontalcirkeln. Inställningsskrufven m samt den
motverkande fjedern f hvila uti en vid alhidaden fastskrufvad arm a.
När inställning sker för hand, är k uppskrufvad; när
inställning skall ega rum med skruf, fastläsas plattorna och
således äfven dubben vid horisontalcirkeln. Om skrufven då
vrides, måste alhidaden röra sig. I fig. 52, der
mekanismen är förenklad, användes, för att större finhet i rörelsen
må erhållas, en differentialskruf. Muttern vid de finare
venstergängorna — i och för erforderlig svajning klotformig —
är fästad vid alhidaden; muttern för de gröfre
högergängorna — äfvenledes klotformig — kan på samma sätt som
dubben i föregående fall fastläsas vid horisontalcirkeln.
De båda inställningsmekanismerna vid den sammansatta
teodoliten (fig. 50) äro på likartadt sätt inrättade.
Fig. 52.
Vid inställningsmekanismen i vertikal led (fig. 52) sker
inställning genom att man vrider på en med en hafstång
förbunden och af en fjeder motverkad skruf, sedan förut
häfstången blifvit genom en klämskruf fastläst vid
horisontalaxeln. Äfven här förekomma olika anordningar.
Lupper. Alla finare teodoliter med nonier böra vara
försedda med lupper. Vanligen finner man såväl vid
horisontalcirkeln som vid vertikalcirkeln två eller fyra diametralt
motsatta lupper l, hvilka för att kunna flyttas oberoende af
nonierna, äro fastade vid armar b, som utgå från en vridbar
ring. För att afläsningar må kunna ske vid lämplig dager,
är framför hvardera nonien en pappersskärm v anbringad.
Enkel teodolit af Pistor och Martins. Fig. 52 visar en
för praktiska ändamål afsedd teodolit af nyare konstruktion,
från Pistor och Martins i Berlin. Vid horisontalcirkeln (diam.
180 m.m.) är nonieutslaget 10″ och vid vertikalcirkeln (diam.
120 m.m.) 1′. Tubens genomslagning sker, sedan han
blifvit upplyftad ur de med fjedrade charnierlock försedda
lagergångarne. Horisontalaxelns gradering, skyddad af en vid
alhidadaxeln fästad skifva, är endast blottad vid nonierna.
Instrumentet kan, i anseende till sin kompendiösa och solida,
konstruktion, äfven användas som afvägningsinstrument, och.
finnes för detta ändamål tubvattenpasset anbringadt
Teknologiska Institutet eger två teodoliter af denna konstruktion,
som visat sig förtjena att särskildt rekommenderas för noggranna
praktiska mätningar. Priset för instrument med stativ är c:a 500 kronor.
.
Teodolitens uppställning öfver en stationspunkt.
50. Man skiljer härvid mellan instrumentets
centrering öfver punkten samt alhidadaxelns inställning i lodlinien.
Centreringen, ehuru understundom besvärlig, är ej svår
att utföra. Den består uti att man med tillhjelp af ett
lodsnöre bringar horisontalcirkelns medelpunkt i
stationspunktens lodlinie. Många teodoliter hafva för att underlätta
denna operation en i alhidadaxelns förlängning anbringad
krok eller ögla, uti hvilken snöret kan upphängas.
En del geodeter undvika centreringsbesväret, i det de
mäta med excentriskt uppstäldt instrument och sedermera
göra erforderlig korrektion. Härom framdeles.
Alhidadaxelns inställning i lodlinien är äfvenledes en enkel
operation. Förutsatt att vattenpasset är justeradt har man
blott att med fotskrufvarne bringa det till inspelning i två
mot hvarandra vinkelräta riktningar. Hvilar instrumentet
på fyra fotskrufvar, föres vattenpasset under vridning kring
alhidadaxeln först öfver det ena och sedan öfver det andra
paret diametralt motsatta skrufvar; och i båda lägena
bringas blåsan att spela in. För att vinna tid brukar man
(fig. 53) samtidigt röra båda skrufvarne, som för att
samverka skola vridas åt motsatta håll (båda armbågarne
samtidigt från (1 · 2) kroppen eller till (3 · 4) kroppen).
Om instrumentet, som oftast är fallet, blott hvilar på
tre fotskrufvar (fig. 54), föres vattenpasset först öfver
(parallelt med) två fotskrufvar och sedan öfver den tredje. Att
operera i omvänd ordning vore att fördröja inställningen;
ty om man först bragte blåsan till inspelning öfver skrufven 3
(vattenpasset parallelt med a3), så skulle, när man sedan
sökte bringa henne till inspelning i läget 1—2, vid minsta
vridning af skrufvarne 1 eller 2
äfven ändring (rörelse kring axlarne
2—3 eller 1—3) ske uti första läget,
der blåsan således ej vidare kom
att spela in.
Fig. 53, 54.
Vare sig att instrumentet har
4 eller 3 fotskrufvar, får man alltid
upprepa ofvannämnde förfaranden 2
eller 3 gånger (vid ytterst noggrann
inställning med det känsliga
höjdmätningsvattenpasset oftast ännu flera
gånger); ty under den första
grofinställningen kan man ej hindra, att
vid rubbning uti ena läget äfven
sådan förorsakas i det andra.
Om alhidadaxeln står lodrätt,
så intaga vid ett felfritt instrument
horisontalcirkeln och vertikalcirkeln
sina för mätningsoperationerna
erforderliga lägen, och kollimationsaxeln
projicerar i vertikalplanet.
Teodolitens fel.
51. Vore det möjligt att åstadkomma en helt och
hållet felfri teodolit, och våra ögon medgåfvo erforderlig
skärpa vid syftning och afläsning, så vore mätningen med
detta instrument ytterst enkel. Man hade då för att mäta
en vinkel blott att ställa in tuben på de båda signalerna
och att taga skilnaden mellan afläsningarne. Nu är det
imellertid ej möjligt att åstadkomma en önskvärdt felfri
teodolit. Vi äro med anledning såväl häraf som af våra
synorganers ofullkomlighet hänvisade till att genom upprepade
och på lämpligt sätt verkstälda mätningsoperationer söka
dels oskadliggöra inflytandet af teodolitens fel på
mätningsresultatet, dels förskaffa oss ett tillräckligt rikligt material,
för att med sannolikhetskalkylen till hjelp kunna komma
sanningen så nära som möjligt. Vid den lägre geodesien
behöfver man ej tränga så djupt in i hithörande
förhållanden som vid den högre geodesien, der kapitlet om
teodoliten nästan uteslutande söker utreda huru en ofullkomlig
observator bör gå till väga för att med ett felaktigt
instrument nå det bästa resultatet; men äfven den lägre geodesien
fordrar, att teodoliten underkastas en temligen fullständig
matematisk kritik. Då vi nu gå att undersöka teodolitens
fel och sättet att oskadliggöra dem, hafva vi att beakta:
I) fel, som kunna genom anbringad justerinrättning
bortskaffas samt
II) fel, som vid teodolitens tillverkning hvarken kunna
undvikas eller sedermera bortskaffas, och som således äro
af konstant natur.
I. De teodolitens fel, som kunna bortskaffas,
52. Af en justerad teodolit fordras, att
1) kollimationsaxeln bildar rät vinkel med horisontalaxeln, att
2) horisontalaxeln bildar rät vinkel med alhidadaxeln, samt att
3) alhidadaxeln bildar rät vinkel med vattenpassets axel.
Vid teodoiiter, som hafva vattenpass på tuben,
tillkommer:
4) tubvattenpassets axel och kollimationsaxeln böra vara parallela;
och vid en del för trigonometrisk höjdmätning inrättade små
teodoiiter:
5) indexfelet bör bortskaffas.
I en allmän redogörelse för teodoliters pröfning och
justering med afseende på ofvannämnde vilkor, torde det
vara förmånligast att behandla följande konstruktioner hvar
för sig:
Konstr. a: Teodolit som har fast tub, men saknar
ryttarvattenpass på horisontalaxeln.
Konstr. b: Teodolit med fast tub och ett omställbart
ryttarvattenpass på horisontalaxeln.
Konstr. c: Teodolit med en kring sin axel vridbar tub,
som derjemte kan ändvändas.
I och för utförandet af de i det följande beskrifna
justeroperationerna väljer man helst en plats, der instrumentet ej
är utsatt för solstrålar (om dessas inflytande på vattenpasset:
se 7), och från hvilken man i två motsatta riktningar har
något så när plan terräng. Man börjar med att pröfva och
bortskaffa de tre axelfelen.
53. Konstruktionen a (fig. 52): Teodolit, som har fast
tub, men saknar ryttarvattenpass på horisontalaxeln.
Vid justering af de tre axlarnes lägen, bör man hos
denna konstruktion börja med alhidadaxeln
(alhidadvattenpassen) och sist justera horisontalaxeln.
1) Alhidadaxeln. Alhidadvattenpassen böra vara
justerade med hänsyn till denna axel; först då låter det sig
beqvämt göra att ställa den lodrätt.
Sedan en förberedande uppställning blifvit gjord genom
att, på sätt som i 50 blifvit visadt, bringa vattenpasset att
spela in i två med hvarandra rät vinkel bildande
riktningar, företages justeringen enligt 9 i en af dessa riktningar,
vare sig att man, efter att hafva afläst utslagen a och a͵ i
två motsatta lägen, med vattenpassets justerskruf bringar
vattenpasset att gifva det ur formeln (4) beräknade utslag,
som motsvarar alhidadaxelns för tillfället varande lutning
mot lodlinien, eller att man, efter att hafva med
fotskrufvarne bringat blåsan att skarpt spela in och sedermera
hafva vridit alhidaden 180°, bortskaffar halfva utslaget med
vattenpassets justerskruf.
Vid en teodolit med tre fotskrufvar företages
justeringen lämpligast öfver den tredje fotskrufven.
I och för mätningen i horisontalplanet möter det ingen
svårighet att med erforderlig skärpa justera vattenpasset; ej
heller att med detsamma tillräckligt noggrant inställa
alhidadaxeln. Så är ej förhållandet vid det fina, i tubens
riktning förlagda höjdmätningsvattenpasset, hvilket är besvärligt
att justera och omöjligt att länge bibehålla justeradt. Såväl
på grund häraf som af andra orsaker (hvarom mera
framdeles), är det vid höjdmätning lämpligare att med detta
vattenpass mäta alhidadaxelns lutningsvinkel mot lodlinien
än att söka med önskvärd skärpa inställa nämnde axel (se
teodolitens användning vid höjdmätning).
Om inflytandet af alhidadaxelns felställning m. m. se 56.
2) Kollimationsaxeln skall bilda rät vinkel med
horisontalaxeln. En afvikelse härifrån kallas för kollimationsfel
kollimationsfel afvikelsen mellan noniens och vertikalcirkelns nollstreck, då
kollimationsaxeln bildar rät vinkel med alhidadaxeln. Detta fel, som
längre fram kommer att behandlas, torde lämpligare böra benämnas
indexfel.
.
Om detta vilkor ej är uppfyldt, så kommer
kollimationsaxeln vid vridning kring horisontalaxeln att alstra en
kon och instrumentet att gifva alla med denna kons
generatriser sammanfallande linier samma projektion på
horisontalplanet; ty som ej någon vridning af alhidaden behöfves för
att syfta utefter dessa linier, så blir afläsningen vid
horisontalcirkeln densamma för dem alla.
Man kan på ej mindre än fem sätt pröfva
kollimationsaxelns läge i förhållande till horisontalaxeln. Vid intetdera
behöfves någon synnerligen noggran uppställning af
instrumentet. Vi öfvergå till de olika pröfningssätten och dermed
i samband stående justeroperationer.
Fig. 55, 56, 57, 58.
α) Man inställer (fig. 55) tuben på en signal s
(lämpligen en spik eller en nål på en träpåle), utsatt på 100 à
150 meters afstånd från instrumentet, och omlägger
horisontalaxeln, så att tapparne byta lager. Träffar då
hårkorset ånyo in på signalen, så finnes intet kollimationsfel;
i motsatt fall inriktas en signal s͵.
s i s͵ är tydligen dubbla kollimationsfelet.
Om derför en tredje signal ss͵͵ uppsattes midt imellan s och
s͵, så har man blott att flytta hårkorset med tillhjelp af dess
horisontela justerskrufvar tills det träffar in på s͵͵. Då det
är af vigt att alhidaden ej vrides under dessa operationer,
så bör den hela tiden vara fastläst.
β) Man inställer (fig. 56) tuben på en staksignal s
utsatt på 100 à 150 meters afstånd; genomslår tuben och
utsätter en annan staksignal s͵ i motsatt riktning och ungefär
på samma afstånd från instrumentet som s. Om detsamma
ej är behäftadt med kollimationsfel, så böra från s eller s͵
sedt punkterna s, i och s͵ ligga i rät linie. I motsatt fall
inriktas en tredje signal s͵͵ i linien s i. Vinkeln s͵ i s͵͵
utvisar då tydligen dubbla kollimationsfelet. Sedan en signal
s͵͵͵ blifvit utsatt midt imellan s͵ och s͵͵ utföres
justeroperationen som i föregående fall.
γ) Man inställer (fig. 57) tuben på en signal s
(spiksignal), utsatt på 100 à 150 meters afstånd; genomslår
den och vrider alhidaden på grund af noggran afläsning
180°. Om instrumentet ej är behäftadt med kollimationsfel,
inträffar hårkorset ånyo på s. I motsatt fall inriktas en
annan signal s. I likhet med föregående fall utvisar
vinkeln s i s͵ dubbla kollimationsfelet. Sedan en signal s͵͵
blifvit utsatt imellan s och s͵ utföres justeroperationen som ofvan.
δ) Man inställer (fig. 58) tuben på en signal s;
genomslår den och inriktar en annan signal s͵; inställer tuben
vid detta hans andra läge genom vridning kring
alhidadaxeln ånyo på signalen s (horisontalaxeln får då läget
b͵ a͵); genomslår den för andra gången och inriktar en tredje
signal s͵͵. Vinkeln s͵ i s͵͵ utvisar kollimationsfelet fyra
gånger förstoradt. Man utsätter derför en signal s͵͵͵ på afståndet
(s͵ s͵͵)∕4 från s͵͵ räknadt (i s͵͵͵ bildar rät vinkel med b͵ a͵) och
utför justeroperationen som ofvan. Det må i händelse af
ompröfning erinras, att s och s͵͵͵ ej svara mot samma läge
af horisontalaxeln och att de således ej ligga i linie med
instrumentet.
Fig, 59, 60.
ε) Är teodoliten hvarken inrättad för genomslagning
eller omläggning, så kan man förfara på följande sätt: Alhidaden
vrides tills horisontalaxeln kommer att närmevis ligga
öfver två fotskrufvar eller öfver den tredje. I tubens
riktning upphänges på 5 à 6 meters afstånd ett fint 5 à 6 meter
långt lodsnöre vid någon trädgren etc. Derefter ändras med
tillhjelp af fotskrufvarne horisontalaxelns läge tills man finner
att hårkorset, när tuben vrides kring denna axel, såvidt
möjligt låter sig göra täcker snöret. Lyckas man ej bringa det
derhän, utan synes hårkorset, efter att hafva täckt snöret
vid dess öfre ände, under fortsatt vridning af tuben beskrifva
en kroklinie (ab i fig. 59), så är kollimationsfel för handen.
Det egendomliga hos denna afvikelse [se hvad i 3) är
anfördt rörande horisontalaxelns felläge]
observeras bäst, om man utser en
sådan plats för instrumentet, att dess
horisont delar snöret midt itu.
Hårkorset, instäldt på en punkt upptill
af snöret, synes då vid tubens
vridning nedåt aflägsna sig från
detsamma tills tuben är horisontel,
hvarefter det synes närma sig och
slutligen i en relativt till föregående
symmetrisk punkt träffa in på snöret.
Vid justeringen måste hårkorset
försöksvis flyttas, så att det synes röra
sig åt samma håll som dess krokliniga
bana buktat sig (i verkligheten [fig. 60] flyttas det åt
motsatt håll). Riktigheten häraf inses lätt, om man t. ex. låter
en blyertspenna under spetsig vinkel skära en bordkant och
på samma gång upptill beröra en vinkelrätt mot bordskifvans
plan stående blyertspenna. Vrides den första blyertspennan
kring bordkanten under bibehållande af nämnde vinkel, så
får man ett begrepp om afvikelsens beskaffenhet.
Af de i det föregående afhandlade pröfningssätten äro
α och γ de beqvämaste och fordra dessutom endast syftning
i en riktning. Deremot torde δ lemna det skarpaste
resultatet, om det verkställes med nödig varsamhet. För
teodoliter med excentrisk tub lämpa sig endast β och ε.
Kollimationsfelet blir utan inflytande, om man, vare sig
att tuben genomslås eller horisontalaxeln omlägges, mäter i
två lägen
och tager aritmetiska mediet af de två aflästa
vinklarne; ty af fig. 58 synes, att syftkonen vid det andra
läget kommer att ligga på motsatt sida om vertikalplanet s i
mot vid första läget. Projicerar tuben i det ena läget till
höger, så projicerar den i det andra till venster och tvärtom,
eller med andra ord: vinkeln fås i ena läget lika mycket
för stor eller för liten som i det andra för liten eller för
stor. För en närmare utredning såväl häraf som af
kolli-mationsfelets inflytande se 56.
3) Horisontalaxeln skall bilda rät vinkel med
alhidadaxeln. Om detta vilkor ej är uppfyldt, så kommer
horisontalaxeln ej att vara horisontel, när alhidadaxeln är instäld,
och kollimationsaxeln således ej att röra sig i vertikalplanet.
För att pröfva och justera instrumentet uti ifrågavarande
afseende, kan man gå till väga enligt något af nedan
angifne sätt.
Fig. 61, 62.
α) Man upphänger (fig. 61) ett lodsnöre på ungefär
5 à 6 meter från instrumentet och undersöker, sedan
alhidadaxeln blifvit ytterst noggrant instäld, om hårkorset vid
tubens vridning alltid täcker snöret. Är ej så händelsen, och synes
hårkorset i motsats till hvad som inträffar,
när kollimationsfelet föranleder
afvikelsen, hafva en rätlinig rörelsebana, som
mer och mer aflägsnar sig från snöret,
så är påtagligen horisontalaxeln ej
horisontel; den bildar således ej rät vinkel
med alhidadaxeln.
Felet afhjelpes genom att man med
den härför afsedda justerinrättningen
(se 48) höjer eller sänker det ena
lagret tills hårkorset följer snöret. Att
härvid gå försöksvis till väga föranleder tidspillan, och man
behöfver det ej, ty ett sätt gifves att direkt finna felutslaget,
som skall bortskaffas. Kollimationsaxeln röner vid
horisontelt läge af en sådan justerlagrets höjning eller sänkning ej
annat inflytande, än att den, flyttande sig parallelt med sig
sjelf, alstrar en cylindrisk yta, hvars axel berör det fasta lagret.
Som imellertid justerlagrets rubbning är ytterst obetydlig,
så kommer den alstrade ytan att sammanfalla med
vertikalplanet. Inställes derför en tub horisontelt på ett lodsnöre,
så kan man flytta justerlagret långt mer än hvad i
allmänhet är behöfligt, utan att hårkorset (kollimationsaxeln) synes
afvika från snöret. Häraf följer, om den på snöret
horisontelt instälda tuben vrides kring horisontalaxeln, tills man i
tuben ser snörets öfre ände, och felutslaget derpå bortskaffas
genom justerlagrets höjning eller sänkning (tills hårkorset
träffar in på snöret), att det äfven träffar snöret, om tuben
återfår sitt förra läge. Men som ifrågavarande fel endast
kan föranleda rätlinig afvikelse, måste alltså, om tuben
vrides, hårkorset följa snöret, hvilket åter förutsätter att
horisontalaxeln är horisontel. Instälde man tuben först på
snörets öfre ände och sedan sökte göra justeringen då tuben
stod horisontel, så kunde man höja eller sänka justerlagret
huru mycket som helst, utan att få hårkorset att täcka snöret.
β) Man lägger (fig. 62) horisontelt på marken och
vinkelrätt mot syftlinien en stång; syftar, sedan alhidadaxeln
blifvit vederbörligen instäld, på en högt belägen och skarpt
markerad punktp och projicerar med instrumentet denna punkt
på stången; genomslår tuben och projicerar ånyo. Finner
man då att för tubens båda lägen punkten p får samma
projektion, så är horisontalaxeln horisontel. Erhålles
deremot två olika projektioner p͵ och p͵͵, så har den lutat mot
horisonten — och påtagligen åt motsatt håll i första mot i
andra läget. Kollimationsaxeln har således rört sig i två
på ömse sidor om punktens vertikalplan symmetriskt lutande
planer, hvilka skära stången i p͵ och p͵͵. Den midt imellan
dem belägna punkten p" är påtagligen den sanna
projektionen af p.
Äfven här har man att höja eller sänka justerlagret,
tills i båda lägena tuben gifver samma projektion på stången.
Af samma orsak, som i föregående fall påpekats, kommer
man lättast till målet, om stången förlägges i jemnhöjd med
tuben. Sedan man i så fall på nyss anfördt sätt funnit p",
ställes tuben in på denna punkt och vrides sedan tills
hårkorset kommer i jemnhöjd med p. Bortskaffas derpå
felutslaget op genom justerlagrets höjning eller sänkning, så är
justeringen på en gång afslutad.
Horisontalaxelns felläge blir utan inflytande, om man,
vare sig med genomslagning eller ändvändning (ej med
omläggning) mäter i två lägen och tager aritmetiska mediet
af de båda afläsningarne. Man får då, enligt hvad fig. 62
angifver, vid syftning på en punkt p den ena afläsningen
lika mycket för stor som den andra för liten. Det
aritmetiska mediet motsvarar tydligen midtläget p". Mätes en
vinkel, så angifves påtagligen i öfverensstämmelse härmed
den sanna vinkeln af aritmetiska mediet mellan de båda
lägenas vinklar. För en närmare redogörelse såväl härför
som för inflytandet af horisontalaxelns felläge se 56.
4) Vid de teodoliter af hithörande konstruktion, som
hafva vattenpass på tuben, hvilket egentligen endast borde
vara fallet med smärre sådane, tillika afsedda för afvägning,
böra vattenpassets axel och kollimationsaxeln vara parallela.
For huru härmed förbunden justering verkställes, hänvisas
till hvad som finnes anfördt rörande denna justering vid
afvägningsinstrumentet.
5) Indexfel. Härmed förstås den felvinkel, hvarmed
noniens nollstreck afviker från vertikalcirkelns motsvarande
streck
med 0°, 90°, 180° eller 270°., när kollimationsaxeln bildar rät vinkel med
alhidadaxeln. Denna felvinkel kommer påtagligen att addera sig
till eller subtrahera sig från höjdvinkeln, allt efter som
vertikalcirkelns streck ligger på ena eller andra sidan om noniens
nollstreck.
Med anledning af det mätningssätt, som vid
trigonometrisk höjdmätning vanligen användes, har indexfelet endast
betydelse vid teodoliter, hvilkas tuber ej kunna genomslås
eller ändvändas.
För att undersöka indexfelets storlek samt för att
bortskaffa detsamma, inställer man noggrant alhidadaxeln med
tillhjelp af det i tubens riktning
förlagda höjdmätningsvattenpasset;
syftar på en i vertikal led skarpt
markerad signal och afläser;
genomslår och inställer tuben samt
afläser ånyo. Man erhåller då, om
indexfel förefinnes, olika värden i
första och i andra läget, och om
skilnaden mellan de båda afläsningarne
halfveras, så erhålles indexfelet.
Fig. 63.
Riktigheten af det ofvan sagda
torde lätt inses af fig. 63. Sedan
man syftat på signalen p͵ afläst
och genomslagit tuben, måste alhidaden vridas 180° kring
alhidadaxeln för att man ånyo skall kunna i andra läget
syfta på p. Nonien n får efter denna vridning läget n͵,
och kollimationsaxeln, som omedelbart efter vridningen
innehaft det streckade läget, får vid den förnyade syftningen
sitt förra läge. Om man betecknar indexfelet med i, den
sanna höjdvinkeln med v, och i första läget afläses w och i
det andra w͵, så är
och
Elimineras v, så erhålles
Elimineras i, så erhålles
Formeln (27) gifver oss indexfelets storlek; formeln (28)
lär oss, att den riktiga vinkeln erhålles, äfven om indexfel
finnes, ur aritmetiska mediet mellan de i båda lägena gjorda
afläsningarne.
Af det nyss anförda framgår att indexfelet ej utöfvar
något menligt inflytande, om instrumentet rätt användes.
Vill man imellertid bortskaffa detsamma, så låter det sig
göra på följande sätt: Sedan man af formeln (28) fått veta
storleken af den riktiga höjdvinkeln v͵ flyttas nonien eller
nonierna, om flera finnas, med sina ställskrufvar tills nämnde
vinkel afläses. Man har härvid att tillse, det hårkorset
fortfarande skarpt täcker signalen och att höjdvattenpassets blåsa
ej ändrat läge. Vid en del teodoliter är ej nonien flyttbar,
men i stället finnas vertikala justerskrufvar för hårkorset.
I så fall bringar man, efter att med vertikalcirkelns
inställningsskruf hafva vridit vertikalcirkeln tills v afläses, med
ofvannämnde justerskrufvar hårkorset att täcka signalen. Det
sista sättet är oanvändbart då flera nonier finnas, ty hårkorset
kan blott bringas att öfverensstämma med en nonie.
Har teodoliten på tuben ett vattenpass, hvars axel är
parallel med kollimationsaxeln, så behöfver man påtagligen,
när alhidadaxeln är instäld, blott bringa blåsan att spela in
för att direkt afläsa indexfelet.
Af redogörelsen längre fram för teodolitens användning
vid höjdmätning framgår, att man i allmänhet ej fäster något
afseende vid indexfelet, utan i stället genom lämpligt
mätningssätt gör det betydelselöst eller oskadligt.
54. Konstruktionen b (fig. 48): Teodolit med fast tub och
omställbart ryttarvattenpass på horisontalaxeln.
Vid ifrågavarande konstruktion, som medgifver lättare
justeroperationer än föregående konstruktion, bör man börja
med att justera horisontalaxeln.
1) Horisontalaxeln. För att justera horisontalaxeln,
har man först att bringa ryttarvattenpassets axel till
parallelism med horisontalaxeln och sedan, under bibehållande af
nämnde parallelism, att laga, det ryttarvattenpasset bildar
rät vinkel med alhidadaxeln.
För huru ett omställbart vattenpass justeras med
hänsyn till underlaget är redogjordt i 9, hvartill vi rörande
ryttarvattenpassets justering hänvisa. Det återstår att visa
huru ryttarvattenpasset och således äfven horisontalaxeln
bringas att bilda rät vinkel med alhidadaxeln. Detta försiggår
enligt 9 genom justerlagrets höjning eller sänkning, vare
sig att man, efter att hafva afläst utslagen a och a͵ i två
motsatta lägen (vridning kring alhidadaxeln), med
justerlagrets (ej ryttarvattenpassets) skruf bringar ryttarvattenpasset
att gifva det ur formeln (4) beräknade utslag, som motsvarar
alhidadens för tillfället varande lutning mot lodlinien, eller
att man, efter att hafva med fotskrufvarne bringat blåsan
att skarpt spela in och sedermera hafva vridit alhidaden
180°, bortskaffar halfva felutslaget med justerlagrets skruf.
Horisontalaxelns felläge göres genom mätning i två lägen
oskadligt på samma sätt vid denna som vid föregående
konstruktion.
2) Alhidadaxeln. Alhidadvattenpassen justeras med
hänsyn till alhidadaxeln på samma sätt vid denna som vid
föregående konstruktion.
3) Kollimationsfelet pröfvas, bortskaffas eller
oskadliggöres vid denna som vid föregående konstruktion.
4—5) För tubvattenpass och indexfel gäller vid denna
konstruktion hvad som är sagdt vid föregående under 4) och 5).
55. Konstruktionen c (fig. 51): Tuben, vridbar kring sin
geometriska axel, kan ändvändas
förekommer på engelska instrument, någon större uppmärksamhet, om den ej
vore temligen allmänt spridd vid svenska jernvägar..
1) Kollimationsaxeln måste vid denna konstruktion vara
centrerad och bilda rät vinkel med horisontalaxeln.
Först efterser man, om kollimationsaxeln är centrerad,
och utför i motsatt fall centreringsoperationen på sätt, som
i 28 blifvit visadt. Sedan pröfvas om kollimationsfel
förefinnes enligt fallen γ) och ε)
vid konstruktionen a.
Kollimationsfelet kan vid ifrågavarande konstruktion i
allmänhet ej bortskaffas (på hårkorsets skrufvar får man ej
vidare röra, såvida man ej vill uppoffra centreringen för att
få bort kollimationsfelet vid ett visst läge hos tuben), och
dess inflytande på mätningsresultatet kan, alldenstund dessa
instrument vanligen ej äro inrättade för genomslagning eller
omläggning, ej heller genom något mätningssätt kringgås.
Visserligen kan tuben ändvändas men det är lätt att inse
att denna operation, hvilken eljest ersätter genomslagningen,
i det den medverkar till att excentricitetsfel, horisontalaxelns
felläge, indexfel m. m. blifva oskadliga, om aritmetiska
mediet tages mellan afläsningar vid tubens båda lägen, ej
medför likartad verkan, då det är fråga om kollimationsfelet.
Ehuru i allmänhet kollimationsfelet utöfvar ett temligen
oskyldigt inflytande, så kan det dock vid noggranna mätningar i
kuperad terräng anses som en brist hos denna konstruktion,
att man ej kan eliminera detsamma. Vid stakningar
inverkar deremot kollimationsfelet hos denna konstruktion mindre
menligt än hos de båda föregående konstruktionerna (se
teodolitens användning vid stakning).
2) Alhidadaxeln. Finnes ett vattenpass på alhidaden,
så justeras det med hänsyn till alhidadaxeln på vanligt sätt
(se 9). Om tubvattenpassets förhållande till alhidadaxeln se 5.
3) Horisontalaxeln. Sedan man med noggranhet
instält alhidadaxeln, pröfvas horisontalaxelns läge i
öfverensstämmelse med något af de sätt, som finnas anförda vid
konstr. a, hvarvid dock är att bemärka, att vid fallet β)
genomslagningen ersättes af tubens ändvändning. Justeringen
verkställes äfven här genom det ena lagrets höjning eller
sänkning. Äfven vid ifrågavarande konstruktion
oskadliggöres horisontalaxelns felläge, om man mäter i två lägen
(genom ändvändning).
4) Teodoliter af hithörande konstruktion hafva oftast
ett under den vridbara tuben fästadt vattenpass. Dettas
axel bör vara parrallel med kollimationsaxeln. Innan någon
pröfning eller justering med hänsyn till detta vilkor
företages, måste tuben först vara centrerad.
Om vattenpasset (fig. 51) för båda de lägen, som tuben
genom ändvändning kan få, spelar in eller gifver samma
utslag åt samma håll, så är vattenpassets axel parallel med
underlaget, d. v. s. med de tubringarnes generatriser, hvilka
beröra gaffellagren, och således, alldenstund tuben är
centrerad, parallel med kollimationsaxeln. Ifrågavarande
justering består alltså uti att med vattenpassets justerskruf (se 9)
bringa vattenpassets blåsa att spela in eller att gifva samma
utslag åt samma håll för båda de lägen, som genom tubens
ändvändning erhållas. Vill man grunda justeringen på
blåsans inspelning, så är det förmånligt att använda
vertikalcirkelns inställningsskruf i stället för fotskrufvarne.
5) Indexfel. Är nonien flyttbar, så har man
(tubvattenpassets axel och kollimationsaxeln förutsättas parallela),
att noga inställa alhidadaxeln, att med vertikalcirkelns
inställningsskruf bringa tubvattenpasset att skarpt spela in
samt att flytta nonien, tills dess nollstreck kommer midt för
vertikalcirkelns motsvarande streck.
Ofta är nonien ej flyttbar vid dessa instrument, men i
stället kan hela lagerställningen förmedelst de skrufvar,
hvarmed den är fästad vid alhidadskifvan, förställas uti tubens
riktning. Är ett instrument på detta sätt konstrueradt, så
vrider man vertikalcirkeln tills noniens och vertikalcirkelns
nollstreck komma midt för hvarandra; bringar, efter en
förberedande inställning af alhidadaxeln med någon af
fotskrufvarne, tubvattenpassets blåsa att skarpt spela in; vrider
alhidaden 180° och borttager blåsans halfva utslag med
lagerställningens ena fästskruf. Behöfver operationen upprepas,
så bringas blåsan först att spela in med någon af
fotskrufvarne, o. s. v. När man slutligen på detta sätt fått
tubvattenpassets axel (kollimationsaxeln) att bilda rät vinkel
med alhidadaxeln, så är indexfelet bortskaffadt, ty
vertikalcirkelns och noniens nollstreck stå fortfarande midt för
hvarandra.
Förutsatt att tubringarne hafva samma diameter
vridbar tub., så
blir äfven vid denna konstruktion indexfelet oskadligt, om
man genom att ändvända tuben mäter i två lägen och tager
aritmetiska mediet mellan de båda afläsningarne.
56. Inflytandet af de tre axelfelen vid vinkelmätning.
Kollimationsaxeln. Om (fig. 64) kollimationsaxeln k o
ej bildar rät vinkel med horisontalaxeln h a utan en
felvinkel α förefinnes, så kommer k o, när tuben vrides, att alstra
en kon, som skär horisontalplanet efter två räta linier k͵ o
och k₂ o͵, hvilka tydligen hvar för sig bildar vinkeln α med
den mot h a vinkelräta linien c d. Emedan vid syftning på
alla punkter k, k͵, kp, o. s. v., som ligga på nämnde koniska
yta, det ej behöfves någon vridning af alhidaden, så erhålles
samma nonieafläsning vid horisontalcirkeln för samtlige dessa
punkter. Vid syftning på kp afläses derför e, under det
att, om kollimationsfelet ej förefunnes, man påtagligen skulle
afläsa g. Betecknas det af kollimationsaxelns felställning
föranledda projektionsfelet med f, så är
Fig. 64.
Om en storcirkel h e͵ c͵ a, som går genom
skärningspunkten e͵ uppritas, så är c͵ e͵ = c e.
Af figuren framgår, att, om
c͵ e͵ vore bågelement i en genom e͵, gående parallelcirkel till
c h a, vinklarne e͵ o" c͵ och g o c vore lika stora. Som
imellertid kollimationsaxelns lutningsvinkel v mot horisonten i
allmänhet ej är någon stor vinkel — sällan uppgående till 8
à 10°, öfverstiger den endast undantagsvis 20° — och
dessutom vinkeln α är ytterst liten, så kunna vi med för
ändamålet tillräcklig noggranhet äfven anse c͵ e͵ såsom bågelement
uti en parallelcirkel med radien e͵ o" = r cos v och således
äfven sätta: c͵ o" e͵ = g o c, eller, emedan de bågar, hvilka i
olika cirklar svara mot lika stora vinklar, förhålla sig som
cirklarnes radier,
r∕(r cos v) = (c g)∕(c͵ e͵) = (c g)∕(c e) = (g o c)∕α,
hvaraf
och
Af fig. 64 framgår att f alltid har samma tecken för samma
läge hos tuben. Man behöfver således uti ofvanstående formel
ej fästa afseende vid huruvida v är höjd- eller djupvinkel.
Formeln utvisar föröfrigt att, för ett gifvet värde på α,
f = 0 endast inträffar för v = 0 och att f ökas, när v ökas.
För att efterse i hvad mån kollimationsfelet inverkar
menligt vid mätning af horisontalvinklar, må det antagas,
att horisontalvinkeln mellan två signaler har blifvit mätt och
att kollimationsaxelns lutningsvinklar vid syftning på nämnde
signaler varit v͵ och v͵͵. Emedan vinkeln bestämmes af
skilnaden mellan de båda afläsningarne, så kommer
påtagligen densamma att blifva behäftad med ett fel δ, som,
emedan projektionsfelen f͵ och f͵͵ hafva samma tecken, fås ur
δ = f͵ − f͵͵ =
Af denna formel framgår, δ = 0 för v͵ = v͵͵. Man kan
derför säga: När de båda vinkelbenen hafva samma lutning
mot horisonten, vare sig att signalerna ligga på samma eller
på hvar sin sida om horisonten, så är kollimationsfelet utan
inflytande vid mätning af horisontalvinklar. Föröfrigt
framgår af formeln, att δ ökas, när det ena vinkelbenet närmar
sig horisonten och det andra närmar sig lodlinien. Det
största värde, som δ kan få, är enligt fig. 64 90° − α.
Formeln lemnar ett oegentligt maximum. Detta har sin
grund uti dess approximativa härledning, vid hvilken smärre
värden på v förutsattes.
Trots det stora fel, hvartill kollimationsaxelns
felställning kan gifva upphof, så har denna felorsak ringa
betydelse vid mätning af horisontal- och vertikalvinklar, ty
vinkelbenens lutningsvinklar äro i allmänhet små, synnerligen
vid triangelmätningar af första och andra ordningen, vid
hvilka v mycket sällan öfverstiger 1°.
För att gifva ett begrepp om kollimationsfelets betydelse,
har i följande tabell, enligt formeln (29), sammanförts
motsvarande värden på v, α och f. Vill man t. ex. med
tillhjelp af denna tabell söka δ för v͵ = 5°, v͵͵ = 2° och
α = 1′,
så fås δ = 0″,23 − 0″,04 = 0″,17.
Tabell 1.
┌───┬───────────────────────────┐
⏐ ⏐ v ⏐
⏐ α ⏐———————+———————+————————+—————————+————————— ⏐
⏐ ⏐ 1° ⏐ 2° ⏐ 5° ⏐ 10° ⏐ 45° ⏐
⏐————— +———————+———————+————————+—————————+————————— ⏐
⏐ 1" ⏐ 0″ ,01⏐ 0″ ,04⏐ 0″ ,23⏐ 0″ ,93 ⏐ 24″ ,8 ⏐
⏐ 2" ⏐ 0 ,02 ⏐ 0 ,07 ⏐ 0 ,46 ⏐ 1 ,85 ⏐ 47″ ,7 ⏐
⏐ 5" ⏐ 0 ,05 ⏐ 0 ,18 ⏐ 1 ,15 ⏐ 4 ,63 ⏐ 2′ 4″ ,0 ⏐
⏐ 10" ⏐ 0 ,09 ⏐ 0 ,36 ⏐ 2 ,30 ⏐ 9 ,26 ⏐ 4′ 9 ,0 ⏐
⏐ 1° ⏐ 0 ,55 ⏐ 2 ,15 ⏐ 13 ,78 ⏐ 55 ,5 ⏐24′ 51 ,0 ⏐
Att kollimationsfelet blir utan inflytande, om
horisontalvinklar mätas i två lägen (genomslagning eller omläggning)
och aritmetiska mediet tages mellan de i båda lägena
erhållna vinklarne, har redan förut blifvit påpekadt och torde
i fig. 64 ytterligare finna belysning.
På höjdvinklar har kollimationsfelet ännu mindre
inflytande än på horisontalvinklar. En teoretisk betraktelse
gifver, om man betecknar felet med f" och om v samt α
uttryckas i sekunder,
Farligast inverkar kollimationsfelet, då man vid
liniestakning (se teodolitens användning vid stakning), efter att
hafva stakat i en riktning, genomslår tuben för att fortsätta
i motsatt riktning. Har kollimationsaxeln i ena läget haft
riktningen oe får den vid horisontel syftning i andra läget
riktningen ok2. Linien blir i så fall bruten med 2α.
Horisontalaxeln. Om (fig. 65) horisontalaxeln h a
afviker från horisonten med vinkeln φ, då alhidadaxeln är
instäld, så kommer kollimationsaxeln att röra sig i det med
vinkeln φ mot lodlinien lutande planet c b k d. Emedan vid
syftning på alla punkter k, k" o. s. v., som ligga i nämnde
plan, det ej behöfves någon vridning af alhidaden, så erhålles
vid horisontalcirkeln samma afläsning för dessa punkter.
Instrumentet projicerar alltså oriktigt.
Fig. 65.
Om horisontalaxeln ej afviker från horisonten, då tuben
är instäld på signalen p, så afläses c. Vrider man
horisontalaxeln i vertikalplanet tills den lutar vinkeln φ mot
horisonten, så afläses fortfarande c, men kollimationsaxeln får
läget k o. Den vinkel f, som alhidaden behöfver vridas kring
alhidadaxeln, för att kollimationsaxeln ånyo må få läget p o,
angifver det projektionsfel, som horisontalaxelns lutning med
vinkeln φ mot horisonten föranleder, då kollimationsaxeln lutar
med vinkeln v mot horisonten.
Emedan vinklarne α och f förekomma mycket små, så
kan man vid dem, med bibehållande af för ändamålet
erforderlig noggranhet, tillåta sig ett utbyte af kordan eller
tangenten mot bågen. Följande relationer låta (alldenstund
g i = r cos v och g o = r sin v) i så fall härleda sig i
trianglarne i b g och o g e:
hvaraf
Af fig. 65 framgår att projektionsfelet får olika tecken,
allt efter som signalen ligger öfver eller under
instrumenthorisonten, d. v. s. allt efter som v är höjd- eller djupvinkel.
Formeln (32) lemnar, då horisontalaxeln lutar med en viss
vinkel, f = 0 endast för v = 0 och visar att f växer när v ökas.
För att få utrönt i hvad mån horisontalaxelns felläge
inverkar menligt vid mätning af horisontalvinklar, må det
antagas, att horisontalvinkeln mellan två signaler blifvit mätt
och att kollimationsaxelns lutningsvinklar vid syftning på
nämnde signaler varit v͵ och v͵͵. Som vinkeln bestämmes
af skilnaden mellan afläsningarne, så blir den behäftad med
ett fel δ som erhålles ur
δ = φ (tang v͵ — tang v͵͵)
I denna formel gifves i öfverensstämmelse med hvad
nyss blifvit påpekadt åt v͵ och v͵͵ samma eller motsatta
tecken (i förra fallet δ = skilnaden mellan, i senare fallet δ = summan af de båda projektionsfelen) allt efter som
signalerna ligga på samma eller motsatta sidor om
instrumenthorisonten.
Af formeln framgår vidare, att δ = o inträffar för v͵ = v͵͵,
d. v. s., när de båda lutningsvinklarne äro lika stora och
signalerna ligga på samma sida om instrumenthorisonten; och
af figuren, att δmax = 180° inträffar för v͵ = — v͵͵ = 90°.
Formeln lemnar oegentligt maximivärde i anseende till dess
approximativa härledning under förutsättning af smärre
värden på v. Följande tabell, innehållande motsvarande värden
på v, φ och f, visar att horisontalaxelns felläge utöfvar ett
vida menligare inflytande vid mätning af horisontalvin klar
än kollimationsfelet. För v͵ = 10°, v͵͵ = −2° och φ = 1′ är
δ = 10″,58 + 2″,10 = 12″,68.
Tabell 2.
+======+================================================+
| | v |
| φ |————————+——————————+—————————+———————————+——————|
| | 1° | 2° | 5° | 10° | 45° |
|——————|—————————|—————————|—————————|———————————|——————|
| 10″ | 0″,17 | 0″,35 | 0″,87 | 1″,76 | 10″ |
| 30″ | 0 ,52 | 1 ,05 | 2 ,62 | 5 ,29 | 30″ |
| 1′ | 1 ,05 | 2 ,10 | 5 ,25 | 10 ,58 | 1′ |
| 5′ | 5 ,23 | 10 ,48 | 26 ,24 | 52 ,90 | 5′ |
| 10′ | 10 ,47 | 20 ,95 | 52 ,49 | 1′46″ | 10′ |
Att horisontalaxelns felläge blir utan inflytande vid
mätning af horisontalvinklar i två lägen (genomslagning eller
ändvändning), om aritmetiska mediet tages mellan de i båda
lägena erhållna vinklarne, har redan förut blifvit påpekadt
och torde af fig. 65 ytterligare finna belysning.
På höjdvinklar utöfvar horisontalaxelns felläge ett
försvinnande inflytande. En teoretisk betraktelse gifver, om
felet betecknas med f′,
Fig. 66.
Alhidadaxeln. Om (fig. 66) alhidadaxeln, vare sig af
att vattenpasset ej är tillräckligt känsligt eller ej är bragt att
med erforderlig skärpa spela in, afviker från lodlinien med
en vinkel φ͵ och samtlige axlar föröfrigt hafva riktiga lägen
i förhållande till hvarandra, så kommer horisontalaxeln, då
alhidaden vrides kring alhidadaxeln, att alstra ett plan
h a͵ a h͵, som lutar med vinkeln φ͵ mot horisontalplanet, och kollimationsaxeln vid företagna mätningar att projicera på
det lutande planet i stället för på horisontalplanet. Kände
man horisontalaxelns lutningsvinkel φ för ett visst läge —
tydligen kommer horisontalaxeln att luta med alla möjliga
vinklar mellan 0 och φ͵, då vridning eger rum kring
alhidadaxeln — så hade man blott att insätta detta värde på
φ uti formlerna (32) och (33) för att erhålla det sökta
projektions- och vinkelfelet, som svarar mot detta läge.
Om horisontalaxeln, när den innehar läget h a, vrides
en vinkel γ kring alhidadaxeln, så kommer den att intaga
läget d o och att luta med vinkeln φ mot horisontalplanet.
Emedan man utan märkbart fel kan sätta bc = de, och
emedan b0 = r sin γ samt φ och φ͵ äro ytterst små vinklar, så är rφ = φ͵r sin γ,
hvaraf φ = φ͵ sin γ. Insättes detta värde
på φ uti formlerna (32) och (33), så erhållas
och
Uti dessa formler räknas v positiv eller negativ allt
eftersom den är höjd- eller djupvinkel och tecknet för sin γ
bestämmes på vanligt sätt.
Af formeln framgår, att δ = 0 inträffar för
γ͵ = γ͵͵ = 0
eller 180 samt att δmax. inträffar för
γ͵ = γ͵͵ = 90° eller 270°,
då v͵ = −v͵͵ = 90°. Föröfrigt visar formeln att
alhidadaxelns felställning i allmänhet har oskyldigare inverkan än
horisontalaxelns felläge vid mätning af horisontalvinklar. Den
förstnämnde felorsaken är imellertid så till vida farligare, att
dess inflytande ej oskadliggöres genom mätning i två lägen.
De värden på f, som svara mot kända värden på
φ = φ͵ sin γ och v, erhållas i tabellen 2 på sid. 79.
Utöfva kollimationsfelet och horisontalaxelns felläge i
allmänhet ej något beaktansvärdt inflytande vid mätning af
vertikalvinklar, så är alhidadaxeln felställning så mycket
farligare. Det projektionsfel f′, som uppkommer deraf, att
alhidadaxeln lutar en obetydlig vinkel mot horisonten,
erhålles ur
Detta fel är af försvinnande betydelse, och härom är ej
fråga, utan om den direkta inverkan af alhidadaxelns
afvikelse från lodlinien vid mätning af vertikalvinklar.
Om (fig. 66) alhidadaxeln lutar med vinkeln φ͵ mot
lodlinien, och kollimationsaxeln intager läget h a (horisontalaxeln
intager då läget h͵ a͵) samt noniens och vertikalcirkelns
nollstreck stå midt för hvarandra, så kommer vid alhidadens
vridning kollimationsaxeln att alstra planet h a͵ a h͵.
Tydligen pekar sistnämnde axel öfver horisonten, då alhidadens
vridningsvinkel ligger mellan 0° och 180°, deremot under
horisonten, när vridningsvinkeln ligger mellan 180° och 360°.
Kollimationsaxeln kommer alltså på grund af alhidadaxelns
felställning att luta mot horisonten med vinklar, som af nonien
ej alls angifvas. Om kollimationsaxeln derför intager ett
läge d o, svarande mot vinkeln γ, så lutar den oaktadt noniens
och vertikalcirkelns nollstreck stå midt för hvarandra med
vinkeln φ mot horisontalplanet. Vid alla mätningar i planet
d q s blifva således vinklarne felaktiga med vinkeln φ (= φ͵ sin γ
enligt det föregående). Om den aflästa höjdvinkeln
betecknas med w och om såsom vanligt vid trigonometrisk
höjdmätning zenitvinkeln mätes samt betecknas med u, så fås de
med φ korrigerade höjd- och zenitvinklarne ur
φ = 0 inträffar för γ = 0 eller γ = 180°;
φmax = φ͵ inträffar
för γ = 90° eller γ = 270°.
Alhidadaxelns afvikelse från lodlinien kan således hafva
ett ganska farligt inflytande vid mätning af vertikalvinklar,
detta så mycket mer, som felet ej elimineras genom mätning
på vanligt sätt i två lägen. Det framgår tydligen af figuren
att man, om tuben inställes på en signal p, efter
genomslagning och behörig vridning af 180° samt förnyad
inställning får samma afläsning som i första läget. Naturligtvis
har man i sin makt att kunna justera vattenpasset och med
tillhjelp af detsamma närmevis inställa alhidadaxeln; men
dels af att ett känsligt vattenpass sällan bibehåller sig
justeradt, dels af andra skäl, är det nödvändigt att genom lämpligt
mätningssätt göra sig oberoende af detta fel. Man kan nå
målet på två sätt; men båda förutsätta, att instrumentet
är försedt med ett mycket känsligt, i tubens riktning förlagdt
vattenpass, som lämpligast bör vara fästadt vid alhidaden.
1) Man mäter för hvarje signal det motsvarande värdet
på φ enligt 10—3) (att det är φ eller vinkeln mellan
lodliniens projektion på syftplanet och alhidadaxeln, som blir
uppmätt på detta sätt, torde (fig. 66) väl ej behöfva bevisas)
och ökar eller minskar härmed höjd- eller zenitvinkeln,
allt efter som vattenpasset angifvit att alhidadaxeln lutar
åt ena eller andra hållet. Af fig. 66 framgår, att φ
adderas till zenitvinkeln och subtraheras från höjdvinkeln,
när alhidadaxeln lutar mot signalen, och att förhållandet blir
omvändt, då den lutar från signalen. Som vertikalvinklar
alltid mätas i två lägen, så behöfvas inga särskilda
operationer för mätning af φ.
2) Man mäter i två lägen och bringar för hvardera
läget, sedan tuben blifvit instäld i syftplanet,
höjdmätningsvattenpasset att spela in. Med ledning af fig. 67 och 68
kan lätt bevisas, att höjdvinkeln v erhålles oberoende af φ
ur det aritmetiska mediet mellan de båda aflästa vinklarne
w och w͵.
Fig. 67. Fig. 68.
Om (fig. 67) a o är alhidadaxelns projektion på
syftplanet, när det i tubens riktning förlagda vattenpasset spelar
in, så kommer, då tuben genomslås (ändvändes) och ånyo
inställes på signalen, nämnde vattenpass att vridas 180° och
således att gifva utslag för 2φ; bringar man med
fotskrufvarne blåsan att ånyo spela in, så vrides alltså a o
vinkeln 2φ och intager (fig. 68) läget a͵ o. I första läget är
w = v − φ; i andra läget w͵ = v + φ. Alltså är
Det säger sig sjelf, att genom detta mätningssätt äfven
zenitvinkeln fås oberoende af alhidadaxelns lutningsvinkel.
Sammanfattning af föregående betraktelser.
Kollimationsfelet är det minst farliga vid vinkelmätning, men det
mest farliga vid räta liniers stakning (vid tubens
genomslagning) af de tre axelfelen. Horisontalaxelns felläge är i
allmänhet farligare än alhidadaxelns felställning vid mätning
af horisontalvinklar. Föröfrigt göra sig de tre axelfelen
mera gällande i samma mån som terrängen är kuperad.
Alhidadaxelns felställning oskadliggöres ej såsom de båda
öfriga axelfelen, om horisontalvinklar mätas i två lägen.
Vid triangel- eller bruten liniemätning för praktiska
ändamål äro axelfelen i plan terräng utan betydelse; i mycket
kuperad terräng fordras god inställning af alhidadaxeln och,
om man ej mäter i två lägen, äfven god justering af de
båda öfriga axlarne. Vid triangelmätning af 1:sta och 2:dra
ordningen fordras noggrann inställning af alhidadaxeln och
noggrann justering af de båda öfriga axlarne.
Vid mätning af vertikalvinklar utöfvar alhidadaxelns
felställning ett mycket farligt direkt inflytande, hvaraf man
genom lämpligt mätningssätt måste göra sig oberoende.
Härföre erfordras ett känsligt, vid alhidaden fästadt och i
tubens riktning förlagdt vattenpass. De projektionsfel, som
de tre axelfelen föranleda vid mätning af vertikalvinklar,
hafva deremot under vanliga förhållanden ej något
beaktansvärdt inflytande.
II. Teodolitens konstanta fel.
57. Undersökningen af hithörande fel hos en teodolit
måste en gång för alla utföras. De vigtigaste bland dessa
fel må i det följande belysas.
58. Excentricitet mellan horisontalcirkeln och
alhidadaxeln. Detta fel föranledes vid de teodoliter, som hafva
tapphylsan fästad vid horisontalcirkeln (fig. 48), af att hylsan och
horisontalcirkeln ej blifvit svarfvade kring samma axel; och
vid de teodoliter, som hafva
alhidadtappen fästade vid
horisontalcirkeln (fig. 52), af att
horizontalcirkeln och
alhidadtappen ej blifvit svarfvade kring
samma axel.
Fig. 69.
Om i fig. 69 o är
horisontalcirkelns medelpunkt och a
är alhidadaxeln, så kommer
alhidaden (nonien) att vridas kring
a under det att
horisontalcirkelns gradering hänför sig till c.
Excentricitetsfelet e föranleder
derför, att det afläses en annan
vinkel än den som mätes; af fig. 69 framgår nämligen, om
en vinkel p a p͵ = n a n͵ = v mätes och nonien dervid öfverfar
bågen n n͵, att denne båge ej svarar mot n a n͵ utan mot
den aflästa vinkeln n c n͵ = v͵. Skilnaden v͵ — v är tydligen det sökta vinkelfelet f, hvartill ifrågavarande excentricitet
har gifvit upphof, och som vi till en början hafva att bestämma.
Emedan trianglarne a i n͵ och c i n hafva vinklarne vid
i lika stora, så är v + α = v͵ + α͵ och således
I trianglarne a c n͵ och a c n finner man vidare, om den
graderade bågens radie betecknas med r,
och
Som excentriciteten e är en ytterst liten storhet och
vinklarne α och α͵ äro ytterst små, så kan för dessa vinklar
sinus utbytas mot bågen; och emedan x sek = 206265 x båge,
så erhålles
och
Insättas dessa värden på α och α͵ uti den första
eqvationen, så fås
f sek = α − α͵ =
206265 (e∕r) [sin φ − sin (φ − v)]
eller efter en enkel trigonometrisk transformation
412530 (e∕r) sin (v∕2) cos (φ − v∕2)
f = 0 inträffar för cos (φ − v/2) = 0, d. v. s. för
Vid en blick på fig. 70 finna vi alltså, att excentricitet
mellan horisontalcirkeln och alhidadaxeln föranleder ej något fel,
när nonien öfverfar bågar, hvilkas itudelningslinie (i l) bildar rät
vinkel med excentricitetslinien (a c).
Vid gifvet värde på v blir f störst för cos (φ − v/2) = 1,
d. v. s. för φ = v/2; f max inträffar för
sin (v/2) cos (φ − v/2) = 1
ett fel, bestående uti, att f max säges inträffa för cos (φ − v/2). Häraf
oreda vid denna frågas behandling.,
d. v. s. för φ = v/2 = 90° eller 270°. Häraf framgår (fig. 71),
att excentricitet mellan horisontalcirkeln och alhidadaxeln inverkar
menligast, när nonien öfverfar bågar, som af excentricitetslinien
(a c) halfveras, och att felet blir större i samma mån som v närmar
sig 180 °.
Fig. 70. Fig. 71.
Antages φ = v/2 = 30, excentriciteten e = 0,1 m.m. (= 0,037 linie) och
radien r = 100 m.m. (= 33,68 linier), så är enligt
formeln (40)
f = 412530 · 0,1 · 0,5∕100 = 206″ = 3′26″.
För φ = v/2 = 90°, då f når sitt maximivärde, blir vid
samma excentricitet och samma radie f = 2 · 206″ = 6′52″.
Man ser häraf, att äfven en så obetydlig excentricitet som
0,1 m.m. föranleder vid ofördelaktiga lägen hos nonien ett
så stort fel, att det ej ens vid de gröfsta mätningar kan
tillåtas. Lyckligtvis kan man på två sätt göra sig
oberoende af detta fel, vanligen det farligaste hos en teodolit.
Om instrumentet är försedt med två diametralt
motsatta nonier, så gifver oaktadt ifrågavarande excentricitet
aritmetiska mediet mellan de af båda nonierna angifna
vinkelvärdena den sanna vinkeln; ty om i fig. 69 de streckade
linierna dragas, så är v = n a n͵ = a n′ n͵ + a n͵ n′ =
= (n c n͵ + n′ c n͵′) ∕ 2.
Äfven när blott en nonie finnes på instrumentet kan
förevarande excentricitetsfel göras oskadligt, såvida tuben är
inrättad för genomslagning eller ändvändning; ty om vinkeln
p a p͵ mätes i ena läget, hvarvid n c n͵ avläses, och tuben
genomslås eller ändvändes samt ånyo inriktas på p och p͵,
så får nonien diametralt motsatta lägen mot förut och
angifver således n′ c n͵′. Aritmetiska mediet af de båda under
mätning i två lägen af nonien angifna vinkelvärdena lemnar
tydligen i öfverensstämmelse med föregående fall den sanna
vinkeln.
Vill man undersöka i hvad mån en teodolit med två
diametralt motsatta nonier är behäftad med excentricitet
mellan horisontalcirkeln och alhidadaxeln, samt dessutom
finna excentricitetsliniens läge, så kan man gå tillväga på
nedan beskrifne sätt, hvars riktighet framgår ur formeln (40),
men som torde förtydligas af följande betraktelser.
Fig. 72.
Tänker inan sig (fig. 72) de båda nonierna ersatta af
en indexlinie n n͵ som svänger kring a och dervid öfverfar
horisontalcirkeln, så förblir
påtagligen skilnaden mellan afläsningarne
vid liniens båda ändar
ej konstant när a ej
sammanfaller med c, d. v. s. när
ifrågavarande excentricitet
förefinnes. Vi vilja först söka den
lag, enligt hvilken denna
skilnad till- och aftager, samt sedan
visa, huru man på grund häraf
kan finna excentricitetsliniens
läge.
Om indexlinien
sammanfaller med excentricitetslinien a c,
så är afläsningsskilnaden 180°.
Vrides indexlinien åt det håll som pilen angifver, så aftager
denna skilnad
den båge, som ligger till höger om n n͵, då man, deltagande i rörelsen
hos punkten n, har ansigtet vändt mot n͵.
(för läget b b͵ är den 180 − b c; för läget c c͵
är den 180° − b͵ c͵ o. s. v.) tills den i läget d d͵ bildar rät vinkel med a c, då skilnaden har minimivärdet 180 − 2 d t.
Fortsattes sedan vridningen, så ökas afläsningsskilnaden tills
indexlinien ånyo, fast ändvänd, sammanfaller med d͵ d. Häraf
framgår att afläsningsskilnaden blir 180° när indexlinien
sammanfaller med excentricitetslinien samt att den når sitt
minimum, då vridningsvinkeln är 90° och sitt maximum då
vridningsvinkeln är 270°.
För att med ledning af det ofvan sagda pröfva i hvad
mån teodoliten är behäftad med ifrågavarande
excentricitetsfel, inställer man den ena nonien på jemna tiotal af grader,
tills man med den gått rundt hela cirkeln, och afläser för
hvarje inställning vid den diametralt motsatta nonien. Visar
det sig då att för alla 36 fallen nonierna skilja sig med 180°
eller, om deras nollstreck ej ligga exakt på samma
diameter, med 180 ± en konstant, så förefinnes ej ifrågavarande
excentricitet; visar det sig deremot att afläsningsskilnaden
symmetriskt till- och aftager, så är teodoliten behäftad med
detta fel, och excentricitetsliniens riktning angifves af det
noniernas läge, för hvilket afläsningsskilnaden är 180° eller
ett medium af samtlige afläsningsskilnaderna. På hvilken
sida om horisontalcirkelns medelpunkt alhidadaxeln är
belägen, angifves, om man mäter en vinkel, som af
excentricitetslinien halfveras, af den nonie som lemnar minsta värdet.
Det säger sig sjelf att afläsnings- och delningsfel m. m.
skola verka derhän, att en dylik observationsserie ej får en
matematiskt noggrann karakter. Några afläsningar visa sig
derför mer eller mindre afvika från seriens allmänna lag.
Vid nästan alla teodoliter, som äro fint och väl graderade,
kan man dock vid omsorgsfulla inställningar och
observationer vanligen få en afläsningsserie, som temligen noga
utvisar excentricitetsliniens läge.
Vill man taga reda på maximifelet, så har man att
ställa noniernas diameter (den som sammanbinder
nollstrecken) vinkelrätt emot excentricitetslinien och, sedan afläsning
egt rum, att vrida alhidaden, tills den ena nonien öfverfarit
180°. Den andra nonien visar sig då på grund af
excentriciteten hafva öfverfarit 180 ± 2 d t. Den sanna
vinkeln, som alhidaden vridits, erhålles enligt föregående ur
(180 + 180 ± 2d t)∕2 = 180 ± dt och f max tydligen ur
l80 ± dt − 180 = ± dt. Insattes detta värde i formeln
f sek = 412530 e∕r så kan e beräknas.
Tillvaron af förevarande excentricitet gifver sig föröfrigt
tillkänna, om den ljusrand, som ögat vid lämplig dager
förmår skönja mellan alhidaden och horisontalcirkeln, är olika
bred vid samma ställe (nonie) af alhidaden, då alhidaden
vrides.
Det stora inflytande, som ifrågavarande excentricitet
utöfvar, gör att alla instrument, som endast hafva en nonie
och med hvilka man ej kan mäta i två lägen, i allmänhet
lemna mycket felaktiga vinklar.
Det behöfver väl knapt påpekas, att hvad ofvan är
sagdt, under förutsättning att teodoliten har diametralt
motsatta nonier, gäller äfven om nonierna utbytas mot
skrufmikroskop.
59. Excentricitet mellan noniebågarne och alhidadaxeln
är af vida oskyldigare beskaffenhet än föregående
excentricitetsfel. Om (fig. 73) a och a͵ äro alhidadaxeln och
alhidadens (noniebågarnes) medelpunkter, så få nonierna
excentriska lägen i förhållande till horisontalcirkeln.
Något annat fel föranleder ej denna excentricitet.
Visserligen kommer, om såsom i
föregående fall nonierna ersättas
af en indexlinie, denna
linie ej att gå genom a — den
tangerar en cirkel — då
rörelse eger rum kring a; men
af figuren framgår att de
öfverfarna bågarne n n′ och n͵ n͵′
svara mot alhidadens
vridningsvinkel v och att
afläsningsskilnaden förblir 180 ± en
konstant (konstant = 0, om
indexlinien sammanfaller med
excentricitetslinien e l). Då det i
allmänhet står uti
instrumentmakarens makt att göra denna excentricitet så liten, att
noniernas excentriska lägen i förhållande till
horisontalcirkeln blir utan beaktansvärdt inflytande, så må en
matematisk kritik här lemnas åsido, detta så mycket mer som den
troligen ej skulle leda till något praktiskt resultat.
Tillvaron af denna excentricitet gifver sig likasom den
föregående tillkänna genom en olika bredd hos ljusranden
mellan alhidaden och hororisontalcirkeln; men man skiljer
den från föregående deruti, att ljusranden, då alhidaden
vrides, ej ändrar bredd vid samma ställe (nonie) af alhidaden.
Förevarande excentricitet förlorar all betydelse vid
instrument med skrufmikroskop.
60. Excentricitet mellan vertikalcirkeln och
horisontalaxeln är af samma natur som excentricitet mellan
horisontalcirkeln och alhidadaxeln. Vi hänvisa derför till 58.
Förevarande excentricitet göres oskadlig, om man mäter
höjd- eller zenitvinklar med två nonier; men ej — och i detta
afseende skiljer den sig från excentriciteten mellan
horisontalcirkeln och alhidadaxeln — om man mäter i två lägen
med blott en nonie. Denna nonie kommer nämligen, såsom
längre fram skall visas, vid höjdmätning ej att öfverfara
diametralt motsatta bågar, hvilket enligt 58 är ett vilkor
för att en excentricitet af ifrågavarande natur skall blifva
oskadlig
felet eger rum, då man mäter höjdvinklar med en nonie i två lägen..
En teodolit, som ej har minst två nonier vid
vertikalcirkeln, är med anledning häraf oduglig för noggrann
trigonometrisk höjdmätning.
61. Excentricitet mellan vertikalcirkeln och
noniebågarne har likasom motsvarande excentricitet vid
horisontalcirkeln och dess noniebågar (se 59), under vanliga
förhållanden ett temligen oskyldigt inflytande. Afvikelsen är dock
i allmänhet större vid vertikalcirkeln än vid horisontalcirkeln
med anledning af det sätt, hvarpå den förres nonier äro
fästade. Det torde i samband härmed vara på sin plats att
påpeka nödvändigheten af, att med största försigtighet ändra
läget af dessa, ofta medelst två justerskrufvar flyttbara nonier,
då t. ex. indexfel skall genom noniernas flyttning bortskaffas.
Det händer nämligen lätt vid en sådan operation, att åt
nonierna gifves så skefva lägen, att ifrågavarande felorsak
får stor betydelse.
62. Excentricitet mellan tuben och alhidadaxeln består
uti att kollimationsaxeln ej skäres af alhidadaxeln, hvadan
den förra, när alhidaden vrides, tangerar en cirkel med
excentriciteten till radie. Härigenom uppkommer ett fel,
alldenstund (fig. 74) vinkeln
p a p͵ = v͵ mätes i stället
för p c p͵ = v. Om detta
fel betecknas med f, så är
f = v − v͵ och emedan
trianglarne p͵ c i och p i a
hafva vinklarne vid i lika
stora, så är v + β = v͵ + α
eller
Fig. 74.
Betecknas vidare c p och c p͵ med l och l͵ samt excentriciteten med e, så är
och
Som α och β påtagligen äro mycket små, så kan för
dem sinus utbytas mot bågen, hvarvid, om de derjemte
uttryckas i sekunder, erhålles
och
Insättas dessa värden i den första eqvationen, så fås
Som e vid den vanliga teodoliten (ej vid den med excentrisk tub) är en ytterst obetydlig storhet (öfverstiger sällan en m.m.) vid sidan af afstånden l och l͵ mellan stationen och signalerna, och som l och l͵ dessutom i allmänhet ej till storlek mycket afvika från hvarandra, så utvisar ofvanstående formel, att denna excentricitet ej har farligt, ej ens beaktansvärdt inflytande. Felet försvinner föröfrigt för l = l͵ och göres helt och hållet oskadligt om mätning verkställes i två lägen med genomslagning eller ändvändning. Vid tubens andra läge afläses nämligen v͵͵; och emedan trianglarne a͵ p͵ i͵ och c i͵ p hafva vinklarne vid i͵ lika stora, så kan, om den för första läget funna eqvationen medtages, skrifvas och hvaraf, om addition företages på ömse sidor om likhetstecknet, Med anledning af att ifrågavarande fel låter fullkomligt eliminera sig och att vinklar i allmänhet mätas i två lägen, finner man många instrument med tuben utanför ett af lagren med excentrisk tub. Man undviker vid denna konstruktion höga lagerstöttor och vinner i öfrigt förenkling. Det säger sig sjelf, att man med ett sådant instrument alltid måste mäta vinklar i två lägen. 63. Delningsfel eller fel vid cirklarnes och noniernas gradering äro de bland teodolitens konstanta fel, som i väsendtlig mån inverka menligt. Dessa fel kunna aldrig i önskvärd mån undvikas; man är derför hänvisad till att så vidt möjligt är söka kringgå deras skadliga inflytande. Detta sker genom att använda flera nonier (skrufmikroskop) samt genom att mäta en vinkel flera gånger och på olika ställen af cirklarne. Härigenom utjemnas påtagligen bristerna hos graderingen, och den sökta vinkeln blir riktigare i samma mån, som den är ett medium af flera afläsningar. Den enkla teodoliten, hos hvilken horisontalcirkein ej är vridbar, medgifver, äfven om genomslagning användes, ej mer än två lägen för hvarje nonie. Häri ligger orsaken till den enkla teodolitens oanvändbarhet vid finare mätningar. Visserligen kan instrumentet omställas på stativet eller jemte detsamma, men härmed förbundna inställningar af alhidadaxeln m. m. göra ett sådant sätt att mäta med teodolit ytterst besvärligt. Vid multiplikationsteodoliten kan man påtagligen utan besvär mäta vinkeln hvar som helst på horisontalcirkeln. 64. Axlarne ej vinkelräta mot cirklarnes planer. Om alhidadaxeln ej bildar rät vinkel med horisontalcirkelns plan, eller horisontalaxeln ej bildar rät vinkel med vertikalcirkelns plan, så föranledas fel, hvilka dock vanligen ej äro af någon betydelse, emedan dessa afvikelser äro relativt lätta att hålla inom de gränser, der de ej utöfva något farligt inflytande. En sådan afvikelse inverkar i allmänhet menligast vid afläsning. 65. Afvikelse mellan repetitionsaxeln och alhidadaxeln förefinnes i mer eller mindre mån vid nästan alla sammansatta teodoliter. Om de båda axlarne ej sammanfalla, utan äro med hvarandra parallela, så är visserligen excentricitet för handen, men denna excentricitet har ej beaktansvärd betydelse. Den motsvarar tydligen endast en ytterst obetydlig excentrisk uppställning af instrumentet öfver stationspunkten. Farligare är förhållandet, då de båda axlarne ej äro parallela. I så fall kommer alhidaden att alstra en kon eller en hyberboloid, allt efter som de båda axlarne skära eller icke skära hvarandra. Alhidadaxeln får således ej bibehålla sin lodräta ställning, och med anledning häraf uppkommer det fel, som i 56 blifvit närmare afhandladt. Man upptäcker lätt, om de båda axlarne luta mot hvarandra, genom att ställa alhidadaxeln lodrätt; visar det sig sedan vid vridning kring repetitionsaxeln, att vattenpassets blåsa fortfarande spelar in, så är instrumentet uti ifrågavarande afseende felfritt; i motsatt fall kan man på grund af utslagets storlek närmevis uppskatta felets storlek. Ifrågavarande fel får vid mätning af horisontalvinklar naturligtvis endast betydelse vid upprepad mätning, d. v. s. när repetitionsaxeln användes. Lyckligtvis oskadliggöres det då, om man ställer så till, att vinkeln mätes jemnt fördeladt öfver horisontalcirkeln; ty har alhidadaxeln vid en afläsning lutat åt ett visst håll, så kommer han vid den diametralt motsatta afläsningen med samma nonie att luta åt motsatt håll. Härigenom utjemnas felen, och mediet af samtliga aflästa vinklarne gifver den sökta horisontalvinkeln temligen oberoende af ifrågavarande fel. Vid mätning af vertikalvinklar äro förevarande fel farligast. För huru man härvid gör sig oberoende af alhidadaxelns lutning mot lodlinien se 56. 66. Inflytandet af olika ringdiametrar vid instrument med vridbar tub. För en närmare belysning af denna fråga hänvisas till hvad härom iinnes anfördt vid afvägningsinstrument med vridbar tub. Detta fel gör sig endast gällande vid höjdmätning. Teodolitens användning för mätning af horisontalvinklar. 67. En horisontalvinkel kan mätas på följande olika sätt: 1) Enkel mätning i ett läge. Sedan instrumentet blifvit vederbörligen centreradt och instäldt öfver stationspunkten (i händelse af multiplikationsteodolit fastläses först horisontalcirkeln), syftar man på signalen til! venster och afläser; syftar sedan på signalen till höger och afläser ånyo; subtraherar slutligen den första afläsningen från den sista. Har nonien under tubens vridning från den venstra till den högra signalen gått öfver strecket 360° (nollstrecket), så måste påtagligen 360° adderas till den sista afläsningen innan skilnaden tages. Egentligen är det likgiltigt på hvilken signal man först inställer tuben; men för undvikande af misstag är det förmånligt, att här likasom vid mätningar i allmänhet följa en bestämd regel. Afläses vid två diametralt motsatta nonier och aritmetiska mediet tages mellan de af dem angifna vinkelvärdena, så erhålles den sökta vinkeln fri från det fel, som excentriciteten mellan alhidadaxeln och horisontalcirkeln eljest förorsakar. Detta mätningssätt användes endast undantagsvis och då vid underordnade mätningar. 2) Tvåfaldig mätning i två lägen. Man verkställer mätningen som i föregående fall; genomslår tuben — den vridbara tuben ändvändes — och upprepar mätningen i 2:dra läget. Ett medium af de båda vinkelvärdena gifver den sökta vinkeln. Finnas flera nonier, så har man att taga mediet mellan de af dem samtligen angifna vinkelvärdena. Protokollet kan föras enligt följande schema: +=====+======+===============+===============+===============+ !Läge.!Nonie.! Signal ! Skilnad. ! ! ! !-------------------------------! ! ! ! ! till venster. ! till höger. ! ! +-----+------+---------------+---------------+---------------+ ! {! I ! 65° 59′ 40″ ! 184° 54′ 50″ ! 118° 55′ 10″ ! ! 1 {! ! ! ! ! ! {! II ! 245 59 30 ! 4 54 50 ! « « 20 ! ! ! ! ! ! ! ! {! I ! 246 0 0 ! 4 55 40 ! « « 40 ! ! 2 {! ! ! ! ! ! {! II ! 66 0 10 ! 184 55 40 ! « « 30 ! ========+===============+ Medium ! 118° 55′ 25″ ! Af schemat framgår, att nonien II vid mätningen i tubens 1:sta läge har öfverfarit nollstrecket; dess motsvarande vinkelvärde har derför erhållits ur 360° + 4° 54′50″− 245° 59′30″= 118° 55′20″. Genom mätning i två lägen göras, äfven om blott en nonie begagnas, följande fel oskadliga: excentricitet mellan alhidadaxeln och horisontalcirkeln, excentriskt läge hos tuben (har endast betydelse vid teodoliten med excentrisk tub), kollimationsfel (ej genom ändvändning), horisontalaxelns felläge. 3) Multiplikationsmätning. Detta mätningssätt, som förutsätter en multiplikationsteodolit, består uti att upprepa det näst föregående flera gånger, och att hvarje gång förställa (vrida) horisontalcirkeln, på det att vinkeln i fråga må mätas (afläsas) på olika ställen af horisontalcirkeln. Huru mycket som horisontalcirkeln bör förställas beror i allmänhet på antalet gånger, som mätningen kommer att upprepas. Skall detts ske n gånger, så bör man för att hvardera nonien må komma rundt hela horisontalcirkeln ungefär förställa denna cirkel 360°∕n för hvarje gång. Vill man vid en teodolit med två eller fyra nonier lägga ofvannämnde regel till grund for horisontalcirkelns förställning, så är det förmånligast att upprepa mätningen ett udda antal gånger; ty en nonie kommer då ej att intaga lägen som någon af de öfriga innehaft. Mätes t. ex. en vinkel 8 gånger tvåfaldigt, och horisontalcirkeln för hvarje gång förställes 360∕8 = 45°, så kommer för en teodolit med fyra nonier vid de 6 sista mätningarne hvarje nonie att intaga lägen, som någon af de öfriga innehaft. Vinkeln blir således endast uppmätt på 8 ställen af horisontalcirkeln, då den borde hafva blifvit det på 4 × 8 = 32 ställen, och felaktig delning oskadliggöres ej i möjlig mån. Protokollet föres här i öfverensstämmelse med det vid föregående mätningssätt anförda schemat, och den sökta vinkeln erhålles, om mediet af samtlige angifna vinkelvärden tages. Genom detta mätningssätt oskadliggöras naturligtvis samma fel, som vid det föregående; men härtill kommer att delningsfel, fel vid tubens inställning på signalerna, afläsningsfel m. m. utjemnas i samma mån, som mätningen flera gånger upprepas. 4) Repetitionsmätning. Detta mätningssätt erfordrar en repetitionsteodolit och försiggår, om v är vinkeln som skall mätas, på följande sätt: α) Man fastläser horisontalcirkeln och inställer (fig. 75) tuben på signalen till venster s samt afläser a0 (för enkelhets skull förutsättes vid förklaringen blott en nonie). β) Man inställer, fortfarande hafvande horisontalcirkeln fastläst, tuben på signalen till höger s͵. γ) Man fastläser alhidaden vid horisontalcirkeln, lösgör horisontalcirkeln och inställer tuben under tillbakavridning (fig. 76) kring repetitionsaxeln ånyo på s. Fig. 75. Fig. 76. δ) Man lösgör alhidaden, fastläser horisontalcirkeln och inställer tuben under vridning kring alhidadaxeln ånyo på s͵, o. s. v. I och med den sista operationen har vinkeln v tydligen blifvit mätt 2 gånger på horisontalcirkeln. Har man derför vid andra inställningen på s͵ afläst a2, så är v = (a2 − a0)∕2; och påtagligen kommer, när man så fortsätter att vrida tuben, vinkeln v åt ett håll kring alhidadaxeln och åt motsatt håll kring repetitionsaxeln, denna vinkel att för hvarje vridning kring förstnämnde axel adderas till den föregående vinkelsumman. Om man n gånger repeterat förfarandet och vid n:te inställningen på s͵, afläst an så är alltså den sökta vinkeln v = (an − a0)∕n. Det är klart att för hvarje gång nonien passerat gradtalet 360° (nollstrecket) detta tal måste adderas till an. Har detta skett m gånger, så blir den allmänna formeln Hvad här blifvit sagdt om en nonie gäller naturligtvis för de öfriga. Som synes kan man på detta sätt mäta en vinkel huru många gånger som helst, utan att behöfva mer än två afläsningar för hvarje nonie. Härigenom vinnes två fördelar: inbesparing af en af de mest tidsödande sysselsättningarne vid vinkelmätning samt undvikandet af afläsningsfel. I likhet med vid föregående mätningssätt utjemnas äfven här delningsfel och fel vid tubens inställning, o. s. v. Man utför oftast repetitionsmätning med genomslagning (ändvändning) och det på så sätt, att af det antal gånger, som vinkeln skall mätas, repeteras halfva antalet i första och halfva antalet i andra läget, hvarvid naturligtvis hvarje läge får sin begynnelse- och slutafläsning. För utjemning af de fel, som ensidig vridning föranleder, är det förmånligt att i 2:dra läget repetera åt motsatt håll mot 1:sta läget. Man brukar vid repetitionsmätning vanligen första gången afläsa vinkeln, ty man har derigenom ett medel att kontrollera huruvida något gröfre fel blifvit begånget: såsom att man missräknat sig på antalet gånger, som nonien passerat nollstrecket eller i distraktion rört vid oriktig mikrometerskruf, o. s. v. För nybörjare torde det till och med vara skäl att göra flera mellanafläsningar. Mätningsprotokollet kan för hvardera läget föras enligt följande schema: 1:sta läget. +=======+============+===============+==============+=======================+ ! Nonie.! Begynnelse ! Slutafläsning.! Enkelt mätt. ! Anmärkningar. ! ! ! avläsning. ! ! ! ! +-------+------------+---------------+--------------+-----------------------+ ! I ! 0° 0′ 0″! 265° 58′45″! 62° 35′45″ ! 10-faldig repetition. ! ! II ! 90 0 10 ! 355 58 55 ! ! ! ! III ! 180 0 0 ! 85 58 50 ! ! ! ! IV ! 269 59 55 ! 175 58 45 ! ! ! 2:dra läget. o. s. v. Som man första gången afläst 62° 35′ 45″ och repetitionen varit 10-faldig, så följer, att för nonierna I och II måste sättas m = 1 och för nonierna III och IV m = 2, således för Nonien I. v = (360° + 265° 58′45″− 0° 0′0)∕10 = 62° 35′52″,5 II. v = (360° + 355° 58′55″− 90° 0′10″)∕10 = 62° 35′52″,5 III. v = (2 · 360° + 85° 58′50″− 180° 0′0″)∕10 = 62° 35′53″,0 IV. v = (2 · 360° + 175° 58′45″− 269° 59′55″)∕10 = 62° 35′53″,0. Tages mediet af dessa resultat, så erhålles vid mätningen i 1:sta läget v͵ = 62° 35′52″,8. Gaf nu en 10-faldig repetition i 2:dra läget till resultat v͵͵ = 62° 35′54″,3 så är den sökta vinkeln (v͵ + v͵͵)∕2 = 62° 35′5″,6. Ehuru repetitionsmätningen från teoretisk synpunkt borde gifva skarpare resultat än något annat mätningssätt, så lemnar den dock, såsom längre fram skall visas, i praktiken ej samma skärpa som multiplikationsmätning. 5) Riktningsmätning. Om man från en station har mer än två signaler att syfta på, såsom vanligen är fallet vid triangelmätning, så hänföras samtlige vinklarne till en enda riktning. Man mäter härvid antingen hvarje vinkel för sig med repetition eller ock alla samfäldt genom gyrusmätning på sätt som följer. Fig. 77. Man syftar (fig. 77) först på utgångssignalen, hvartill man, för att följa en bestämd regel, vanligen väljer den mest sydliga signalen. Efter att hafva afläst vid nonierna (skrufmikroskopen) inställer man, vridande alhidaden i graderingens riktning, tuben på samtlige signalerna i den ordning (s 1, 2, 3, 4 s), som de följa och afläser för hvarje signal. För att förvissa sig att ingen rubbning egt rum, så inställer man ånyo på första signalen och efterser om samma afläsning som förut erhålles. En sådan kretsgång af observationer kallas för en gyrus. Har mätningen sålunda blifvit verkstäld i ena läget, så genomslås (ändvändes) tuben och inställes först på utgångssignalen och sedan, men under vridning i motsatt led mot förra gången, på de öfriga signalerna (s, 4, 3, 2, 1, s) i den ordning de följa, hvarvid afläsning eger rum för hvarje signal. Äfven denna gång göres en kontrollinställning på utgångssignalen. En sådan tillbakagående kretsgång af observationer i 2:dra läget kallas för en korresponderande gyrus till den första. På detta sätt blir hvarje vinkel mätt två gånger. Skall den mätas flera gånger, så förställes (vrides) horisontalcirkeln efter hvarje gyruspar en vinkel, större eller mindre, beroende af det antal gånger, som vinklarne skola mätas — detta för att hvarje nonie må mäta rundt hela horisontalcirkeln. I öfverensstämmelse med och på sätt som under 3) förut blifvit påpekadt söker man med hänsyn till en förmånlig utjemning af delningsfelen såvidt möjligt är undvika, att en nonie kommer att intaga lägen, som någon af de föregående innehaft. En del geodeter bruka förställa horisontalcirkeln efter hvarje enkel gyrusmätning. Orsaken hvarför man brukar mäta i motsatt led vid hvarje korresponderande gyrus är, att ensidiga förvridningar och nötningar, som i längden kunna uppkomma, om man oupphörligen vrider alhidaden åt samma håll, härigenom undvikas. Mätningsprotokollet kan för hvarje gyrus föras enligt följande schema: +=============================================================================================+ !Stationens namn.......................... Observatorns namn ..........................! ! ! ! 1:sta läget. Gyrus № 9. ! !--------------+---------------------------------+-----------------+-----------------+--------+ ! Signaler. ! Afläsning. ! Medium ! Vinklarne. ! Anm:r. ! !-----+--------+--------------+-----+------+-----+ ! ! ! ! N:r !Namn. ! Nonie I. ! II. ! III. ! IV. ! ! ! ! !-----+--------+--------------+-----+------+-----+-----------------+-----------------+--------+ ! 9 ! Taberg ! 57° 18′ 20″ ! 25″ ! 18″ ! 22″ ! 57° 18′ 21″ ,2 ! ! Luften ! ! 10 ! Seberg ! 121 53 45 ! 50 ! 54 ! 52 ! 121 53 48 ! 64° 35′ 26″ ,8 ! klar. ! ! 11 ! Omberg ! 215 34 25 ! 30 ! 20 ! 25 ! 215 34 25 ! 158 16 3 ,8 ! ! Ofvanstående sätt att föra protokollet förutsätter en teodolit med så fin gradering, att skilnaden mellan de af olika nonier angifna vinkelvärden understiger en minut. Man kan nämligen i så fall anse de vid första nonien aflästa grad- och minuttalen såsom giltiga äfven för de öfriga, och protokoll föres således endast för sekunderna. Att man under sådane förhållanden går riktigt till väga, när man subtraherar mediet af samtlige afläsningarne för utgångssignalen från mediet af samtlige afläsningarne för hvar och en af de följande signalerna, torde väl ej behöfva förklaring, Det säger sig sjelf, om sekundtalet är stort eller litet, att minuttalet kan blifva olika för den första nonien och någen af de öfriga. I så fall bör man likväl skrifva samma minuttal. Afläses t. ex. vid nonien I 17′50″ och vid nonien II 18′10″, så skrifves 17′70″ för nonien II, o. s. v. 68. Noggrannhet vid mätning af horisontalvinklar. Det för olika slag af mätningar lämpliga instrument och mätningssätt samt de mätningsfel f, man dervid har att befara, äro ungefärligen: 1) Vid bruten liniemätning (polygonmätning): enkel teodolit med horisontalcirkel-diameter från 10—20 c.m. och nonieafläsning; tvåfaldig mätning i två lägen; f = 10″— 30″. 2) Vid triangelmätning af 4:de ordningen: föregående instrument; tvåfaldig eller ett fåtal gånger upprepad gyrusmätning med genomslagning; f = 10″à 30″. 3) Vid triangelmätning af 2:dra och 3:dje ordningen: repetitionsteodolit med horisontalcirkel-diameter från 15—25 c.m. och nonieafläsning; mätning med repetition i två lägen och i motsatta riktningar; f = l″— 3″. 4) Vid triangelmätning af l:sta ordningen: multiplikationsteodolit med horisontalcirkel-diameter från 25—40 c.m. och mikroskopafläsning; många gånger upprepad gyrusmätning i två lägen; f = 1/2″— 1″. Jemför man de båda sammansatta mätningssätten, så framgår genast repetitionsmätningens teoretiska öfverlägsenhet framför den upprepade gyrusmätningen i två lägen; ty, i öfrigt likstäld med sistnämnde mätningssätt hvad beträffar borteliminering af fel, har repetitionsmetoden påtagligen företräde med hänsyn till afläsningstel och delningsfel. Huru många gånger man än repeterar, är man blott beroende af två afläsningsfel, då deremot vid det andra mätningssättet lika många afläsningsfel förekomma som dubbla antalet gånger vinkeln blifvit mätt. Visserligen må det ej förglömmas, att dessa afläsningsfel ej hafva samma tecken — den ena gången afläses för mycket, den andra gången för litet — men i allmänhet har man sannolikhet för att skilnaden mellan de positiva och de negativa afläsningsfelens summor är större än afläsningsfelet vid de två afläsningarne, då repetitionsmätning användes. Imellertid har praktiken visat att gyrusmätningen gifver skarpare resultat än repetitionsmätningen. Orsaken härtill torde få sökas dels deri, att vid fast- och lösläsningen af horisontalcirkeln rubbningar uppkomma, dels deri att fastläsningen af horisontalcirkeln eller alhidaden ej är så säker, att ej förskjutningar uppstå, då vridning åt ena eller andra hållet eger rum. Observationer gjorda af Struve hafva visat, att vid repetitionsmätning i graderingens riktning en större vinkel erhålles än vid dylik mätning i motsatt led. Han fann denna skilnad i medeltal vexla mellan 2 à 3 sekunder. Det är med anledning häraf, som man repeterar åt motsatt håll i andra mot i första läget. Om ock repetitionsmätningen måhända bör gifva vika för gyrusmätningen vid noggranna vetenskapliga mätningar, så förblir den dock genom tidsbesparing förmånlig, då det ej är fråga om att mäta skarpare än på 2 à 3 sekunder när. Teodolitens användning för mätning af vertikalvinklar. 69. Vid höjdmätningsteodoliter torde den besiffring vara att föredraga, som fortlöper från 0° till 360°. Denna besiffring är föröfrigt den enda användbara, om vertikalcirkeln i och för afläsning på olika ställen å densamma kan lösläsas från och vridas kring horisontalaxeln, d. v. s. är afsedd för upprepad mätning af samma vinkel. — Alla höjdmätningsteodoliter böra hafva ett känsligt vattenpass i tubens riktning — lämpligast fast förenadt med alhidaden. Vid den trigonometriska höjdmätningen blifva mätningsoperationerna desamma antingen zenitvinklar eller höjdvinklar mätas; deremot blir protokollsförningen olika i båda fallen. Vanligen söker man zenitvinkeln. Fig. 78. Om (fig. 78) alhidadaxeln stod lodrätt, så vore mätningen af zenitvinkeln z ytterst enkel. Man instälde tuben på p och afläste a; genomslog (ändvände vid lös tub) och instälde den ånyo samt afläste a͵. Tuben hade vridits vinkeln 2z i syftplanet, och z kunde erhållas ur Man kan imellertid, alldenstund det ytterst känsliga höjdmätningsvattenpasset ej bibehåller sig justeradt, ej påräkna att alhidadaxeln står lodrätt. Af hvad redan blifvit anfördt vid redogörelsen för inflytandet af alhidadaxelns felställning i 56 framgår två sätt att göra mätningsresultatet oberoende af denna felställning. Med anledning häraf må ock två sätt att trigonometriskt höjdmäta här nedan beskrifvas. 1) Efter en förberedande inställning af alhidadaxeln, inställes tuben på signalen och bringas höjdmätningsvattenpasset med någon af fotskrufvarne att så skarpt som möjligt spela in. Man inställer tuben ånyo på signalen för den händelse sistnämnde operation föranledt någon rubbning, och afläser; upprepar sedan samma förfarande med tuben i 2:dra läget (inställer tuben, bringar blåsan att skarpt spela in, korrigerar inställningen och afläser). Tages sedan för hvarje nonie halfva skilnaden mellan afläsningarne i båda lägena (360° adderas till den ena afläsningen när nonien öfverfarit nollstrecket), så erhålles, alldenstund alhidadaxeln i ena läget lutat lika mycket från (fig. 67) som i det andra mot (fig. 68) signalen, zenitvinkeln oberoende af alhidadaxelns lutningsvinkel. Slutligen tages mediet af de sålunda för alla nonierna erhållna vinkelvärdena. 2) Sedan man blott ungefärligen instält alhidadaxeln, så inställer man tuben på signalen och afläser såväl vid nonierna som vid höjdmätningsvattenpasset [enligt 10—3) vid blåsans båda ändar]. Derefter företagas samma operationer i 2:dra läget, allt under aktgifvande pä att alhidadaxelns läge ej rubbas. Tages sedan för hvarje nonie halfva skilnaden mellan afläsningarne i båda lägena (360° adderas till när nonien öfverfarit 0-strecket) och korrigeras mediet af de sålunda för alla nonierna erhållna vinkelvärdena enligt 56: alhidadaxeln 1) med alhidadaxelns lutningsvinkel φ, bestämd enligt formeln (6), så erhålles den sökta vinkeln oberoende af alhidadaxelns för tillfället varande lutning mot lodliniens projektion på syftplanet. φ adderas till eller subtraheras från slutmediet allt efter som alhidadaxeln lutat mot (fig. 68) eller lutat från (fig. 67) signalen; man skulle äfven kunna säga: allt efter som blåsan gifvit båda eller det största af utslagena a och a͵ från eller till signalen. Hänvisande till 10—3) och till hvad ofvan är sagdt må under antagande af att vinkelvärdet för en skaldel är 5″ följande exempel på bestämning af φ meddelas. Ex. 1. Normalpunkten i båda lägena inom blåsan; a och a͵ från signalen, alltså ökning med φ; a = (5,9 − 3,7) 2 = 1,4, a͵ = (5,1 − 3,9)∕2 = 0,6, φ = [(1,4 + 0,6)∕2] · 5 = 5″. Ex. 2. Normalpunkten i 1:sta läget inom, i 2:dra läget utom blåsan; a från och a͵ till signalen: a = (6,2 − 2,8)∕2 = 1,7, a͵ = (9,5 + 0,5)∕2 = 5, φ = [(5 − 1,7)∕2] · 5 = 8″,2 a͵ > a, alltså minskning med φ. Af dessa båda sätt att trigonometriskt höjdmäta, är det sista att föredraga. Det går mycket fortare och lemnar skarpare resultat att mäta felvinkeln och att taga den med i räkning, än att för hvarje syftning bringa det känsliga vattenpasset att spela in, isynnerhet som detta utan olägenhet endast låter sig göra, om vattenpasset händelsevis ligger parallelt med två fotskrufvar eller öfver den tredje. Protokollet kan föras enligt följande schema. Korrektionsvinkeln φ förekommer naturligtvis endast vid det sist anförda sättet. Station. +===========+========+===============+==============+==============+===============+ ! Signal. ! Nonie. ! 1:sta läget. ! 2:dra läget ! Skilnad. ! Anmärkningar. ! +-----------+--------+---------------+--------------+--------------+---------------+ ! Halleberg ! I ! 3° 59′ 40″ ! 176° 0′ 30″ ! 172° 0′ 50″ ! ! ! ! II ! 183 59 20 ! 356 0 30 ! 172 1 10″ ! ! ! ----------------------! ! ! Medium ! 172° 1′ 0″ ! ! ! φ = −7″ ! ! ! z = (172°1′0″ / 2) − 7″ = 86° 0′ 23″ ! ! ! ! ! Mot z < 90 svarar påtagligen alltid en positiv höjdvinkel. Är vertikalcirkeln såsom vid en del små teodoliter så graderad och besiffrad, att den ej lämpar sig för afläsning af dubbla zenitvinkeln, så afläses höjdvinkeln. I så fall införes halfva summan af de båda aflästa höjdvinklarne vid hvarje nonie i stället för afläsningarnes halfva skilnad och korrektionsvinkeln φ med motsatt tecken mot vid zenitvinkeln. Genom att mäta vertikalvinklar i två lägen oskadliggöres, enligt formeln (28) indexfelet (vid mätning af dubbla zenitvinkeln aflägsnas hvarje tanke på indexfel), men (se 60) excentricitetsfel mellan horisontalcirkeln och alhidadaxeln endast för den händelse att två diametralt motsatta nonier finnas, zenitvinkeln blir påtagligen vid mätning i två lägen med en nonie blott en gång afläst och således ej oberoende af detta excentricitetsfel. Detta gäller ock om hojdvinkeln, alldenstund mätningsoperationen är densamma, vare sig att zenit- eller höjdvinklar mätas. Vill man göra sig oberoende af vertikalcirkelns delningsfel och af afläsnings- och inställningsfel, med andra ord motse så skarpt resultat som möjligt, så mätes höjd-eller zenitvinkeln flera gånger, hvarvid för hvarje i två lägen verkstäld mätning vertikalcirkeln förställes (vrides) på horizontalaxeln. Emedan denna förställning är svår att verkställa, utan att instrumentet rubbas, så bör för hvarje gång alhidadaxeln lutningsvinkel mätas. Huru mycket vertikalcirkeln bör förställas för hvarje gång beror på antalet gånger, som vinkeln skall mätas. I öfverensstämmelse med hvad i 67—3) blifvit sagdt, bör man laga att mätningen blir jemnt fördelad rundt hela vertikalcirkeln och såvidt möjligt är undvika, att nonierna komma att mäta på samma ställen som förut. Som vid detta mätningssätt indexfelet får alla möjliga vinkelvärden, så är för undvikandet af misstag förmånligare att afläsa zenitvinklar än höjdvinklar, när detsamma användes. Repetitionsmätning af vertikalvinklar med härför inrättade teodoliter har endast undantagsvis försökts. Vid mätning af höjd- och zenitvinklar vinnes för lika gradering på cirklarne och under i öfrigt likartade förhållanden ej samma skärpa som vid mätning af horisontalvinklar. Mätningen får upprepas flera gånger äfven med ett fint instrument, om mätningsfelet skall understiga 5 sekunder. Noggrannheten är i väsendtlig mån beroende af vattenpassets känslighet och godhet. — En felkälla utom instrumentet är ljusstrålarnes refraktion. Vi återkomma framdeles i samband med redogörelsen för den trigonometriska höjdmätningsformeln härtill. Stakning af räta linier med teodolit. 70. Ehuru egentligen afsedd för vinkelmätning, användes teodoliten med stor fördel vid stakning af räta linier, isynnerhet i kuperad terräng. I allmänhet går man tillväga på följande sätt. Teodoliten lodas (fig. 79) öfver en förut bestämd punkt c (vid teodolit med excentrisk tub lodas den vertikalt stälda tuben öfver punkten); derefter inställes tuben (först för hand och sedan med fastläst alhidad genom mikrometerskrufven) i stakplanet genom tillbakasyftning på en annan i linien liggande punkt s. Skall punkter mellan c och s inriktas, så för en medhjelpare en fin pikstake efter observatorns kommando tills piken täckes af hårkorset. Man syftar nämligen vid teodolitstakning alltid direkt på punkten. Vid noggrann stakning inriktas först en träpåle, och sedan denne blifvit nedslagen, bestämmes under förnyad syftning punkten, som utmärkes på pålen genom en nedslagen spik eller ett ritskors. Skall stakningen fortsättas på andra sidan om instrumentet, så genomslås eller ändvändes tuben allt efter som instrumentets konstruktion föreskrifver. Med hänsyn till det sätt, hvarpå man i ena eller andra fallet söker bringa tuben i stakplanet, d. v. s. söker göra sig oberoende af kollimationsfelets direkta inflytande (kollimationsfelet är af lätt insedda skäl det farligaste vid stakning) torde det vara skäl att behandla hvar for sig följande stakningssätt. Fig. 79. 1) Stakning med afläsning och vridning af alhidaden 180° företages på samma sätt vid alla teodoliter. Man afläser, när tuben är instäld på s, vrider alhidaden 180°, fastläser densamma och bestämmer punkter framåt på förut angifvet sätt. 2) Stakning med genomslagning och omläggning. Man genomslår (alhidaden fastläst) den på s instälda tuben, som, om (fig. 80) kollimationsfelet α förefinnes, erhåller riktningen c s͵, hvilken med 2α afviker från c s. Omlägges sedan tuben, d. v. s. låter man horisontalaxelns tappar t och t͵ byta plats, så återfår kollimationsaxeln sitt förra läge c s; strängt taget dock endast, om den lutar med samma vinkel mot horisonten som vid tillbakasyftning på s; ty af de från kollimationsfelet äfvensom af horisontalaxelns felläge härrörande projektionsfelen (se 56) är man eljest ej oberoende. Sedan tuben sålunda i omvänd riktning kommit i stakplanet, inriktas behöfliga mellanpunkter på förut anfördt sätt. Fig. 80, 81 3) Stakning med genomslagning och syftning i två lägen. Man genomslår (fig. 81) den på s instälda tuben och inriktar signalen s͵; lösläser alhidaden och inställer sedan i detta läge tuben på s; genomslår tuben ånyo samt inriktar signalen s. Halfveras sedan s͵ s₂och tuben inställes på s₃, så är den i och med detsamma instäld i stakplanet och detta i motsats till de öfriga fallen oberoende af de från kollimationsfelet eller horisontalaxelns lutning härrörande projektionsfelen. Vill man derför i kuperad terräng vara riktigt noga, så inriktas alla följande punkter på samma sätt som s₃. 4) Stakning med ändvändning förekommer endast med lös tub, och består helt enkelt uti, att man ändvänder tuben och sedan fortsätter med stakningen som i första läget. Kollimationsaxeln kommer, äfven om kollimationsfel förefinnes, efter ändvändningen ej att ändra riktning. Detta förhållande, ofördelaktigt vid vinkelmätning, är således förmånligt vid stakning. Centreringsfel hos kollimationsaxeln är, som lätt torde inses, äfven utan inflytande. Af de från kollimationsfelet och horisontalaxelns lutning härrörande projektionsfelen blir man dock ej oberoende. Jemförelse mellan de olika stakningssätten. Af det föregående synes, att man endast genom att bestämma hvarje punkt på sätt som s₃i fallet 3) kan vid stakning göra sig helt och hållet oberoende af kollimationsfelet och horisontalaxelns lutning mot horisonten. Ehuru teoretiskt riktigt är imellertid detta stakningssätt i allmänhet tillämpadt ganska besvärligt och fordrar stor försigtighet, för att under fast-och lösläsningar af alhidaden samt genomslagningar det ej må uppkomma rubbningar hos instrumentet. Det är derför endast tillbakasyftnings- och stationspunkter, som på detta sätt bestämmas. De projektionsfel, som man genom detsamma afser att oskadliggöra, hafva, om instrumentet är väl justeradt och terrängen ej är synnerligen kuperad, ej något farligt inflytande. Äfven fallet 2) förutsätter stor varsamhet isynnerhet vid omläggningen af horisontalaxeln. Fallet 4) är det beqvämaste; dock fordras för ett noggrant resultat att tubringarne och de gaffelformade lager som uppbära tuben äro synnerligen väl utarbetade och att ej smuts kommer imellan dem och tubringarne. Fallet 1) förutsätter för att lemna ett skarpt resultat en finare gradering än den, som på stakteodoliter vanligen förekommer. Vinkeltrumman. 71. Detta instrument (fig. 82) består af två cylindrar a och b, hvilka hafva samma diameter (80 à 120 m.m.) samt äro så stälda, att deras axlar sammanfalla. Den undra cylindern är vid öfverkanten graderad och vid bottenplattan försedd med en hylsa, genom hvilken instrumentet kan fästas vid en stativkäpp; den öfre cylindern är vridbar kring den gemensamma axeln och uppbär ett dioptersigte eller lämpligare två mot hvarandra vinkelräta sådane. Den har vid beröringskanten med den undre cylindern en eller två nonier, med tillhjelp af hvilka man kan afläsa de vinklar som vridas. För att beqvämt och säkert kunna inställa dioptern på signalen, uppbär den öfre cylindern en invändigt fästad kuggring, och den undre cylindern ett motsvarande dref. Cylindrarne böra vara invändigt svärtade, på det att ej reflektionsstrålar må förvirra ögat. Fig. 82. 72. Användning. Sedan man uppstält instrumentet i stationspunkten och förvissat sig, att stativstaken står lodrätt, inställes dioptern först på den ena och sedan på den andra signalen. Skilnaden mellan de båda afläsningarna gifver den sökta vinkeln. Finnes två diametralt motsatta nonier, så gifver likasom vid teodoliten det aritmetiska mediet af de båda vinkelvärdena den sökta vinkeln oberoende af förhanden varande excentricitet mellan cylindrarnes axlar. Med vinkeltrumman, som är ett billigt, lätt transportabelt och för rent praktiska ändamål mycket användbart instrument, kan man ej påräkna större noggrannhet än att felet belöper sig till 2′— 4′. Instrumentets användbarhet förhöjes i ej ringa mån, om det har två mot hvarandra vinkelräta dioptersigten, alldenstund det då medgifver beqväm utstakning af mot hvarandra vinkelräta linier. För pröfning med hänsyn till de väsendtliga felaktigheter, hvarmed detta instrument kan vara behäftadt, såsom oriktig ställning af okularsprickan och objektivtråden, excentricitet mellan cylindrarne, hänvisas till hvad härom finnes, anfördt vid diopterlinialen och teodoliten. Vinkelmätningskompassen. 73. Som bekant intager en fritt hängande magnetnål en bestämd riktning i förhållande till den geografiska meridianen. Afvikelsen mellan den magnetiska och den geografiska meridianen är imellertid ej densamma på alla ställen af jordytan. I en del orter är den vestlig; i en del östlig. Den linie som sammanbinder de orter, i hvilka magnetnålen för närvarande ej afviker från den geografiska meridianen, delar jordytan i två hälfter: den europeiskt-afrikanska och den asiatiskt-amerikanska. I den första afviker nålens nordände åt vester; i den senare åt öster. Ifrågavarande afvikelse (deklination) är, som redan blifvit nämndt, ej oföränderlig. Efter att under en lång tidrymd hafva i Europa varit ostlig, var den omkring år 1700 0° för att sedermera blifva vestlig. Afvikelsen kan vara betydligt olika för temligen närbelägna orter. Den varierar i Sverige mellan 7° och 18°. Vårt land lider brist på deklinationsbestämningar. Uppgifter för några af kustorterna och trakterna kring Venern finner man i öfversigten af Vetenskaps-akademiens förhandlingar för år 1856. Såsom ett medium för trakterna kring Venern anföres 16°. Förutom de långsamt försiggående sekulärafvikelserna, har man äfven observerat en daglig svajning hos magnetnålen, som, alldenstund den är mindre om natten än om dagen, mindre om vintern än om sommaren, antagligen beror af solljuset. Denna dagliga svajning uppgår i medeltal till 5 à 8 minuter. Oaktadt denna föränderlighet i magnetnålens läge, betjenar man sig af henne för vinkelmätning. Ett instrument, som förmår angifva vinkeln mellan den magnetiska meridianen och en riktning hvilken som helst, kan påtagligen användas för att bestämma horisontalvinkeln mellan två riktningar hvilka som helst. Ett sådant instrument är vinkelmätningskompassen (boussole topografique). Lemnar man utan afseende att hvarje ort har sin särskilda magnetiska meridian — och detta kan man, der ej särskilda magnetiska förhållanden råda, tillåta sig vid de mätningar, hvarför ifrågavarande instrument — så har detta instrument en fördel framför andra vinkelmätningsinstrument deri, att man med det kan direkt mäta två riktningars horisontalvinkel, utan att behöfva stationera i vinkelspetsen. Instrumentet är på följande sätt inrättadt. I en cirkelrund dosa (fig. 83), som invändigt har en graderad ring, hvilar en med karniolcentrum försedd magnetnål på en fin stålspets i ringens medelpunkt. Magnetnålen, som bör vara ytterst noga balanserad, har, då ringen är horisontel, sina med indexstreck försedda ändar i graderingens plan. Härigenom möjliggöres afläsning vid hvardera ändan af den vinkel, som den magnetiska meridianen bildar med ringens nollstreck. Ofvannämnde dosa är så fästad vid en diopter, att syftplanet skär den graderade ringen efter strecken 0°—180°. Man afläser således äfven vinkeln mellan den magnetiska meridianen och nämnde syftplan. I och för diopterns inställning på signaler är hela instrumentet vridbart kring en tapp, som, hvilande i ett stativhufvud, kan medelst ställskrufvar ställas lodrätt. Fig. 83. För att nålens centrum och spetsen hvarpå det hvilar, ej må nötas, kan nålen, då instrumentet ej begagnas, förmedelst en enkel mekanism upplyftas. Till ytterligare skydd för dessa ömtåliga delar är dosan täckt med en glasskifva. Eör öfrigt är det förmånligt vid instrumentets transport, om dioptrarne kunna nedfällas. Det säger sig sjelf att instrumentet förutom stålspetsen, hvarpå nålen hvilar, ej får innehålla sådane metaller (jern, nickel), som på den kunna inverka störande, och att den, som mäter med detsamma, ej får hafva föremål af dessa metaller på sig. Vi komma längre fram att omnämna orienteringskompassen. 74. Pröfning och justering. Vid vinkelmätningskompassen böra följande vilkor uppfyllas. 1) Dosan bör ej innehålla jern- eller nickelpartiklar. Man upphänger nålen på en särskild spets och undersöker om dosan utöfvar något inflytande på nålen, då den föres i dess närhet. 2) Nålen bör vara väl balanserad. Man ställer dosan horisontel med tillhjelp af ett vattenpass och efterser om de båda nåländarnes öfre ytor ligga i den graderade ringens plan; hvarom icke, fastklibbas en erforderlig qvantitet vax vid den lättare nålhalfvan. 3) Nålen bör vara känslig. Man sätter nålen, med tillhjelp af en magnet, flera gånger i svajning och efterser om för hvarje gång nålen stannar på samma ställe; hvarom icke, måste nålen ommagnetiseras eller centrumspetsen göras finare. 4) Nålens magnetiska axel bör gå genom indexstrecken. Man lösgör nålen från agathylsan (låter sig ej göra vid alla instrument), vänder och fäster den i hylsan, så att den öfre sidan kommer nedåt samt lägger den på centrumspetsen. Erhålles då samma utslag som förut, så är nålen felfri uti ifrågavarande afseende. Detta fel har egentligen blott betydelse, då en linies vinkel med den magnetiska eller geografiska meridianen åstundas. 5) Diopterns syftplan bör bilda rät vinkel med den graderade ringens plan. Man ställer dosan horisontel med ett vattenpass och undersöker på sätt som för diopterlinialen finnes anfördt, om vilkoret är uppfyldt. 6) Syftplanet bör skära den graderade ringen efter strecken 0—180. Detta vilkor är endast nödigt, om en linies vinkel med den magnetiska eller den geografiska meridianen åstundas; ty om horisontal vinkeln mellan två riktningar, hvilka som helst, mätes, så elimineras för handen varande afvikelse, då skilnaden tages mellan afläsningarne. Eör att pröfva om detta vilkor är uppfyldt, spänner man (så långt ner som möjligt) en ytterst fin tråd mellan diopterns spricka och tråd samt undersöker syftande genom dioptern (ögat så högt som möjligt), om tråden täcker de ifrågavarande strecken. 7) Ingen excentricitet mellan centrumspetsen och den graderade ringen. Man vrider dosan och efterser om skilnaden mellan afläsningarne vid de båda nåländarne alltid är 180°. Felet oskadliggöres vid vinkelmätning, om aritmetiska mediet tages mellan afläsningarne. 75. Användning. Skall vinkeln mellan två riktningar mätas i vinkelspetsen, så uppställes och centreras instrumentet öfver denna punkt. Horisontalinställningen är härvid tillräckligt noggrann, om nålens båda ändar — det förutsattes att nålen är väl balanserad — ligga i den graderade ringens plan. Derefter inställes under samtidig afläsning dioptern först på den ena och sedan på den andra signalen. Tydligen gifver skilnaden mellan de båda afläsningarne vid samma ände den sökta vinkeln. Tages aritmetiska mediet mellan de vid båda ändarne angifna vinkelvärdena, så blir resultatet oberoende af excentricitetsfel mellan nålens hvilspets och ringen. Vill man deremot söka vinkeln mellan två linier, utan att stationeras i dess spets, så har man att under stationering i hvardera linien söka liniernas vinklar med den magnetiska meridianen. Skilnaden mellan dessa vinklar (räknade åt samma led) gifver den sökta vinkeln. Alldenstund vinkeln mellan den magnetiska och den geografiska meridianen är känd, så medgifver ock fältmätningskompassen bestämning af azimutvinklar, d. v. s. liniers vinklar med den geografiska meridianen. Det är egentligen med hänsyn till de båda sistnämnde uppgifterna, som ifrågavarande instrument förtjenar omnämnas; ty vid mätning af en vinkel i dess spets äro de öfriga vinkelmätningsinstrumenten, såsom ej varande beroende på en svajande nål, lämpligare att använda. Då numera jernvägar ofta torde komma att begagnas såsom baser för vinkelmätningar, må erinras att kompassen härvid kan användas, om den uppställes midt imellan skenorna. De lokala krafterna upphäfva då hvarandra. 76. Noggrannhet. Det torde knapt behöfva påpekas, att man vid ifrågavarande instrument ej kan påräkna någon större noggrannhet. Deklinationens betydliga olikhet understundom äfven för närbelägna orter i förening med magnetnålens dagliga svajningar och dess störningar af lokala magnetiska krafter föranleda ojemnhet och osäkerhet vid mätningen. Härtill kommer svårigheten att skarpt afläsa. Med anledning häraf är vinkelmätningskompassen egentligen blott ett rekognoserings-instrument, som, när ej lokala störningar (närvaro af höga berg, norrsken etc.) äro för handen, förmår i medeltal lemna vinkeln riktig på 10′à 20′när. Sextanten. 77. Detta instrument, till hvilket redan Newton skall hafva angifvit idén, utfördes först 1731 genom engelsmannen John Hadley, hvilken anses hafva varit omedveten om Newtons utkast. Emedan sextanten egentligen är afsedd för mätningar till sjös och endast undantagsvis finner användning vid geodetiska mätningar, så inskränka vi oss till en kortfattad belysning af dess teori och användning. Om (fig. 84) två plana speglar a och b äro uppställda på och vinkelrätt mot samma plan, och derjemte äro så vända mot hvarandra, att de från en signal s på a infallande strålarne reflekteras till b för att af denna spegel ånyo reflekteras, så bilda de för andra gången reflekterade strålarne b ö med de infallande strålarne s a en vinkel ψ, som är dubbelt så stor som den vinkel φ, hvilken speglarnes reflekterande ytor bilda med hvarandra; ty i trianglarne a b c och a b ö erhålles * φ + 90 + β + (90 − α) = 180 * och ψ + 2β + (180 − 2α) = 180, hvaraf Fig. 84. Ställer man derför så till, att en af speglarne kan vridas kring en mot grundplanet vinkelrät axel och att vinkeln, som de båda reflekterande ytorna bilda med hvarandra, kan afläsas, så har man ett vinkelmätningsinstrument, som kan på följande sätt användas, om en vinkel s ö s͵ skall mätas. Man håller instrumentet så att grundplanet sammanfaller med vinkelns plan (sextanten mäter alltid positionsvinklar) och vrider spegeln a tills de af b reflekterade s-strålarne sammanfalla med de direkt vid sistnämnde spegels öfverkant till ögat kommande s͵-strålarne, d. v. s. med andra ord tills bilden af s i spegeln b sammanfaller med den direkt sedda signalen s͵. Afläses sedan vinkeln φ, som de reflekterande ytorna bilda med hvarandra och denna vinkel fördubblas, så fås den sökta vinkeln s ö s͵. Af fig. 85 framgår huru detaljerna vanligen äro anordnade vid en sextant. Spegeln b är förmedelst justerskrufvar fästad vid den ena sektorsarmen och spegeln a är på samma sätt fästad vid alhidadarmen. Den senare är försedd med nonie jemte åtföljande lupp z. När speglarne äro parallela måste naturligtvis noniens 0-streck stå midt för bågens 0-streck. För att man må slippa fördubbla den aflästa vinkeln är ofta graderingen jemte dess besiffring så anordnad, att den sökta vinkeln kan afläsas direkt. Finare instrument hafva en mot spegeln b riktad och vid sektorn fästad tub t och äro derjemte försedda med skymglas g, afsedda att användas, då ett starkt lysande föremål, t. ex. solen observeras. För att beqvämt kunna hålla instrumentet under mätningsoperationen, så är uti sektorns tyngdpunkt och vinkelrätt emot dess plan ett handtag h anbringadt. 78. Sextantens pröfning och justering. Utan att befatta oss med pröfningen af de fel, som ej kunna justeras, såsom excentricitet mellan alhidadaxeln och cirkelbågens medelpunkt, buktiga spegelytor o. s. v., vilja i det följande endast sysselsätta oss med de felaktigheter, som genom befintlig juster-inrättning kunna bortskaffas. Fig. 85. 1) Speglarne måste stå vinkelrätt mot bågens plan. Först pröfvas alhidadspegeln a. Man kan dervid gå till väga på följande sätt: Alhidaden vrides ungefär midt på bågen, och derefter föres hela sextanten med alhidadspegeln vänd åt ögat, tills man samtidigt ser bilden a£ bågens ytterkant (i närheten af c) och en annan del af nämnde kant direkt (i närheten af d) vid sidan af spegeln. Synes bilden i jemnhöjd med den direkt vid spegelns kant sedda delen af bågen, så bildar spegeln rät vinkel med bågens plan. Skulle deremot så ej vara händelsen, så får man röra vid alhidadspegelns ställskrufvar tills detta förhållande inträffar. Det enkla beviset för riktigheten af ofvannämnde förfaringssätt, torde väl ej behöfva anföras. När alhidadspegeln står riktigt, kan man lätt förvissa sig, om den andra spegeln står vinkelrätt mot bågens plan. För den skull observerar man en stjerna eller en aflägsen och lysande punkt, samt efterser om det är möjligt, att få bilden af denna stjerna att täcka (vid spegelkanten) stjernan, när alhidaden föres till eller i närheten af 0-strecket. Lyckas man ej häri, så får man röra vid spegelns b ställskrufvar tills detta förhållande eger rum. Riktigheten af detta förfarande torde väl ej heller behöfva bevisas. 2) Intet indexfel bör finnas, d. v. s. med andra ord: noniens 0-streck bör stå midt för bågens 0-streck, då speglarne äro parallela. För att pröfva om detta vilkor är uppfyldt, så ställas nämnde indexstreck midt för hvarandra, och derefter undersökes, om den i spegeln (vid dess kant) sedda bilden af en aflägsen punkt täcker punkten. Eljest vrides spegeln b medelst den härför befintliga justerinrättningen tills detta förhållande inträffar. Finnes ej justerinrättning, så får felet en gång för alla bestämmas och sedan tagas med i räkning. 79. Sextantens användning. Sextanten hålles vid mätningar till sjös alltid med fri hand; vid geodetiska mätningar kan man understundom med fördel fästa dess handtag vid en lodstake. Då sextanten alltid mäter positionsvinkeln, så följer, att den vid horisontalmätning endast är användbar i plan terräng. Om (fig. 85) a ställes öfver vinkelspetsen, och det således är vinkeln s a s͵ som skall mätas, så angifver instrumentet i stället den mindre vinkeln s ö s͵; Sextanten mäter i så fall alltid excentriskt. Felet, som vid de geodetiska mätningar, för hvilka sextanten användes, kan lemnas utan afseende, blir mindre i samma mån som venstra vinkelbenet är stort. För att med sextanten till lands mäta höjdvinklar måste man tillika betjena sig af en reflekterande och horisontel yta, Till lands användes sextanten mera sällan och vanligen endast vid rekognoseringsmätning. 80. Noggrannhet. Af sextanten kan ej någon synnerlig skärpa påräknas; många omständigheter bidraga till att göra mätningsresultatet felaktigt. Isynnerhet må i detta afseende framhållas, att exentriciteten mellan alhidadaxeln och bågens medelpunkt ej kan oskadliggöras, alldenstund blott en nonie finnes — och denna excentricitet behöfver, enligt hvad i 58 blifvit visadt, ej vara stor för att ganska menligt inverka. När vid en sextant noniens utslag understiger 20″, torde i allmänhet ej mätningsförmågan i öfrigt hos instrumentet svara mot graderingens finhet. 81. Douglas" sextant, hvilken är en modifikation af den vanliga, torde vara den sextant, som bäst lämpar sig för geodetiska mätningar — detta på grund af dess egenskap att äfven vara en vinkeltransportör. Fig. 86. Fig. 86 är en skisserad teckning af en i Teknologiska Institutets samlingar befintlig af Douglas tillverkad sextant, hvilken visat sig mäta ganska säkert, på samma gång den är synnerligt beqväm att hafva till hands vid vissa grafiska mätningar. Den består af en vanlig vinkeltransportör, kring hvars centrum c alhidaden A med alhidadspegeln a är vridbar, samt af en stång b ö, hvilken jemte den derpå fästade spegeln b kommer genom en vid alhidaden fästad dubb d att försättas i rörelse kring en punkt (b) på den graderade cirkelns centrum, då alhidaden vrides. Emedan, enligt en känd sats, centrivinkeln är för samma båge dubbelt så stor som periferivinkeln, kommer härvid spegeln a att vridas dubbelt så stor vinkel som spegeln b. Har man derför stält speglarne parallela, när linealkanterna c f och c e beröra hvarandra, så blir vid mätning vinkeln mellan dessa linealkanter alltid lika stor med den uppmätta vinkeln, som således omedelbart kan afsättas på papperet. Syftningen sker med tillhjelp af en i ö anbringad diopter. Alhidaden är äfven försedd med nonie för den händelse man vill afläsa vinkeln. Spegelcirkeln. 82. Detta instrument är grundadt på samma princip som sextanten och skiljer sig från den hufvudsakligen genom en annan anordning af de mätande organen — en anordning, afsedd att undvika eller förmildra inflytandet af de olägenheter, som vidlåda sextanten. Sålunda finna vi hos spegelcirkeln, hvaraf fig. 87 visar en skisserad teckning, en hel graderad cirkel och två diametralt motsatta nonier. Härigenom blir det möjligt att oskadliggöra excentriciteten mellan alhidadaxeln och cirkelns medelpunkt. Likasom vid sextanten är en spegel a fästad med ställskrufvar vid alhidaden, så att alhidadaxeln går genom den reflekterande ytan. Denna yta bildar ungefär en vinkel af 20° med linien, som sammanbinder de båda 0-punkterna. Observationsspegeln vid sextanten är deremot ersatt med en likbent och rätvinklig prisma, som för öfrigt gör samma tjenst som nämnde spegel, men som, i synnerhet då stora vinklar mätas, gifver klarare bilder än spegeln. Denna prisma har sin hypotenusyta folierad, för att främmande ljus må utestängas. I likhet med hvad hos sextanten vanligen är fallet, så är spegelcirkeln försedd med en astronomisk tub, som kan höjas eller sänkas, men hvars axel alltid bildar samma vinkel med prismans mot den vända katederyta. Då spegelcirkeln är afsedd för samma ändamål som sextanten, och således starkt lysande föremål ofta skall med den observeras, så är den äfvenledes försedd med skymglas. Vid mätningen hålles instrumentet uti ett från cirkelns medelpunkt och vinkelrätt mot dess plan utgående handtag. Fig. 87. Ehuru spegelcirkeln hvilar på samma princip som sextanten, anse vi oss dock böra underkasta den en kortfattad teoretisk belysning. Emedan tubens axel alltid är riktad efter e f, och mot e f svarar en på prisman i riktningen a e infallande stråle, så kan man i skärningspunkten e tänka sig en spegelyta cd, som ersätter prisman. Påtagligen måste denna imaginära spegelyta vara parallel med alhidadspegeln, då alhidadens (noniernas) 0-streck stå midt för cirkelns 0-streck. Den linie, som sammanbinder noniernas nollpunkter, bildar alltså med linien o o lika stor vinkel φ som alhidadspegeln med den imaginära spegelytan c d. Enligt den allmänna teorien för två mot samma grundplan vinkelrätt stående spegelytor, måste vinkeln ψ, som en på den ena spegeln infallande stråle bildar med sig sjelf, sedan han äfven blifvit af den andra spegeln reflekterad, vara dubbelt så stor som vinkeln φ mellan spegelytorna. Inställer man derför tuben (syftande öfver prisman) direkt på en signal s͵ och sedan vrider alhidaden tills i prisman bilden af en annan signal s täcker s͵ och slutligen tager aritmetiska mediet mellan de båda nonieafläsningarne, så erhålles den sökta vinkeln, om delningsafståndet för graden är (periferien)∕(2 · 360). 83. Pröfning och justering af spegelcirkeln försiggår alldeles på samma sätt som motsvarande operationer vid sextanten. 84. Spegelcirkelns användning. Spegelcirkeln hålles vid mätningsoperationen med fri hand, eller ock fastbindes han vid en lodstake. Den afvikelse mellan alhidadaxeln och spetsen hos den vinkel, som instrumentet mäter, hvilken vid sextanten blifvit anmärkt, förefinnes äfven vid spegelcirkeln. Det häraf föranledda felet, som försvinner, när det venstra vinkelbenet är oändligt stort, får, om detta vinkelben är kort och ett noggrant resultat åstundas, beräknas. I likhet med sextanten mäter spegelcirkeln alltid positionsvinkeln, och har derför jemförelsevis mindre betydelse vid geodetisk mätning. Den medgifver imellertid vida större noggrannhet äfvensom mätning af större vinklar än sextanten. De vinklar som ligga i närheten af 180° kunna likväl endast med spegelcirkeln mätas, om tuben är försedd med prism-okular, ty eljest kommer observatorn i vägen för signalen. Deremot kunna vinklar, som äro större än 180° mätas (för ψ < 180 har man signalen s till höger; för ψ > 180 har man den till venster). Nonieutslaget vid finare spegelcirklar uppgår till 20 sek. En motsvarande noggrannhet hos mätningsresultatet kan vid detta instrument påräknas. För öfrigt gäller om spegelcirkeln hvad som förut blifvit sagdt om sextanten. *Instrument för afståndsmätning.
Basapparater.
85. När baslinien för ett vetenskapligt triangelnät skall
uppmätas, betjenar man sig af ett system basstänger —
vanligen fyra till antalet. Dessa basstänger, som, på det att deras
temperatur och lutning mot horisonten må kunna uppmätas,
hvar för sig äro försedda med termometrar och vattenpass,
läggas på en slags bockar efter hvarandra uti basliniens
riktning. Då dessa instrument hafva en rent vetenskaplig
karakter, vilja vi endast i korthet redogöra för två olika
konstruktioner.
86. Bessels apparat. Denna apparat, som först
användes vid gradmätningen i Ostpreussen och som sedermera
blifvit använd flerstädes, består af 4 basstänger, af hvilka
hvar och en är sammansatt af en jernskena och en
zinkskena. Genom att använda två metaller med olika
utvidgningskoefficient anser man sig noggrannare kunna bestämma
stångens af temperaturen beroende längdförändringar än med
qvicksilfvertermometrar. Fig 88 visar de båda ändpartierna
af en sådan stång.
Fig. 88.
Hvar och en af de fyra basstängerna består af en
parallelipipedisk jernskena j, 2 toiser lång
12 (27 m.m.) pariserlinier bred och 3 pariserlinier (7 m.m.) tjock. Ofvanpå denna
skena ligger en lika tjock, men hälften så bred zinkskena z.
Denna, som blott är till i och för uppmätning af jernstångens
längdförändringar, är vid sin ena ände a fastskrufvad och
fastlödd vid jernskenan. Zinkskenans båda ändar äro
beväpnade med kilformiga stålstycken s och s", som sluta med
horisontela eggar, och jernskenan är vid sin fria, zinkskenan
öfverskjutande ände äfven försedd med ett stålstycke s͵,
utlöpande i två vertikala eggar, af hvilka den ena är vänd mot
den beväpnade zinkskenan och den andra afsedd att föras mot
eggen hos en följande stång. För att mäta det af
temperaturen beroende afståndet b͵ mellan eggarne s och s͵ af hvars
storlek, såsom längre ner skall visas, man kan sluta sig till
stångens längdförändring i och med förändring i temperaturen,
betjenar man sig af en noggrant slipad mätkil k af glas,
och för att undvika stängernas sammanstötning och deraf
förorsakade rubbningar, brukar man blott föra stångändarne
i närheten af hvarandra och äfven här mäta afståndet
mellan eggarne med mätkilen
längden l, så erhålles för ett afstånd y från den stympade änden kilens bredd x
ur (b − b͵)∶l = (x − b͵)∶y
eller x = y [(b − b͵)∕l] + b͵. Enligt denna formel
är kilen graderad..
Fig. 89, 90.
Hvarje stång är innesluten i en trälåda och hvilar på 7
par vid en styf jernskena m (13,5 m.m. bred och 27 m.m.
hög) fästade
rullar r. För att
beqvämt kunna
gifva små
rörelser åt stången
finnes en
mikrometermekanism
anbragt.
Ofvanpå stången står
ett med
mikrometerskruf vridbart vattenpass
(fig. 89 och 90),
som, när det
bringas att
spela in, utpekar
stångens vinkel
med horisonten.
Fig. 91.
Stånglängdens reduktion med hänsyn till temperaturen.
Emedan zinken har större utvidningskoefficient än jernet, så
kan man ställa så till, att vid en ej synnerlig hög
temperatur eggarne s och s͵ beröra hvarandra. Beteckna vi (fig. 91)
denna temperatur, som naturligtvis är högre än den vanliga,
med T, vidare jern- och zinkskenans för temperaturen T
noggrant bestämda längder med l och z samt jernets och
zinkens utvidgningskoefficienter med a och a͵
måste de bestämmas särskildt för hvar och en af de fyra basstängerna.
, så erhålles
den temperatur t, som svarar mot det med mätkilen
uppmätta afståndet b mellan de båda eggarne, ur
och längdförändringen δ af jernstången ur
hvaraf, om det i första eqvationen erhållna värdet på T − t
insättes i den senare
Man beräknar i detta likasom vid alla de
mätningsoperationer, der en stor mängd små korrektioner förekomma
— således äfven vid följande reduktion — aldrig direkt den
reducerade storheten utan alltid korrektionstalet. Man kan
nämligen i så fall vid räkneoperationerna tillåta sig
approximationer, som eljest ej vore tillåtna.
Reduktion till horisonten. Har stången bildat vinkeln
α med horisonten, och med l͵ betecknas dess med hänsyn
till temperaturen korrigerade längd samt med δ͵ det sökta
korrektionstalet för reduktionen till horisonten, så är
än cosinus, hellre sinus än cosinus. Se för öfrigt Tab. 3, sid. 124.
87. Torneåapparaten, använd vid Öfre Torneå, består
af 4 jernstänger om ungefär 2 toisers längd. Vid den ena
änden (den fasta) af hvarje stång är ett stycke stål
fastsvetsadt och sedan utsvarfvadt till en 3,5 m.m. tjock cylinder;
den andra änden (den rörliga) afslutas med en afrundad, en
fyhlhebel tillhörande anslagsyta, mot hvilken den följande
stångens fasta ände föres. Härigenom undvikes
sammanstötning och deraf följande rubbningar. Den med bomull
eller annat dåligt värmeledande ämne omlindade stången är
innesluten uti en med termometrar försedd trälåda; och för
att man må kunna varsamt närma den ena stången till den
andra, finnes uti lådan en särskild mekanism anbringad.
Skulle vid de båda stångändarnes sammanförande fyhlhebelns
indexstreck ej ställa sig midt för det streck (lämpligast
strecket 20) på skalan, hvilket motsvarar stångens normala längd,
så kan man på grund af föregående undersökning af de små
längder, som svara mot visarens förflyttning af en eller flera
skaldelar, lika väl bestämma stångens längd. Det säger sig
sjelf, att äfven hvar och en af dessa stänger är försedd med
vattenpass.
Korrektionen med anledning af temperaturförändringar
beräknas enligt de vanliga formlerna; korrektionen i
händelse af stångens lutning som vid föregående apparat.
88. Basstängers användning. Utgående från ena
ändpunkten af den på förhand utstakade baslinien lägger man
den första stången i liniens riktning och så, att dess fasta ände
sammanfaller med denna punkt, lägger sedan på för
ändamålet lämpliga bockar de öfriga stängerna och inriktar dem uti
linien. I händelse af Bessels apparat föras stångändarne så
nära hvarandra, att afstånden kunna bestämmas med mätkil.
Sedan stängerna blifvit inpassade, mätas med mätkilen
termoterafståndet b samt afståndet mellan stångändarne, och
med vattenpasset lutningsvinkeln. Härefter flyttas den 1:sta
stången framför den 4:de och, sedan afläsning egt rum, den
2:dra framför den 1:sta o. s. v. undan för undan, tills
basliniens andra ändpunkt är uppnådd. Som läget af denna
punkt ännu är godtycklig, lagar man att den sammanfaller
med den sist utlagda stångens främre ände.
89. Noggrannhet. För att gifva ett begrepp om den
skärpa, hvilken ofvanbeskrifne eller likartade basapparater
lemna, må nämnas, att på grund af verkstäld
kontrollmätning mediefelet för 8 på senare tider i Europa
företagna basmätningar ungefärligen visat sig vara ⅟₁₀₀₀₀₀₀ af
afståndet.
Mäthjul.
90. Man har på senare tider upptagit idén att låta
ett rullande hjul uppmäta baslinier.
Det Steinheilska mäthjulet (0,922 meter i diameter) är
af koppar och styres af en liten vagn. Detsamma, som
fordrar utläggning af en särskild skensträng, är för närvarande,
på uppdrag af den europeiska gradmätningskommissionen,
foremål för undersökning af Prof. Bauernfeind i München.
Hvad man specielt vill utröna är temperaturens inflytande
på hjulringens dimensioner.
Wittmans enklare mäthjulsapparat är äfven afsedd att
föras utefter en jernvägsskena. Bauernfeind har funnit, att
man med detta hjul nästan kan påräkna samma noggrannhet
som vid mätning med enkla träbasstänger (se 95). Det är
sannolikt att mäthjulen endast på skensträngar och i plan
terräng kunna vara förmånliga att använda.
Enkla mätstänger.
91. För noggranna praktiska mätningar betjenar man
sig af 2 mätstänger, gjorda af torrt furuträ. Dessa stänger,
hvilkas längd lämpligen kan vara 3 eller 5 meter (10, 15
eller 20 fot), hafva antingen qvadratisk eller korsformig
genomskärning och äro graderade. Mest lätthandterliga och
för praktiken passande torde i allmänhet de vara, som hafva
35 à 45 m.m. (12 à 15 linier) i fyrkant. För att undvika
Fig. 92.
nötning är det lämpligt att, som fig. 92 visar, beslå dem
med tjock messingsplåt för ändarne. Det säger sig sjelf
att vid mätning stängerna skola läggas så, att de något
afrundade eggarne bilda rät vinkel med hvarandra. Som dessa
stänger användas parvis, så är det särdeles förmånligt att
hafva dem olika målade. Den, med hvilken man börjat —
man bör taga för regel att alltid börja med samma stång
— angifver då udda, den andra jemna stånglängder.
Härigenom är man i väsendtlig mån skyddad for missräkning.
Ifrågavarande stänger begagnas på olika sätt. Man
lägger dem direkt på marken efter hvarandra, eller man låter
dem hvila på klotsar, skjutbara på i marken nedstuckna
stakar, eller man mäter med dem utefter spända snören.
92. Direkt mätning på terrängen förutsätter att
terrängen ej är kuperad. Mätningen utföres lämpligast af en
person, som i den utstakade liniens riktning lägger stängerna
så efter hvarandra, att deras afrundade eggar bilda rät
vinkel med hvarandra. Naturligtvis erhålles mätningen på detta
sätt utförd med större skärpa i samma mån som terrängen
är jemn. En buktande terräng föranleder, att det uppmätta
afståndet kommer att angifvas större än det i verkligheten är.
93. Staffelmätning. När terrängen är kuperad
betjenar man sig af stakar, som äro försedda med skjutbara
klotsar (fig. 93). Man höjer eller
sänker dessa klotsar tills de på dem
hvilande stängerna ligga horisontelt,
och betjenar sig härvid antingen af
ett löst eller af ett enligt fig. 90
vid hvarje stång fästadt vattenpass.
I allmänhet torde dock
horisontalläge efter ögat vara tillfyllest. När
terrängen sluttar så mycket, att
stängerna ej kunna läggas mot
hvarandra, så lodar man sig på sätt fig. 92
antyder. Sistnämnde mätningssätt,
betydligt lättare att verkställa i
fallande än i stigande terräng, är tidsödande och fordrar
försigtighet, såvida man vill ernå större noggrannhet. Det kan
med fördel användas i mycket branta sluttningar, men i öfrigt
förtjenar nedanbeskrifne mätningssätt företräde.
Fig. 93.
94. Mätning efter spända snören. Härvid föras
stängerna varsamt utefter spända snören. Det är klart att
snörena blott tjena till ledning och att de endast indirekt, d. v. s,
genom den sträckning de lida under sjelfva
mätningsoperationen, inverka på mätningen. För ifrågavarande
mätningssätt lämpar sig bäst gröfre hyssing af ungefär 3 m.m. (1 linie)
i diameter. Man torde lämpligast medföra två partier,
hvardera af ungefär 100 meters längd.
Fig. 94.
Medgifver ej terrängen att snöret spännes
horisontelt, så måste efter mätningen
en reduktion till horisonten göras. En
reduktion förutsätter, att höjdskilnaden
mellan snörets ändpunkter eller att dess
lutningsvinkel är känd. Snöret fästes (fig. 94)
vid snedt i marken nedstuckna pikstakar
och lägges så spändt som utan farliga
rubbningar låter sig göra öfver i
terrängens brytningspunkter nedslagna, starka
och långa pålar eller, hvad som är bättre
— isynnerhet då terrängen är ojemn — på
de i nämnde punkter nedstuckna
klotsstakarnes klotsar. I brytningspunkter med
sådant läge som c måste snöret i
allmänhet omspännas, såvida man ej, såsom nyss
blifvit förordat, har två snören till sitt
förfogande. I så fall spännes, innan
mätningen börjar, äfven det andra snöret på sätt
som fig. 94 visar. Man undviker
härigenom de rubbningar af pålen c (staken),
hvilka eljest så lätt kunna uppstå vid
snörets omspänning.
Skall nu afståndet mellan ett kors på
pålen a och ett dylikt på pålen d
uppmätas, så föras stängerna af två personer
utefter snöret från a till d. Hållande
händerna 3 à 4 fot i sär, omfattar man såväl
stången som snöret och bemödar sig om
att varsamt föra stångändarne mot
hvarandra samt att ej oroa snöret.
Måste mätningen af en eller annan
anledning afbrytas vid en påle, så göres
ett märke på stången midt för ett dylikt
på pålen. Man har då vid operationens
fortsättning blott att tillse, det dessa
märken komma midt för hvarandra och kan
sedan fortfarande räkna jemna
stånglängder. Vid hvarje brytningspunkt antecknar man det
uppmätta afståndet från utgångspunkten räknadt. Afståndet
mellan två på hvarandra följande pålar erhålles sedan genom
en enkel subtraktion
sträcka för sig. Man är mindre utsatt för att förvilla sig och behöfver
ej så noga uppmäta bråkdelar af stånglängden vid hvarje brytningspunkt;
ty äfven om man skulle räkna den ena sträckan till godo på den andras
bekostnad, så utöfvar detta endast ett försvinnande inflytande på
reduktionen till horisonten. Totalsträckan blir i alla fall rätt uppmätt..
För att kunna reducera de uppmätta sträckorna till
horisonten, så måste man känna höjdskilnaderna h, h′, h″ o. s. v.
mellan pålarne eller ock snörets lutningsvinklar. Det totala
reduktionstalet vid en flera gånger bruten linie erhålles i
förra fallet ur
och i senare fallet ur
Värdena på h, h′, h″ o. s. v. bestämmas antingen genom
brytningspunkternas afvägning eller på annat sätt. Vid
lindriga sluttningar kan ofta ett vandt öga med erforderlig
noggrannhet uppskatta dessa höjdskilnader, ty af en längre
ned befintlig tabell framgår, att i så fall ett mindre fel hos
dem föga inverkar på det reducerade afståndet.
Finner man fördel i att mäta vinklarne α, α′, α″ etc.
i stället för h, h′, h″ etc., så kan detta, såvida snöret är
väl spändt, i de flesta fall göras med erforderlig noggrannhet
under användning af ett vattenpass, så anbringadt på en af
stängerna som i fig. 90 är angifvet. Stången lägges då på
snöret, eller ock inriktas den medelst syftning från en af
pålarne i lutningslinien, och, sedan blåsan bragts att spela
in, afläses vinkeln. Vill man i händelse af mycket kuperad
terräng för att vinna största möjliga noggrannhet utföra
vinkelmätningen med teodolit, så centreras teodoliten öfver en
af pålarne, mätes och utmärkes på en stång instrumentets
höjd öfver pålen och uppställes denna stång på den andra
pålen (klotsen). Inställes då tuben på stångens märke, så
är syftlinien parallel med förbindningslinien mellan pålarne,
och den sökta vinkeln afläses.
Följande tabell lemnar reduktionstalet δ för 100 meter
(fot) vid gifvet värde på a eller h och i allmänhet för hvilka
längder som helst, om den användes på sätt nedanstående
exempel utvisa: Reduktionstalet är 0,61 för 100 och 6°20′
samt 0,61 + 5 · 0,003 för 100 och 6°25′. Reduktionstalet
för 130 och 6°25′ är alltså 1,3 (0,61 + 5 · 0,003) = 0,813
meter (fot). För 160 meter (fot) och h = 20,4 meter (fot) är
reduktionstalet 1,6(1,95 + 4 · 0,019) = 3,242 meter (fot), o. s. v.
Tabell 3.
Reduktion af 100 meter (fot) till horisonten.
┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
| | | | Diff. ∆ δ i m.m. ‖ | | | Diff. ∆ δ i m.m. |
| | | | (0,1 lin.) för ‖ | | | (0,1 lin.) för |
| a | h | δ |––––––––+–––––––––––‖ a | h | δ |––––––––+–––––––––––|
| | | | da = 1′ | dh = 0′,1 ‖ | | | da = 1′ | dh = 0′,1 |
|———–———–|—————–|——————–|———————–|———————————‖————————–|——————|———————|————————|———————————|
|Gr.|Min.| | | | ‖ Gr.|Min.| | | | |
| | 0 | 0,0 | 0,00 | | ‖ 9 | 0 | 15,8 | 1,23 | | |
| | 20 | 0,6 | 0,00 | 00 | 2 ‖ | 20 | 16,4 | 1,32 | 4,5 | 15 |
| | 40 | 1,2 | 0,01 | | ‖ | 40 | 17,0 | 1,42 | | |
| | | | | | ‖ | | | | | |
| 1 | 0 | 1,8 | 0,02 | | ‖ 10 | 0 | 17,6 | 1,52 | | |
| | 20 | 2,3 | 0,03 | 0,5 | 2 ‖ | 20 | 18,2 | 1,62 | 5 | 17 |
| | 40 | 2,9 | 0,04 | | ‖ | 40 | 18,8 | 1,73 | | |
| | | | | | ‖ | | | | | |
| 2 | 0 | 3,5 | 0,06 | | ‖ 11 | 0 | 19,4 | 1,84 | | |
| | 20 | 4,1 | 0,08 | 1 | 4 ‖ | 20 | 20,0 | 1,95 | 5,5 | 19 |
| | 40 | 4,7 | 0,11 | | ‖ | 40 | 20,6 | 2,07 | | |
| | | | | | ‖ | | | | | |
| 3 | 0 | 5,2 | 0,14 | | ‖ 12 | 0 | 21,3 | 2,19 | | |
| | 20 | 5,8 | 0,17 | 1,5 | 5 ‖ | 20 | 21,9 | 2,31 | 6 | 20 |
| | 40 | 6,4 | 0,20 | | ‖ | 40 | 22,5 | 2,43 | | |
| | | | | | ‖ | | | | | |
| 4 | 0 | 7,0 | 0,24 | | ‖ 13 | 0 | 23,1 | 2,56 | | |
| | 20 | 7,6 | 0,28 | 2 | 7 ‖ | 20 | 23,7 | 2,70 | 6,5 | 22 |
| | 40 | 8,2 | 0,33 | | ‖ | 40 | 24,3 | 2,83 | | |
| | | | | | ‖ | | | | | |
| 5 | 0 | 8,8 | 0,38 | | ‖ 14 | 0 | 24,9 | 2,97 | | |
| | 20 | 9,3 | 0,43 | 2,5 | 9 ‖ | 20 | 25,5 | 3,11 | 7 | 24 |
| | 40 | 9,9 | 0,49 | | ‖ | 40 | 26,2 | 3,26 | | |
| | | | | | ‖ | | | | | |
| 6 | 0 | 10,5 | 0,54 | | ‖ 15 | 0 | 26,8 | 3,40 | | |
| | 20 | 11,1 | 0,61 | 3 | 10 ‖ | 20 | 27,4 | 3,56 | 7,5 | 25 |
| | 40 | 11,7 | 0,68 | | ‖ | 40 | 28,0 | 3,72 | | |
| | | | | | ‖ | | | | | |
| 7 | 0 | 12,3 | 0,75 | | ‖ 16 | 0 | 28,6 | 3,88 | | |
| | 20 | 12,9 | 0,82 | 3,5 | 12 ‖ | 20 | 29,3 | 4,04 | 8 | 26 |
| | 40 | 13,5 | 0,89 | | ‖ | 40 | 29,9 | 4,20 | | |
| | | | | | ‖ | | | | | |
| 8 | 0 | 14,0 | 0,97 | | ‖ 17 | 0 | 30,6 | 4,37 | | |
| | 20 | 14,6 | 1,06 | 4 | 14 ‖ | 20 | 31,2 | 4,54 | 8,5 | |
| | 40 | 15,2 | 1,14 | | ‖ | 40 | 31,8 | 4,72 | | |
95.Noggrannhet. Vid undersökning af den
noggrannhet som med ifrågavarande mätstänger, på något af
ofvannämnde sätt använda, kan ernås, har man att fästa
afseende vid det fel, som härleder sig af att
stängernas längder ej äro fullt riktiga samt det fel, som under
mätningen af en eller annan anledning ej kunnat undvikas. Det
senare utgör totalsumman af sådane under mätningen
begångna fel, hvilka dels kunna hafva en ensidig riktning, dels
af slumpen bestämmas än positiva än negativa. Funnes ej
ensidigt verkande felkällor, så vore totalfelet proportionelt
mot qvadratroten ur afståndet. Tillvaron af sådana felkällor
bekräftas; ty praktiska rön visa i allmänhet, att felet växer
hastigare än med qvadratroten ur afståndet.
Vid direkt mätning på terrängen kan naturligtvis någon
formel för felets beräkning ej angifvas.
Vid staffelmätning uti mer eller mindre sluttande terräng
torde, om afståndet betecknas med l, det sannolika felet
ungefärligen angifvas af f = 0,01 · (l)0,5.
Noggrannheten vid mätning efter snören är större än
hvad man är benägen att tro. Under öfningarne med
Teknologiska institutets elever, hafva mångfaldiga sträckor om
flera hundra fot blifvit uppmätta, utan att feldifferensen
uppgått till en linie. En felorsak, som kan matematiskt
undersökas, är att mätningen sker efter ett mer eller mindre
bågformigt snöre. Söker man skilnaden δ mellan kordan och
bågen, så får man genom serieutveckling och under
bibehållande af första termen med tillräcklig noggrannhet
hvarvid p betecknar sänkningen på midten och l betecknar
snörets längd. Antages l = 100′ samt p = 0′,3, så är
I allmänhet torde felet vid en väl utförd mätning efter
snöre angifvas af f = 0,002 · l0,5. Som man vid basmätningar
af 2:dra och 3:dje ordningen oftast tolererar, att felet uppgår
till 0,005 · l0,5, så kan ifrågavarande mätningssätt för dessa
mätningar användas.
Vid verkstäld kontrollmätning har det minsta resultatet
största sannolikhet för sig; ty om man undantager fel genom
snörets dragning åt ena eller andra hållet, så samverka de
öfriga mätningsfelen till ett för stort resultat.
Landtmäterikedjan.
96. Rent praktiska längdmätningar verkställas oftast
med landtmäterikedjan. Denna är som bekant sammansatt af
jerntrådslänkar. I Sverige äro dessa kedjor 50 fot långa
och hvarje länk är antingen en eller en half fot lång.
Förutom alla jemna fotantal är hvar 10:de fot markerad på ett
i ögonen fallande sätt
emedan man ännu ej tyckes vara ense om den lämpligaste kedjelängden
för det metriska systemet. Antagligen torde man komma att välja
mellan 15 meter (50,52 fot) och 20 meter (67,36 fot). Om ock den förra
längden understundom kan vara beqvämare, så är den senare med
hänsyn till det decimala systemet att föredraga..
Liniemätning med kedja utföres af två personer, af
hvilka den ena lägger till vid en förut bestämd punkt, under
det att den andre, sedan han riktat in sig eller af
medhjelparen blifvit inriktad i linien, horisontelt sträcker kedjan och
nedsätter en medhafd stake, sticka eller jernnål, i samma
ögonblick sägande ordet "sträck" eller annat lämpligt ord åt
medhjelparen, som just då bör stadigt fasthålla kedjan. Vid
den så bestämda punkten lägger efterföljaren sedan till och
mätningen fortsattes som ofvan. För att undvika de
knutar, "knän", som på grund af länkarnes sammansättning lätt
uppkomma, då kedjan lägges dubbel eller ringlas, så bör
efterföljaren släppa kedjan när tilläggningen är gjord och låta
föregångaren draga den efter sig. I och för kontrollering af
huru många kedjelängder, som blifvit utsatta, är det
förmånligt vid mätning af långa sträckor, om den som går först,
har med sig ett bestämdt antal nålar eller stickor, uppträdda
på ett snöre. När dessa tagit slut äro lika många
kedjelängder utsatta som antalet medförda stickor. Samma antal
stickor bör då af medhjelparen, hvilken tagit upp dem, till
föregångaren öfverlemnas, hvarefter mätningen fortsattes.
Sålunda kontrollera båda hvarandra och någon missräkning
kan ej gerna uppkomma.
I kuperad terräng är det nödvändigt att stakar
begagnas i stället för stickor. Dessa stakar lodas, på det att
tilläggning må kunna ega rum
äfven vid toppen, utan att
fel uppkommer. Öfverstiger
ej lutningen 5 fot på 50 fot,
så kan hela kedjan utsträckas.
I starkare sluttningar går man
lämpligast till väga på sätt
som följer.
Fig. 95
Om (fig. 95) från en punkt 1
en linie skall uppmätas i en
stark sluttning, så inriktas
stakarne 1, 2, 3, 4, o. s. v., på
så stort afstånd från
hvarandra, att den lodräta stigningen blir ungefär 5 fot. Sedan
samtlige stakarne blifvit omsorgsfullt lodade och kedjan
blifvit förlagd uti liniens riktning samt till venster om
linien, så lägger A till med kedjans eftersta ände vid
roten af staken 1, under det att B horisontelt sträcker
kedjan, dervid förande högra tummens nagel midt för
staken 2 vid dess topp. A släpper nu kedjan och B, alltjemt
fasthållande samma ställe af densamma, sänker sig och
lägger till vid roten af staken 2, hvarefter A horisontelt
sträcker och fattar kedjan midt för staken 3, o. s. v. På detta
sätt gå de ömsevis om hvarandra, och när kedjan är slut,
hafva 50 fot blifvit uppmätta. Att så gå till väga är
beqvämare, snabbare och säkrare än att mäta hvarje
horisontelt element för sig och genom addition söka totallängden.
Det torde med afseende på beqvämlighet kunna uppställas
som regel, att A och B vid ifrågavarande mätningssätt
alltid böra placera sig så, att de, vända åt det håll hvartåt
mätningen skall gå, hafva både kedjan och linien till höger.
Det torde af det föregående äfven framgå huru mätningen
bör verkställas i stigande terräng.
Hvad beträffar kedjans hopläggning, sedan den blifvit
begagnad, torde med hänsyn till tidsbesparing böra påpekas
tordelen af att börja vid kedjans midt. Äfvenledes må
anmärkas, att kedjans utläggning lämpligast sker, om man,
med venstra handen fasthållande det ena handtaget, kastar
ut den med den högra. Är den väl ihoplagd, brukar den
då falla ut helt och hållet och utan "knän".
97. Felorsaker och noggrannhet vid kedjemätning. Fel
vid kedjemätning härflyta af
1) att kedjan afviker från horisontal- och stakplanet;
2) att kedjan ej sträckes tillräckligt, samt af
3) bristande skärpa i tilläggning vid eller utsättning af
stickor eller stakar.
Kedjans afvikelse ur horisontal- eller stakplanet
föranleder ett fel δ, som för hvardera fallet kan beräknas ur
Antages den ena kedjeänden ligga en fot lägre än den
andre eller, hvad som föranleder samma fel, vika en fot ur
linien, d. v. s. h = 1, så blir för l = 50, δ = 0,5 linie, ett fel
af så obetydlig beskaffenhet, att man dervid ej behöfver fästa
något afseende. Reduktionstalet för en kedjelängd om 50 fot
vid gifvet värde på h erhålles, om i Tab. 3 (sid. 124) det
värde på δ, som svarar mot 2h halfveras.
För att utröna inflytandet af att kedjan hänger i båge,
användes den förut i 95 anförda formeln
hvilken, alldenstund l = 50, kan transformeras till
Är t. ex. sänkningen på midten p = 0,5 fot, så är δ = 1,3 linie.
Af vida större betydelse än föregående fel äro de fel,
som förorsakas dels under tilläggning vid, dels under
utsättning af stickor eller stakar. Sammanlagdt torde i medeltal
dessa fel, allt efter som terrängen är mer eller mindre svår,
uppgå till 10 à 5 linier. I kuperad terräng blir, om
stakarne ej lodas, totalfelet ännu större.
Af ofvanstående betraktelser framgår nödvändigheten af
att man i främsta rummet koncentrerar uppmärksamheten
på utsättningen och tilläggningen vid stickorna eller
stakarne. Häremot bryta ofta nybörjare, i det de i stället
vanligen lägga an på att skarpt rikta in staken eller att mer
än nödigt är sträcka kedjan. Endast sådane stakar eller
pålar, som skola qvarstå i linien, behöfva — af andra skäl
— noggrannt inriktas; endast då kedjan helt och hållet
hänger fritt är en starkare sträckning behöflig.
Förutom ofvannämnde felorsaker återstår att taga i
betraktande, att hvarje kedja i mån af som den begagnas så
småningom förlänger sig. Denna förlängning kan uppgå ända
till 20 à 30 linier. Man bör derför tid efter annan pröfva
kedjan. Visar den sig härvid vara alltför felaktig, måste
en smed genom att hopslå länk-öglorna återställa den till sin
rätta längd. Man kan visserligen för tillfället nå samma
mål genom att här och der kröka en och annan länk. Ett
sådant justeringssätt är ej att förorda. Utomlands begagnas
på en del ställen kedjor, vid hvilka för hvar tionde fot
justerskrufvar finnas. Dessa temligen komplicerade kedjor hafva
ej hos oss vunnit insteg.
Äfven vid kedjemätning anses felet växa med
qvadratroten ur afståndet. Dock synes oss praktiska rön
ådagalägga, att felet i allmänhet växer hastigare än med
qvadratroten ur afståndet. På grund af många utförda
dubbelmätningar under ej allt för ogynnsamma
terrängförhållanden angifves under förutsättning af justerad kedja f af
f = 0,02 (l)0,5.
Följande värden på f, l och f∕l svara enligt denna
formel mot hvarandra:
___________________________________________
| l | f | f∕l || l | f | f∕l |
|—————|—————|————————||——————|—————|————————|
| 100 | 0,2 | 1∕500 || 1600 | 0,8 | 1∕2000 |
| 400 | 0,4 | 1∕1000 || 2500 | 1,0 | 1∕2500 |
| 900 | 0,6 | 1∕1500 || 3600 | 1,2 | 1∕3000 |
Vid sumpig eller starkt kuperad terräng kan ej så stor
noggrannhet påräknas. — En del landtmätare antaga i
medeltal felet vid kedjemätning vara l fot på 1000.
Afståndsbestämning genom stegning.
98. Stegning medgifver ett hastigt och för en van
person för många ändamål tillräckligt noggrannt sätt att
bestämma afstånd. Man bemödar sig att bibehålla sin
vanliga raska gång och dermed förenlig steglängd, som förut
genom stegning af kedjemätta afstånd blifvit bekant.
Stegning begagnas isynnerhet vid rekognoseringsmätning. Som
det då vanligen är fråga om att direkt upprita
mätningsresultaten, brukar man betjena sig af ett diagram. Ett
sådant erhålles, om man (fig. 96) uti den gifna skalan
uppritar en rätvinklig triangel, hvars
hypotenuslängd svarar mot ett jemnt
antal steg, och sedan indelar den ena
katedern i samma antal delar, samt
slutligen från delningspunkterna
drager linier parallela med hypotenusan.
Dessa linier angifva då de längder,
som svara mot antalen hela steg. —
Numera finnas att köpa stegräknare i fickursformat. Vid
stegning, utförd af en van person, öfverstiger felet sällan
2 à 3 % af afståndet
Fig. 96.
Distansmätare.
99. Med distansmätare förstås ett instrument, med
hvilket man kan från den punkt, der man stationerar,
bestämma afståndet till en annan. Man skiljer mellan de
distansmätare, som fordra att en graderad stång uppställes
å sistnämnde punkt och dem, som utan tillhjelp af en sådan
angifva afståndet.
Vid de förra instrumenten, hvilka lemna betydligt
skarpare resultat än de senare, är det antingen den vinkel, som
svarar mot en konstant längd af stången, eller den längd af
stången, som svarar mot en konstant vinkel, hvilken mätes
och af hvilken det sökta afståndet utgör en funktion. För
en närmare redogörelse för dessa instrument, som vanligen
samtidigt äro afsedda för höjdmätning, hänvisas till Kap. VIII.
Af distansmätare utan stång finnas åtskilliga
konstruktioner; dock har man ännu ej lyckats konstruera dem så,
att de mäta med tillräcklig noggrannhet för geodetiska
ändamål; deremot hafva de stor betydelse för militära ändamål
uti tidskriften »Engineering« för 1874..
*
Instrument för utsättning af räta vinklar, m. m.
100. Det förekommer mycket ofta vid praktiska
mätningar utstakning af mot hvarandra vinkelräta linier. För
detta ändamål betjenar man sig vanligen af korstaflan,
vinkeltrumman, vinkelspegeln, prisman eller prismkorset, äfvensom i
nödfall af landtmäterikedjan.
Korstaflan.
101. Korstaflan (fig. 97) är det mest använda
instrument för utsättning af räta vinklar. Densamma utgöres af
ett plant gjutjernskors, uti hvilket äro anbringade två mot
hvarandra vinkelräta spår, 1,6 m.m. breda och 6 à 9 m.m.
djupa. Detta kors är, fästadt vid en rak, jernskodd stake, om
ungefär 1,3 meters höjd.
102. Pröfning. För att pröfva om spåren äro mot
hvarandra vinkelräta, så uppställer man korstafian i en jemn
terräng (fig. 98) och lagar dervid att dess stake
kommer att stå lodrätt; inriktar sedan på 50 à 70 meters
afstånd signalen s i spåret a b och signalen t i spåret c d
Fig. 97.
samt vrider korstaflan tills s synes i spåret c d. Är
korstaflan felfri, så skall t synas i spåret a b, hvarom ej så kan
midt för t en signal u utsättas, som
påtagligen ligger symmetriskt mot t i
förhållande till en mot a b vinkelrät linie e v.
Om derför t u halfveras och en signal
utsättes i v, så utvisar t v det sökta felet.
Man kan således äfven med en felaktig
korstafla utstaka räta vinklar.
103. Korstaflans användning. Hvad
sättet att använda korstaflan beträffar, så
torde väl knapt någon förklaring behöfvas.
Imellertid må påpekas, att man, när
korstaflan skall noga inriktas i en linie,
kommer säkrast och snabbast till målet
genom att bestämma den punkt, der dess stake bör nedsättas,
med ett lodsnöre eller en hjelpstake. Föröfrigt lodas alltid
staken vid noggranna mätningar, och man förvissar sig att
taflan står rätt genom att i båda riktningarne efterse om
spåret ligger i stakplanet.
Fig. 98, 99.
Korstaflan kan användas tör
1) att från en punkt i en
gifven rät linie staka en linie, som
bildar räta vinklar med den gifna
linien;
2) att genom en punkt utom
en gifven rät linie staka en linie,
som bildar räta vinklar med den
gifna linien (man går försöksvis till
väga och har nått målet, när den
gifna punkten synes i det ena spåret
samtidigt som den gifna linien sammanfaller med det andra);
3) att bestämma en punkt c mellan och i linie med två
punkter a och b (man går försöksvis till väga och har
funnit den sökta punkten, när a och b synas i spåret);
4) att från en punkt i en cirkelkurva, vinkelrätt mot
kurvan staka en linie [man utsätter (fig. 99) i kurvan två
symmetripunkter a och b till den gifna punkten c, halfverar
kordan a b i d och stakar från denna punkt en linie, som
med a b bildar räta vinklar];
5) att genom en punkt staka en linie, som är parallel
med en gifven linie: Man stakar genom punkten vinkelrätt
mot den gifna linien en linie och vinkelrätt mot den
sistnämnda linien äfvenledes en linie, som blir den sökta; eller
man stakar vinkelrätt mot den gifna linien två linier, hvaraf
den ena genom punkten, och utsätter i den andra linien
punktens afstånd. I sistnämnde fall, som i allmänhet
lemnar bättre resultat än det föregående, bestämmer den
så erhållna punkten i förening med den gifna den sökta
linien.
104. Noggrannhet. Förutsatt att korstaflan är felfri,
hvilket med få korstaflor är händelsen, kan man med den
staka en rät vinkel rätt på 1 à 2 minuter när (motsvarande
en afvikelse af 0′,03 à 0′,06 på 100′). I allmänhet kan ej
större noggrannhet påräknas, än att felet uppgår till 4 à 6
minuter (motsvarande en afvikelse på 100′ af 0′,12 à 0′,18).
Vill man vid stakning med korstaflan göra sig oberoende af
dess felaktighet, så går man till väga på sätt som i det
föregående (se korstaflans pröfning) finnes närmare anfördt.
Vinkeltrumman.
105. Detta instrument finnes närmare beskrifvet i
71, hvartill vi hänvisa, påpekande att för såvidt man
endast önskar ett instrument, afsedt för samma ändamål
som korstaflan, det är nog med dioptercylindern, som i
så fall bör vara omedelbart fästad vid stativkäppen. Hvad
beträffar pröfning, användning etc., så gäller för
vinkeltrumman hvad som härom är sagdt om korstaflan.
Vinkeltrumman är mer användbar i kuperad terräng än korstaflan och
föröfrigt beqvämare att medföra.
Synnerligen nätta vinkeltrummor af fransk tillverkning
finnas numera att köpa i Stockholm. Med dem kan äfven
utsättas vinklar om 45°, hvilket understundom är
förmånligt. Man kan nämligen i så fall bestämma ordinatan för
en otillgänglig punkt, i det man bestämmer basliniens
skärningspunkter med en från punkten i fråga vinkelrätt och
med en mot henne under 45° fäld linie. Ordinatafståndet
är påtagligen lika med afståndet mellan ofvannämnde
skärningspunkter.
Vinkelspegeln.
106. Detta instrument består af två på samma plan
vinkelrätt stående speglar, hvilkas reflekterande ytor med
hvarandra bilda en vinkel af 45°. Dessa speglar äro
inneslutna uti en låda, försedd med handtag på sätt som
fig. 100 i halfva den naturliga storleken antyder.
Instrumentet grundar sig föröfrigt på samma princip som
sextanten (se 77).
Fig. 100.
Om a och b (fig. 101) äro de
båda på samma plan vinkelrätt
stående speglarne, så reflekteras
de från en punkt s utgående och
med nämnde plan parallela
strålarne, först af a och sedan af b,
och lemna spegeln b i riktningen b ö.
Ett i ö placeradt öga ser derför
bilden af s i riktningen ö s͵. Emedan
φ + (90 − β) + (90 − γ = 180,
hvaraf φ = β + γ och vidare
α = 2β + 2γ,
så är α = 2φ, eller α = 90°, om
vinkeln φ som de båda reflekterande
ytorna bilda med hvarandra är 45°.
Detta gäller huru än instrumentet
vrides, således oberoende af
handens darrningar, blott de infallande
strålarne äro parallela med
hvilplanet.
Fig. 101, 102.
Af det föregående följer, att
om man håller vinkelspegeln och
ögat så, att de för andra gången
reflekterade s-strålarne komma till
detsamma, och vidare uti linie med
ögat och den af dessa strålar
alstrade bilden inriktar (seende öfver
spegelkanten) en signal s͵, att den
så bestämda linien ö s͵, bildar räta
vinklar med a s; vidare följer att
vinkelspegeln är inriktad uti en stakad linie, när
samtlige stakarnes bilder sammanfalla (täckes af den främsta
stakens bild).
107. Vinkelspegelns pröfning och justering. Man
utsätter uti plan terräng (fig. 102) tre stakar a, b och c i rät
linie på 50 à 60 meters afstånd, håller sedan spegeln vid
den mellersta staken b först vänd mot a och inriktar en
signal a͵ uti linie med ögat och bilden af a,
sedan vänd mot c.
Sammanfaller då bilden af c med den öfver spegelkanten
sedda signalen a͵, så är instrumentet felfritt, hvarom icke,
så inriktas uti linie med ögat och bilden af c en signal c͵.
Påtagligen ligga a͵ och c͵ symmetriskt på hvar sida om den
mot a c vinkelräta linien b m. Utsättes derför signalen m
midt imellan a͵ och c͵, så blir sistnämnde linie fixerad. För
att beriktiga instrumentet, har man, fortfarande hållande
detsamma vid staken b, blott att vrida på en för den ena
spegeln befintlig justerskruf tills bilden af a eller c
sammanfaller med m.
108. Vinkelspegelns användning. Vinkelspegeln kan,
om man undantager fallet 3), användas för att lösa samma
problem som korstaflan; dock fordrar den plan terräng, ty
som grundplanet måste vara horisontelt, så är det omöjligt
att i kuperad terräng få bilden att täcka den direkt sedda
signalen. Denna omständighet inskränker i ej oväsendtlig
mån vinkelspegelns användning. Ehuru vinkelspegeln ofta
hålles med fri hand, är det vid många tillfällen lämpligt att
hafva den fästad vid en skodd lodstake.
Alldenstund sättet att använda ifrågavarande instrument
hufvudsakligen torde framgå af det förut sagda, så må endast
påpekas, att när man genom en punkt p, utom en gifven linie,
skall med tillhjelp af vinkelspegeln fälla en mot denna linie
vinkelrät sådan, att man efter att hafva kommit med spegeln
i linien (samtlige liniestakarnes bilder förena sig då till en)
flyttar sig uti densamma tills liniestakarnes förenade bild
sammanträffar med den öfver spegelkanten sedda punkten
(staken) p.
Vinkelspegeln, som i allmänhet är lätthandterligare och
medgifver snabbare operationer än korstaflan, lemnar dock
mindre noggranna resultat än korstaflan.
Prisman.
109. I stället för vinkelspegeln kan man begagna sig
af en glasprisma, hvars bas utgöres af en likbent och
rätvinklig triangel. Denna prisma (fig. 103) har sin
hypotenusyta beklädd, och är föröfrigt så infattad, att den beqvämt
kan hållas under mätningen.
Enligt optiken gäller för en ljusstråle, som öfvergår från
ett tätare till ett tunnare medium, mellan infallsvinkeln α
och brytningsvinkeln β följande relation: sin α = μ sin β.
Det största värde som β kan erhålla svarar mot α = 90°, då
sin β = 1∕μ. Sättes brytningskoefficienten μ = ³⁄₂ (dess storlek
för luft och kronglas), så är βmax. = 41° 48′. Häraf följer
omvändt, att alla strålar blifva totalt reflekterade, som inifrån
Fig. 103.
träffa en af prismans väggar under större vinkel med
normalen än 41° 48′. En ljusstråle, som faller på en likbent
och rätvinklig prisma, kan
reflekteras en eller två gånger. Det
är af vigt att skilja mellan de
en gång och de två gånger
reflekterade strålarne. Endast de
senare hafva betydelse vid
mätning med den enkla prisman.
Fig. 104.
Vid enkel reflexion har man
att beakta två fall:
1) Infaller (fig. 104) på en
likbent och rätvinklig prisma och
parallelt med dess grundplan
strålar i en punkt a mellan en af de
spetsiga vinklarne och normalen,
så är γ = 45° + β, och
följaktligen eger alltid total reflexion rum i R. Emedan de i
R reflekterade strålarne påtagligen bilda vinkeln β med
normalen till katedern A B, så är sin ε = μ sin β = sin α
eller ε = α. Häraf följer, om
vinkeln mellan de
infallande och de
utgående strålarne betecknas
med φ, att φ = 90 + 2α.
2) Infalla strålarne
i en punkt b (fig. 105)
mellan den räta vinkeln
och normalen, så är
γ͵ = 45° − β;
följaktligen eger då total
rereflexion endast rum för
β < 3°12′. Emedan äfven i detta fall ε = α, så är φ = 90 − 2α.
När β > 3° 12′, så utträda de flesta strålarne. Till följd
häraf uppstår då endast partiel reflexion i R, och betydligt
svagare bild erhålles.
Dubbel reflexion erhålles, om strålarne infalla som i fig. 106,
vare sig i riktningen p a eller i riktningen ö b. Emedan
γ = 90 − β och β ej kan bli större än 41° 48′, så är
γ > 41°48′,
och således eger total reflexion rum i R; emedan vidare
γ͵ = 45 − β, så är γ͵ > 41°48′ för β < 3°l2′, och således
eger total reflexion rum i R͵ endast när β < 3°12′.
I trianglarne R R͵ d och c R͵ b kunna följande relationer erhållas:
*
*
hvaraf β = δ eller, alldenstund sin α = μ sin β och sin ε = μ sin δ, α = ε. Häraf följer åter, om φ betecknar vinkeln
mellan de infallande och
de utgående strålarne, att
φ = 90° + α − α = 90°.
Om man derför i en punkt e
håller en likbent och
rätvinklig glasprisma så vänd
mot en annan punkt p, att
prismans bas blir parallel
med de från p infallande
strålarne, och så, att dessa strålar
blifva två gånger
reflekterade, samt slutligen uti linie
med ögat och den af de två gånger reflekterade strålarne
alstrade bilden inriktar (seende öfver prismans öfverkant)
en signal p͵, så bildar linien ö p͵, rät vinkel med linien p e.
Som φ = 90° endast gäller, när de infallande och de
utgående strålarne äro parallela med prismans bas, så följer
att prisman i likhet med vinkelspegeln endast lämpar sig
för plan terräng.
Emedan, enligt föregående, två bilder kunna i prisman
synas, nämligen den som alstras af enkelt reflekterade och
den som alstras af dubbelt reflekterade strålar, och endast
den senare är användbar, så är det af vigt att skilja
mellan dessa bilder. Detta är ganska lätt; ty den användbara
bilden synes till följd af den dubbla reflexionen mattare än
den andra, hvilken for öfrigt ändrar läge, då prisman vrides
kring sin axel.
Bilden af de två gånger reflekterade strålarne
uppkommer antingen i närheten af den räta vinkeln (i a) eller i
närheten af den infallskatedern motstående vinkeln (i b),
beroende på huruvida prisman hålles så, att strålarne infalla
mellan katederns normal och räta vinkeln (såsom ö b), eller
så, att de infalla på andra sidan om normalen (såsom p a).
Prisman kan användas vid samma tillfällen och för
samma ändamål som vinkelspegeln, hvars fördelar och
olägenheter den äfvenledes innehar.
110. Prismans pröfning. För att pröfva huruvida en
prisma angifver räta vinklar, d. v. s. har till bas en likbent
och rätvinklig triangel, går man till väga på samma sätt
som i 107 för vinkelspegeln finnes anfördt. Prismans
justerslipning måste verkställas af instrumentmakaren.
Fig. 107.
Prismkorset.
111. Detta instrument, uppfunnet af Professor
Bauernfeind i München, består af två prismor, hvardera med
likbent och rätvinklig bas samt så stälda (fig. 107) på
hvarandra, att två katederytor
sammanfalla och hypotenusytorna
bilda rät vinkel med
hvarandra. Vid prismkorset kan
man använda (se 109) såväl
bilden, som alstras af enkelt
reflekterade, som den,
hvilken alstras af dubbelt
reflekterade strålar; den förra dock
endast, när man vill
bestämma en punkt mellan och i linie
med två gifna punkter.
Håller man (fig. 108)
mellan två punkter s och s͵, och
uti deras linie ett prismkors,
så att prismornas baser blifva
parallela med linien s s͵, så
sammanfalla de genom enkel
reflexion uppkomna bilderna
af s och s͵ med hvarandra
(enligt 109 är φ = 90 + 2α för venstra och φ = 90 - 2 α för
högra prisman; alltså det utgående strålplanet gemensamt). Så
blir äfven händelsen (fig. 109) med de genom dubbel reflexion
uppkomna bilderna af s och s͵, men dessutom är linien, som
sammanbinder ögat med dessa bilder vinkelrät mot linien s s͵. Detta
följer af att enligt 109 φ = 90 = φ͵ hvaraf
φ + φ͵ = 180°.
Om man således för ett prismkors mellan två signaler s och s͵,
Fig. 108.
så är, när bilderna af s och s͵ sammanträffa, prismkorset uti
linien; och om man derjemte inriktar (seende öfver korset)
en signal s͵͵ i linie med ögat och den två gånger
reflekterade bilden, så fås en mot s s͵ vinkelrät linie. Strängt taget
blir det senare endast fallet, om de båda signalerna ligga på
oändligt stort afstånd från hvarandra ; ty de bilderna alstrande
strålarne afvika, såsom af fig. 109 synes, eljest från
signalernas sammanbindningslinie. Denna afvikelse har för
vanligen förekommande afstånd mellan s och s͵, ingen praktisk
betydelse.
I öfverensstämmelse med hvad som blifvit sagdt för
den enkla prisman, har man att söka bilden af de två
gånger reflekterade strålarna i närheten af någon af de räta
vinklarne.
112. Prismkorsets pröfning och justering. Man har
härvid att undersöka:
1) om prismorna hvar för sig äro riktigt slipade
(se 110);
2) om deras axlar äro parallela — man efterser om
bilderna af två lodräta stakar, huskanter etc., blifva
parallela och bringar dem i motsatt fall till parallelism medelst
för ändamålet anbringade justerskrufvar;
3) om katederytorna äro med hvarandra parallela eller
hypotenusytorna mot hvarandra vinkelräta. Man utsätter i
plan terräng tre stakar i rät linie, håller instrumentet vid
den mellersta, efterser om de andra stakarnes bilder
sammanfalla samt vrider i motsatt fall med härför anbringade
justerskrufvar den ena prisman tills detta inträffar.
113. Prismkorsets användning. Prismkorset kan
användas för att lösa alla de problem som i 103 finnas angifna.
Det erbjuder framför vinkelspegeln och den enkla prisman
fördelen af, att man med det kan inrikta en punkt mellan
två signaler, äfven om denna punkt derjemte skall
förläggas så, att den och en gifven punkt bestämma en linie,
som bildar räta vinklar med den gifna linien. Som af det
föregående torde framgå huru prismkorset bör användas,
må det blott erinras, att man vid lösningen af sist anförda
problem begagnar sig af de bilder, som de två gånger
reflekterade strålarne alstra; att man är i linien, då de
båda signalernas bilder sammanträffa samt att den sökta
punkten är funnen, när den utanför linien liggande, gifna
punkten, sedd öfver prismkorsets kant, ligger i linie med
ögat och nyssnämnde bilder.
Prismkorset, som är ett synnerligen sinnrikt,
kompendiöst och lätthandterligt instrument, kan imellertid likasom
vinkelspegeln och den enkla prisman endast användas i plan
eller mindre buktig terräng
vinklar, enligt något af följande sätt:
Fig. 110. Fig. 111. Fig. 112.
1) Punkten c (fig. 110) utsättes i linien a b på 20 fot från a;
derefter fasthållas de båda kedjeändarne i a och c, och en tredje person
fattar kedjan på 21 fots afstånd från a samt sträcker båda parterna och
nedsätter i d en signal. Emedan 29 + 21 = 50 och 29² = 20² + 21², så är
c a d en rät vinkel.
2) Emedan (n · 5)² = (n · 4)² + (n · 3)², så erhålles den sökta
punkten, om man af kedjan bildar en triangel, hvars sidor förhålla sig till
hvarandra som 5, 4 och 3, och (fig. 111) inriktar den ena katedern i
linien.
3) Af kedjans båda ändar hålles (fig. 112) den ena vid a, den andra
i d på 25 à 30 fots afstånd från a. Fattar en tredje person kedjans
midtpunkt, sträcker dess båda parter och bestämmer punkten c, så
erhålles, om parten a c föres kring c i riktningen d c, den sökta
punkten e; ty emedan punkterna d, a, och e ligga på en cirkel, som har c till medelpunkt, så är d a e en rät vinkel..
*
Instrument för afvägning.
114. Med afvägning förstås den mätningsmetod, enligt
hvilken höjdskilnaden mellan två eller flera punkter direkt
mätas. Härför förutsättes i allmänhet ett syftinstrument,
hvars kollimationsaxel kan inställas och vridas i
horisontalplanet, samt en graderad stång, som, uppstäld på de
punkter, hvilkas höjder sökas, mäter höjdskilnaderna mellan dessa
punkter och syftplanet. Emedan afståndet mellan
instrumentet och stången endast undantagsvis förekommer så stort,
att den ideela jordytans buktiga form utöfvar något afsevärdt
inflytande, så kan i allmänhet sägas att skilnaden mellan
afläsningarne från samma station å den i två punkter
uppstälda stången angifva dessa punkters höjdskilnad. Härpå
grundar sig i vanliga fall höjdmätning genom afvägning.
Ehuru afvägningsstången egentligen är det mätande
verktyget, så tager dock syftinstrumentet, såsom varande mera
innehållsrikt och i samband dermed mera svårskött, i det
följande företrädesvis vår uppmärksamhet i anspråk.
Då höjdmätning med barometer är principielt
närbeslägtad med afvägning, så hafva vi i detta kapitel äfven
redogjort för höjdmätningsbarometrar.
Afvägningsstången.
115. Det gifves två slags afvägningsstänger: dem, på
hvilka observatorn direkt under syftning i tuben afläser, och
dem, på hvilka stångföraren afläser. De förra, som
hufvudsakligen användas vid förstorande afvägningsinstrument
(tubinstrument) äro försedda med en, äfven på längre afstånd
synlig gradering; de senare, som begagnas för icke
förstorande instrument eller vid
syftning med tubinstrument på så
stort afstånd, att direkt
afläsning ej är möjlig, äro försedda
med en skjutbar bricka, hvilken
efter observatorns kommando af
stångföraren höjes eller sänkes,
till dess hårkorset sammanträffar
med brickans på lämpligt sätt
utmärkta midtpunkt.
Fig. 113. Fig.114.
Fig. 113 visar en
afvägningsstång för direkt afläsning och
graderad i decimalsystem (meter
eller fot). För erhållande af
tydlighet äro alla jemna meter,
decimeter och centimeter (fot, tum
och linier) målade i hvitt, alla
udda i svart. För att siffrorna
må i tuben ses rättvända, äro de
på stången upp och nedvända.
Föröfrigt brukar besiffringen vara
direkt. I fig. 113 afläses 5,27.
Vid noggrann afvägning är det förmånligt om vid stången
är fästad en pendel eller ett dosvattenpass, som till rättelse
för stångföraren angifver, när stången står lodrätt. För att
beqvämt kunna transporteras bör stången kunna hopläggas
eller hopskjutas.
Den vanliga längden på svenska afvägningsstänger är
12 fot. Stänger om 15 fot, ehuru ej så lätthandterliga, äro
att föredraga i kuperad terräng.
För de numera ur bruk komna skjutstängerna (fig. 114),
vid hvilken syftbrickan förmedelst ett snöre kan höjas eller
sänkas, torde ej behöfva redogöras. Det kan imellertid
understundom vara förmånligt att äfven vid den vanliga
afvägningsstången hafva en skjutbar bricka.
Afvägningsinstrumentet.
116. Som redan blifvit nämndt är afvägningsinstrumentet
ett syftinstrument, hvars kollimationsaxel ställer sig
horisontel eller med lätthet kan ställas horisontel. För att
få kollimationsaxeln horisontel, betjenar man sig nästan
uteslutande af tyngdkraften. Man skiljer mellan instrument,
vid hvilka tyngdkraften omedelbart ställer kollimationsaxeln
horisontel och sådane, som fordra att inställas. Bland de
förra, till hvilka mindre noggrannt mätande instrument höra,
må anföras: Kanalvågen, vid hvilken kollimationsaxeln
bestämmes af vätskeytorna i två kommunicerande vertikala glasrör;
Pendelvågen, hvars tyngdpunkt är så förlagd, att
kollimationsaxeln, bestämd af en på vågen befintlig diopter, blir
horisontel, när vågen intager sitt jemnvigtsläge; Afvägningsspegeln,
som, bestående af en liten fritt hängande pendelspegel, hvars
reflekterande yta vid jemn vigtsläget intager lodrätt ställning,
grundar sig på, att hvarje ljusstråle, hvilken af en yta
reflekteras till sin utgångspunkt, måste bilda rät vinkel med
denna yta.
Ofvannämnde instrument förstora ej föremålet och ställa
sig ej med synnerlig skärpa horisontelt. Deras användning
är derför inskränkt till mindre noggranna mätningar. Endast
afvägningsspegeln kommer bland dem att i det följande
närmare behandlas.
Vid de instrument, som måste af observatorn horisontalställas,
eger detta rum med tillhjelp af ett vattenpass. Med
anledning af tubens egenskap att förstora samt vattenpassets
förmåga att skarpt angifva horisonten, bilda dessa organ i
förening det afvägningsinstrument, som numera mest
användes och hvarmed vi derför i det följande hufvudsakligen
komma att sysselsätta oss.
117. Tubafvägningsinstrumentets beståndsdelar. Det
vanliga tubafvägningsinstrumentet (fig. 115) är sålunda
sammansatt: En tapp är vridbar i en hylsa, hvilken medelst
ställskrufvar kan ställas så, att tappens medellinie sammanfaller
med lodlinien. Vid denna tapp är fästad ett tvärstycke,
som genom två stöttor uppbära tuben och ett på den
hvilande vattenpass.
Fig. 115.
Af tubafvägningsinstrumenten finnes en mängd olika
konstruktioner, hvilka hufvudsakligen skilja sig från
hvarandra genom olika inrättningar för kollimationsaxelns
horisontering samt genom det sätt hvarpå tuben och
vattenpasset äro förbundna med hvarandra och med ofvannämnde
inrättning.
Hvad beträffar tubens horisontering må vi beakta:
instrument, som endast medgifva allmän sådan, genom att den
mot tubens axel vinkelräta tappen ställes lodrätt, och
instrument, som derjemte äro inrättade för partiel horisontering,
utan att tappens läge rubbas. Förutom den från teodoliten
kända inrättningen med tre fotskrufvar, må för allmän
horisontering anföras den i Sverige mycket använda nötrörelsen
med två horisontela skrufvar.
Nötrörelsen, sådan den i Sverige vanligen användes,
visar fig. 116. Den med två koner a och b försedda tappen
är vridbar uti en hylsa, hvars öfre del öfvergår till en sferisk
nöt. Nöten, som exakt passar uti det utsvarfvade rummet
i en annan hylsa c, kan inom erforderliga gränser vridas
kring sitt centrum medelst de mot hvarandra rätvinkligt
Fig. 116.
stälda och vinkelrätt mot nöthylsan verkande skrufvarne
d och e samt genom en i hylsan f innesluten och dem
motverkande stark spiralfjeder g. För att denna rörelse må
ske jemnt och stadigt måste
lockskrufvarne h ej vara för
löst eller för hårdt åtdragna.
I förra fallet glappar nöten eller
följer med vid tubens vridning;
i senare fallet förmår ej fjedern
verka aktivt, då någon af
skrufvarne tillbakavridas. Hylsan c
kan direkt fastskrufvas vid
stativplattan.
När tappen skall ställas
lodrätt, bringas vattenpasset att
spela in först öfver den ena
och sedan öfver den andra
skrufven, derefter ånyo öfver den
första o. s. v., tills blåsan
spelar in vid båda lägena.
Tappen står då lodrätt; och om
kollimationsaxeln bildar rät
vinkel med tappens medellinie, så
kommer den vid vridning kring
tappen att röra sig i
horisontalplanet.
Nötrörelsen, ehuru ganska
beqväm och för praktiska
ändamål fullt tillfredsställande,
medgifver dock ej samma stadga
som den vid teodoliten och finare afvägningsinstrument
vanliga inrättningen med tre vertikala ställskrufvar. — I händelse
af sistnämnde inrättning fastläses instrumentet elastiskt vid
stativet på sätt som redan finnes anfördt vid teodoliten.
Föröfrigt erinras, att vid inställning med tre vertikala skrufvar
vattenpasset först bringas att spela in, då det står parallelt
med två fotskrufvar, och sedan, då det står öfver den tredje.
Som det är omöjligt att åstadkomma en tapp och en
deremot svarande hylsa så beskaffade, att en felfri rörelse
erhålles, så lyckas man ej vid fina, med känsliga vattenpass
försedda instrument, att få blåsan hela tiden att spela in,
då tuben vrides rundt, en omständighet, som när noggranna
mätningar skola utföras, nödvändiggör en särskildt
inställning vid hvarje syftning. Härför lämpa sig ej
ställskrufvarne, dels i anseende till deras grofva gängning, dels
emedan de, endast när tuben står öfver någon af dem, verka i
kollimationsaxelns vertikalplan. Man finner derför på finare
instrument en fint gängad elevationsskruf, med hvilken man,
utan att ändra tappläget, alltid kan i hvarje syftriktning
bringa blåsan att skarpt spela in, d. v. s. inställa
kollimationsaxeln. En dylik skruf kan med fördel anbringas på
instrument, afsedda för rent praktiska ändamål. Vid de
afvägningsinstrument (fig. 164, pl. 2), som äfven äro inrättade
för distans- och höjdmätning efter Stampfers idé, kan
mikrometerskrufven användas för speciel inställning.
Med afseende på förbindningssättet mellan vattenpasset
och tuben samt tuben och tappens tvärstycke, hafva vi i det
följande att beakta: instrument med fast tub och vid tuben
fästadt vattenpass samt instrument, som hafva vridbar och
omläggbar tub med löst vattenpass.
Afvägningsinstrument med fast tub.
118. Fig. 115 och 164 visa dylika instrument sådane
de tillverkas af herr Berg i Stockholm. Tuben,
fastskrufvad vid de från tvärstycket a uppstående stöttorna, består
af sammansatt objektiv och sammansatt okular. På äldre
instrument finner man Huyghens", på nyare Ramsdens
okular. Ofvanpå tuben och på samma stöttor som denna är
vattenpasset fästadt. Genom att den ena stöttan vid d är något
afrundad, möjliggöres den obetydliga vridning, som vid
vattenpassets justering medelst skrufven c (motverkad af en
underliggande spiralfjeder) kan komma i fråga.
Ifrågavarande instrument hafva vanligen blott två i vertikal riktning
verkande skrufvar j för hårkorsets justering (höjning eller
sänkning). För öfriga detaljer hänvisas till hvad i första kap.
blifvit sagt om vattenpasset och tuben.
119. Pröfning och justering. Vid afvägningsinstrumentet
med fast tub, har man i främsta rummet att undersöka
om vattenpassets axel bildar rät vinkel med tappen, samt om
kollimationsaxeln och vattenpassets axel äro parallela.
För att justera instrumentet med hänsyn till dessa vilkor,
kan man, allt efter som instrumentets konstruktion
föreskrifver, gå till väga på två sätt:
Konstruktionen I: Man bringar först vattenpassets axel
att bilda rät vinkel med tappen och sedan kollimationsaxeln till
parallelism med vattenpasset.
Denna gång af operationerna användes vanligen i Sverige
och måste användas, när instrumentet ej är försedt med
elevationsskruf eller motsvarande jtisterinrättning, som, utan
att rubba kollimationsaxelns och vattenpassets inbördes lägen
i förhållande till hvarandra, medgifver ändring af deras lägen
i förhållande till tappen.
I öfverensstämmelse med hvad i 9 blifvit närmare utredt,
pröfvas och justeras vattenpassets läge i förhållande till
tappen sålunda: Sedan instrumentet på förut anfördt sätt med
tillhjelp af fotskrufvarne fått en förberedande uppställning i
två mot hvarandra vinkelräta riktningar, bringas blåsan att
skarpt spela in i en af dessa riktningar, vrides tuben 180°
och bortskaffas halfva utslaget med vattenpassets justerskruf.
Bringas sedan blåsan med fotskrufvarne att ånyo spela in i
de båda riktningarne, så står tappen lodrätt, om operationen
blifvit rätt verkstäld. Förfarandet får imellertid vanligen
upprepas en eller flera gånger, i anseende till svårigheten
att efter ögonmått skarpt halfvera större utslag.
För att bringa kollimationsaxeln till parallelism med
vattenpasset, ställer man den genom konstgrepp horisontelt,
när vattenpassets blåsa spelar in. Detta kan ske enligt något
af nedan angifne sätt:
Fig. 117
α) Om man (fig. 117) har tillgång till en lugn
vattenyta af 50 à 150 stegs utsträckning, låter problemet lättast
lösa sig. Man uppställer då en afvägningsstång i vattenytan:
först så nära instrumentet (ungefär 4 à 5 stegs afstånd) som
tydlig afläsning medgifver, låt vara i a, och sedan på 50 à
150 stegs afstånd, låt vara i b. Är afläsningen densamma
i b som i a och har blåsan vid båda syftningarne skarpt spelat
in, så är kollimationsaxeln påtagligen horisontel och således
äfven parallel med vattenpassets axel; hvarom icke måste
dess läge oberoende af vattenpasset på nedan anfördt sätt
ändras, tills samma afläsning erhålles i b som förut i a. Det
är imellertid påtagligt, att man genom en sådan ändring af
kollimationsaxelns läge ej får den fullt horisontel; ty i och
med denna ändring blir afläsningen i a ej densamma (2) som
den var förut. Kollimationsaxeln får efter operationen
tydligen det streckade läget. Som likväl afståndet från
instrumentet till a är litet vid jemförelse med afståndet till b
(i a∕i b vanligen 1∕20 à 1∕30), så behöfver man, när felutslaget 1 — h
ej öfverstiger 20 à 25 m.m. (7 à 8 lin.), i allmänhet ej fästa
sig härvid; ty felet 2 — h efter justeringen kommer då att
understiga 1 m.m. För större felutslag upprepas deremot
förfarandet en gång till.
Då kollimationsaxeln lämpas efter vattenpasset, sker
ändring i dess läge genom hårkorsets höjning eller
sänkning. Alldenstund objektivets optiska medelpunkt och
hårkorset bestämma kollimationsaxeln, så måste, allt efter som
kollimationsaxeln pekar uppåt eller nedåt, hårkorset höjas eller sänkas.
Härvid är att bemärka, att på en del instrument finnas
skjutande, på en del dragande justerskrufvar. I förra fallet skulle
man för att justera kollimationsaxeln, när den såsom i fig. 117
pekar uppåt, först skrufva undan den öfre och sedan skjuta
hårkorset efter med den undre skrufven; i senare fallet
lösskrufva den undre skrufven och sedan med den öfre draga
hårkorset uppåt. I hvilketdera fallet som helst har man att
noga tillse, det skrufvarne vid operationens afslutning läsa
mot hvarandra, så att ej glapprum må förefinnas.
Operationen bör ega rum med varsam hand under aktgivande på
att blåsan skarpt spelar in.
Finnes ej vattenyta att tillgå, så kan man anlita något
af följande sätt:
Fig. 118.
β) Man uppställer (fig. 118) instrumentet i något så när
plan terräng, utsätter åt ömse sidor i linie och på samma
afstånd — 60 à 70 steg — två pålar p och p͵ och afläser
med i båda fallen inspelande vattenpass å den på dessa pålar
uppstälda afvägningsstången. Om kollimationsaxeln ej är
parallel med vattenpassets axel, så blir i alla fall syftfelet f
lika stort i p och p͵; ty vinkeln v mellan kollimationsaxeln
och horisonten (vattenpassets axel) är, förutsatt att blåsan
spelar in, tydligen densamme vid båda syftningarne och
instrumentets afstånd till p och p͵ äro lika stora. Man får
således den sanna höjdskilnaden mellan p och p͵ af
skilnaden a — a͵ mellan de båda afläsningarne, ehuru
kollimationsaxeln ej varit horisontel. Instrumentet uppställes nu öfver
en af pålarne, låt vara p, så att, när tuben är riktad åt p͵,
okularet kommer lodrätt öfver pålen. Instrumenthöjden i,
eller afståndet mellan pålen och okularets midt, mätes sedan
horisontering egt rum direkt med afvägningsstången. Vi
hafva nu tillräckligt med bekanta storheter för att kunna
bestämma den afläsning x, som ett felfritt instrument skall
lemna, om stången uppställes i p͵.
Är instrumentet felfritt, så bör påtagligen i − x äfven
angifva den rätta höjdskilnaden mellan p och p͵, och i
motsatt fall kollimationsaxelns ändras tills i − x = a − a͵ eller
tills x = i − (a − a͵). Härvid är att bemärka det
höjdskilnaden a − a͵ blir negativ när a͵ > a. Man kan derför
uppställa följande regel: När a > a͵ (stationspunkten lägst) har
man att subtrahera a − a͵ från, när a < a͵ (stationspunkten
högst) att addera a − a͵ till instrumenthöjden i för att få det
tal x, som skall från p afläsas i p͵ när kollimationsaxeln är
horisontel.
Exempel:
a = 5,25 i = 4,22
a͵ = 3,75 a − a͵ = 1,50
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
a − a͵ = 1,50 x = 2,72
För justeroperationens utförande genom hårkorsets
höjning eller sänkning hänvisas till hvad i föregående fall
blifvit sagdt.
I stället för att loda instrumentet öfver p kan man med
någon tidsbesparing ställa det utanför, men så nära p, som
tydlig afläsning medgifver (ungef. 5 steg) samt bestämma i
genom afläsning. Justeringen blir då ej fullt exakt; det
inträder samma förhållande som i föregående fall α), men om
instrumentet ej är synnerligen felaktigt, kan man utan fara
använda detta sätt.
γ) Man nedslår (fig. 119) likasom i föregående fall två
pålar p och p͵ på 100 à 150 stegs afstånd från hvarandra, och
uppställer instrumentet först öfver den ena och sedan öfver
den andra pålen, och så, att i båda fallen okularet kommer
lodrätt öfver pålen. Vid hvardera stationen mätes direkt med
stången afståndet mellan pålen och okularets midt, låt vara
i för p och i͵ för p͵, och afläses å den på andra pålen
uppstälda stången, låt vara a på p͵ och a͵ på p. Äfven i detta
fall blir syftfelet f detsamma vid båda syftningarne; ty
afstånden mellan instrumentet och stången äro lika stora och
vinkeln v blir, förutsatt att blåsan spelar in, densamme vid båda
syftningarne. Kände man f, så hade man tydligen att öka
eller minska afläsningen på stången med f. Storleken af f
fås imellertid ur följande eqvation, som lätt erhålles, om man
föreställer sig de respektive punkterna på stången i p
projicerade på stången i p͵:
hvaraf
Fig. 119.
Häraf framgår att felet f är lika med skilnaden mellan
aritmetiska mediet af instrumenthöjderna och aritmetiska
mediet af afläsningarne. Är denna skilnad noll, så är
instrumentet uti ifrågavarande afseende felfritt. Man kan alltså
uppställa följande regel: När (i + i͵)∕2 > (a + a͵)∕2 (afläsningarne för små) addera f till, när (i + i͵)∕2 < (a + a͵)∕2 (afläsningarne för stora)
subtrahera f från den sista afläsningen för att få det tal x, som
bör från sista stationen afläsas.
Exempel:
1:sta station i = 4,56 a = 3,21
2:dra » i͵ = 4,32 a͵ = 5,54
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
(i + i͵)∕2 = 4,44 (a + a͵)∕2 = 4,375,
hvaraf
Alltså bör i 2:dra stationen afläsas 5,54 + 0,065 = 5,605.
För justeringsoperationens utförande hänvisas till hvad
under α) blifvit sagdt.
Konstruktionen II: Man inställer kollimationsaxeln
horisontelt, bringar vattenpasset med dess justerskruf att spela in och
gifver slutligen kollimationsaxeln och vattenpasset ett mot tappen
vinkelrätt läge.
Denna ordningsföljd af operationerna måste användas,
då kollimationsaxeln är orubbligt fästad i tuben (saknar
justerskrufvar för hårkorset), men tuben jemte vattenpasset
kan genom elevationsskruf eller en motsvarande
justerinrättning vid en af tubstöttorna vridas i förhållande till tappen.
Efter en förberedande uppställning af instrumentet,
horisonterar man, under användning af något af de tre i det
föregående anförde sätten α), β) eller γ), kollimationsaxeln,
hvarvid i stället för hårkorsets justerskrufvar en af
ställskrufvarne eller elevationsskrufven begagnas för att inställa
tuben på det genom föregående operationer bestämda, mot
horisontelt läge svarande afläsningstalet; bringar sedan, utan
att rubba tuben, vattenpasset med tillhjelp af dess
justerskruf att spela in. Vattenpassets axel är då parallel med
kollimationsaxeln.
För att slutligen med bibehållande af föregående justering
få kollimationsaxeln att bilda rät vinkel med tappens medellinie,
bringar man med en af ställskrufvarne vattenpasset att spela
in, vrider tuben 180° och bortskaffar halfva felutslaget med
elevationsskrufven eller med en motsvarande
justerinrättning, som med bibehållande af kollimationsaxelns och
vattenpassets parallelism ändrar deras läge i förhållande till tappen.
Den sista operationen får som bekant vanligen upprepas. —
Om instrumentet är försedt med elevationsskruf, så har man
vanligen genom indexstreck fixerat det läge af skrufven, vid
hvilket kollimationsaxeln bildar rät vinkel med tappen.
Afvägningsinstrument med vridbar tub.
120. Fig. 120 visar ett sådant instrument, som
derjemte är afsedt för finare afvägningar. Tuben, som är
försedd med två ytterst noggrannt svarfvade ringar af exakt
samma diameter, hvilar genom dem på de gaffelformade
stöttorna c och d. Tuben kan såväl vridas kring sin
geometriska axel som ändvändas.
Vattenpasset kan dels, såsom i figuren, vara ett löst
och omställbart på tubringarne hvilande ryttarvattenpass (det
vanligaste), dels vara fästadt vid tuben, dels vara fast
förbundet med tappen förmedelst dess tvärstycke. För att
förhindra lokal uppvärmning af vattenpasset, är vid
ifrågavarande instrument röret inneslutet uti en med glasskifva täckt
trädosa, och för att man må kunna samtidigt med observationen
i tuben förvissa sig att blåsan spelar in, finnes en
ställbar spegel a b, som för ett i närheten af okularet befintligt
öga visar blåsans läge. Instrumentet horisonteras generelt
med de tre nötformigt i stativplattan försänkta och befästade
skrufvarne s, och partielt, när man så vill, genom elevationsskrufven
H. För öfriga detaljer hänvisas till hvad i 8 blifvit
sagdt om ryttarvattenpasset och i 28 om den vridbara tuben.
Fig. 120.
121. Pröfning och justering. Vid ifrågavarande
instrument har man i främsta rummet att undersöka:
1) om kollimationsaxeln är centrerad, d. v. s.
sammanfaller med ringarnes geometriska axel;
2) om vattenpassets axel är parallel med kollimationsaxeln;
3) om kollimationsaxeln bildar rät vinkel med tappens
medellinie samt
4) om tubringarne hafva samma diameter.
hänvisas till 28 för pröfning och justering i detta hänseende.
kollimationsaxeln har man
i händelse af ryttarvattenpass på tuben, att bringa blåsan
till inspelning med en af ställskrufvarne, att omställa
vattenpasset och att borttaga halfva utslaget med vattenpassets
justerskruf. Vattenpassets axel blir då parallel med de
ringarnes generatricer, som fötterna beröra, således med ringarnes
geometriska axel, d. v. s. med den centrerade
kollimationsaxeln. Ett fel i denna justering oskadliggöres, om man, efter
att hafva omstält och ånyo bringat vattenpasset att spela in,
upprepar syftningen och tager mediet mellan afläsningarne;
i händelse af vid tuben fästadt vattenpass, att bringa blåsan
till inspelning med en af ställskrufvarne, att ändvända tuben
och borttaga halfva utslaget med vattenpassets justerskruf.
Vattenpassets axel blir då parallel med de tubringarnes
generatricer, som tubstöttorna beröra, således äfven med den
centrerade kollimationsaxeln;
i händelse af med tappen fast förbundet vattenpass, att på
vanligt sätt ställa vattenpasset vinkelrätt mot tappen och
att sedan bringa den centrerade kollimationsaxeln till
parallelism med vattenpassets axel genom någon justerinrättning
vid en af stöttorna, hvarigenom tubens läge oberoende af
vattenpassets kan ändras i förhållande till tappen. Det sista
problemet kan verkställas enligt något af de under fallet 1)
för afvägningsinstrument med fix tub anförda sätt, hvarvid
må betonas, att nyss omtalade justerinrättning skall
användas i stället för hårkorsets skrufvar.
3) För att, i händelse af vid tuben fästadt eller på
tuben hvilande omställbart vattenpass, få kollimationsaxeln att
bilda rät vinkel med tappens medellinie bringar man med
en motsvarande justerinrättning, som med bibehållande af
kollimationsaxelns och vattenpassets parallelism ändrar deras
läge i förhållande till tappen. Operationen får i de flesta
fall upprepas;
4) I det föregående har blifvit förutsatt, att de båda
tubringarne hafva samma diameter. Det är imellertid
omöjligt för instrumentmakaren att gifva dem exakt samma
diameter; och en följd häraf är vid instrument med på tuben
fästadt eller på den omställbart vattenpass, att de nyss
afhandlade sätten att bringa vattenpassets axel till parallelism
med den förut centrerade kollimationsaxeln ej alltid leda till
målet. Vi vilja i det följande undersöka i hvad mån ett fel
i detta hänseende inverkar menligt samt huru man genom
lämpligt mätningssätt kan häfva dess inflytande.
Fig. 121.
Om i fig. 121 ringarnes radier betecknas med r och r͵
och såväl stöttornas som vattenpassets gaffelvinklar antagas
vara 90°, så angifves i den större ringens plan den
liniära afvikelsen mellan kollimationsaxeln c c͵ och en från c͵
med vattenpassets axel parallelt dragen linie af b c — b͵ c͵ =
= (2r²)0,5 − (2r͵²)0,5 = (r − r͵) 20,5. Betecknas afståndet c c͵
mellan ringarnes centra med d, och afvägningsstångens afstånd
från instrumentet med A, så kan felet x, eller afvikelsen på
stången mellan kollimationsaxeln och en från c͵ dragen
horisontel linie, erhållas ur analogien
d∕((r − r͵) 20,5) = A∕x,
hvaraf
x = [(1,4 A)∕d)] (r − r͵)
För A = 200 meter, d = 200 m.m. och r − r͵ = 0,02 m.m.
är x = 28 m.m. Man ser häraf, att äfven en så obetydlig
radieskilnad som 0,02 m.m. föranleder ett så stort syftfel,
att det i allmänhet ej kan tolereras vid ett
afvägningsinstrument.
I händelse af instrument med vid tappen fast förbundet
vattenpass och härför anfördt justersätt, bibehålles
parallelismen mellan kollimationsaxeln och vattenpassets axel, när
tuben har det läge, vid hvilket justeringen egt rum.
Ändvändes tuben, erhålles för den på afståndet A uppstälda
stången ett fel y, som af lätt insedd orsak är
För att förvissa sig i hvad mån ett väl justeradt
instrument är behäftadt med ifrågavarande fel kan man
enligt något af de tre i 119 under α), β) och γ) anförda sätten
pröfva om kollimationsaxeln och vattenpasset äro parallela.
Vid instrument med på tapptvärstycket fästadt vattenpass
eger denna pröfning naturligtvis rum i annat läge än det,
vid hvilket justeringen egt rum. Vid tub med omställbart
vattenpass kan pröfningen imellertid lättare utföras genom
att man, sedan vattenpasset bragts att spela in, omlägger
tuben jemte vattenpasset. Om (fig. 121), till följd af olika
ringdiametrar, en felvinkel φ mellan den centrerade
kollimationsaxeln och vattenpasset är för handen (tydligen
är tang φ = (r − r͵) 20,5∕d eller, emedan φ är mycket liten,
φ = 206265 · (r − r͵) 20,5∕d sek.), så erhålles, om a b afsättes
uppåt från a͵ och a͵ b͵ afsättes uppåt från a, riktningen af
vattenpassets axel efter tubens ändvändning. Af figuren
framgår att denna riktning bildar 4 φ med horisonten;
vattenpassets utslag efter tubens ändvändning svarar således
mot 4 φ, d. v. s. visar felet fyra gånger förstoradt.
Kollimationsaxeln pekar nedåt med 3 φ mot horisonten, efter att
förut hafva pekat uppåt med φ. Har man derför vid tubens
båda lägen syftat på en å visst afstånd från instrumentet
uppstäld afvägningsstång (tuben har efter
ändvändningen
måst för inställning i 2:dra läget på stången vridas 180° kring
tappen, som förutsättes stå lodrätt), så angifver skilnaden
mellan de båda afläsningarne det liniära felet för detta
afstånd fyra gånger förstoradt.
Ifrågavarande fel kan ej afhjelpas. Visserligen låter
det sig göra att för ett tubläge bringa vattenpasset till
parallelism med den centrerade kollimationsaxeln — i hvilket fall
vattenpasset ej får omställas — eller att med upphäfvande
af kollimationsaxelns centrering bringa denna axel till
parallelism med vattenpasset, i hvilket fall tuben ej får omvridas.
I båda fallen utesluter man de fördelar, som karakterisera
den vridbara tuben. Bättre är att, sedan vinkeln φ blifvit
på nyss anfördt sätt funnen, söka reda på det blåsans utslag,
som svarar mot φ och att vid hvarje syftning inställa blåsan
för detta utslag; eller att beräkna felet och härmed korrigera
afläsningen. I allmänhet är detta fel endast beaktansvärdt
vid precisionsnivellering för vetenskapliga ändamål.
Den vridbara tubens fördelar ligger uti den lätthet,
hvarmed man kan under mätningen pröfva kollimationsaxelns
parallelism med vattenpasset: Man vrider tuben, under det
man syftar på stången, och upptäcker genast om tuben är
centrerad; man omställer vattenpasset, och finner genast om
dess axel är parallel med tubens axel. I anseende till
ömtålighet lämpar sig dock ej afvägningsinstrument med
vridbar tub för praktiska mätningar.
Afvägningsinstrumentets användning.
122. Vill man med afvägningsinstrumentet endast
bestämma höjdskilnaden mellan två punkter, hvarandra så
närbelägna, att de från samma station kunna observeras, så har
man blott att med uppstäldt instrument syfta på den i båda
punkterna uppstälda stången och att taga skilnaden mellan
afläsningarne. På så sätt kunna samtlige från en station
afvägda punkter hänföras till en enda punkt. Är det
deremot fråga om — och detta är vanligen händelsen — att
äfven bestämma höjdskilnader mellan punkter, som ej kunna
från samma station afvägas, så måste instrumentet uppställas
i flera stationer, och instrumenthöjden (syftplanets höjd öfver
utgångspunkten) för hvarje station bestämmas. Är detta
gjordt, så erhålles påtagligen de från stationen afvägda
punkternas höjder relativt till utgångspunkten, om motsvarande
afläsningar subtraheras från instrumenthöjden. Vi vilja i
det följande närmare belysa huru man i så fall begagnar
instrumentet och på samma gång visa huru protokollet öfver
mätningen lämpligen bör föras.
Fig. 122.
Om (fig. 122) 0 är utgångspunkten för en afvägning,
och å den der uppställda stången från stationen s afläses
6,57, så är påtagligen instrumenthöjden lika med höjden på
0 ökad med 6,57. Hvarje sådan syftning på förut känd
punkt i och för bestämning af instrumenthöjden brukar man,
oberoende af den riktning hvari den eger rum, benämna
bakåtsyftning. Efter att i nedanstående protokoll hafva i
bakåtkolumnen skrifvit upp bakåtafläsningen 6,57 och i följande
kolumn instrumenthöjden — lika med 106,57 om 0 antages
ligga 100 — afvägas så många punkter, som från stationen
kunna synas, låt vara punkterna 1, 2 och 3. Hvarje
syftning på en punkt, hvilkens höjd sökes, brukar man,
oberoende af riktningen, benämna framåtsyftning, och motsvarande
afläsning — i detta fall för 1, 2 och 3: 5,50, 4,25 och 1,80
— uppskrifves i framåtkolumnen och på samma rad som
punktens nummer. Subtraheras framåtafläsningarne från
instrumenthöjden, så erhållas punkternas höjder (datumhöjder)
öfver utgångspunkten 0. Dessa tal uppskrifvas i
datumkolumnen. Flyttas instrumentet till s͵, sedan alla punkter,
som kunna ses i s, blifvit afvägda, så måste i och för
bestämning af instrumenthöjden derstädes bakåtafläsning ega
rum på en från föregående station bestämd punkt, t. ex. 3.
Afläses å denna punkt 11,20, så fås instrumenthöjden i s͵
om 11,20 adderas till punktens 3 datumhöjd, och blir således
104,77 + 11,20 = 115,97. Sistnämnde tal uppskrifves uti
instrumenthöjdens kolumn och på samma rad som
datumhöjden för punkten 3. Alla sådane punkter, på hvilka
bakåtsyftning eger rum och för hvilka alla kolumnerna blifva
fulla, må benämnas flyttpunkter. På samma sätt som vid
föregående station afvägas och protokollföras punkterna 4,
5, 6, o. s. v., och deras datumhöjder erhållas, om
afläsningarne subtraheras från den sist bestämda instrumenthöjden.
Huru man på detta sätt och genom på hvarandra följande
stationeringar kan fortsätta afvägningen huru långt som helst,
torde väl ej tarfva vidare förklaring.
Protokoll öfver afvägning mellan Mälaren och Brunnsviken.
⌈⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⌉
| No | Bakåts. | Instrh. | Framåts. | Datumh. | Anmärkningar. |
|————|—————————|—————————|——————————|—————————|———————————————————|
| 0 | 6,57 | 106,57 | — | 100 | ⨀ i Mälarens v.y. |
| 1 | — | — | 5,50 | 101,07 | |
| 2 | — | — | 4,25 | 102,32 | |
| 3 | 11,20 | 115,97 | 1,80 | 104,77 | |
| 4 | — | — | 8,30 | 107,67 | |
| 5 | — | — | 6,50 | 109,47 | |
| 6 | — | — | 5,81 | 110,16 | |
| ⨀ | — | — | 2,00 | 113,97 | 20 steg t. h. |
Vore det blott fråga om att bestämma höjdskilnaden
mellan de båda ändpunkterna — i förevarande fall mellan
0 och 6 — så behöfde blott flyttpunkterna (3), men ej
mellanpunkterna (1, 2, 4 och 5) afvägas, och ej heller
behöfde instrumenthöjdernä sökas. Det är nämligen lätt att visa,
det den sökta höjdskilnaden erhålles, om summan af alla
bakåtsyftningar minskas med summan af alla
framåtsyftningar, och att slutpunkten ligger högre eller lägre än
begynnelsepunkten, allt efter som skilnaden är positiv eller negativ.
Vi finna nämligen i fig. 125 att höjdskilnaden mellan 0 och 3
är 6,57 − 1,80, att den mellan 3 och 6 är 11,20 − 5,81 och
att höjdskilnaden mellan 0 och 6 således är 6,57 + 11,20
− (1,80 + 5,81) = 10,16 — hvilket ock öfverensstämmer med
föregående protokoll — samt att, om detta
resonnemang fortsättes, ofvannämnde sats skall visa sig allmängiltig. På
detta sätt kan man snabbast kontrollera huruvida protokollet
öfver en profilafvägning är rätt uträknadt.
Sedan vi nu angifvit principen för afvägning, återstår
att framhålla hvad som bör från praktisk synpunkt beaktas.
Hvad först och främst valet af stationspunkt beträffar,
så är man visserligen beroende af terrängförhållanden och
instrumentets syftvidd; dock bör man, synnerligen om
noggrannt resultat åstundas, sträfva efter att få stationerna midt
imellan flyttpunkterna (s midt imellan 0 och 3); ty i
öfverensstämmelse med hvad i 119—β) är sagdt, elimineras
härigenom för dessa punkter det fel, som uppkommer af att
kollimationsaxeln ej är parallel med vattenpassets axel; felet
blir nämligen detsamma för framåt- och bakåtsyftningen och
försvinner alltså, när skilnaden tages. Att man egnar
flyttpunkterna en särskild uppmärksamhet i detta hänseende,
likasom ock vid tubens inställning och vid afläsningen, härleder
sig af, att instrumenthöjderna genom dessa punkter
bestämmas och att ett fel vid en flyttpunkt fortplantar sig genom
hela den följande delen af mätningen.
I starkt stigande eller fallande terräng bör man, för att
undvika onödig stationering, välja stationerna så att
höjdskilnaden mellan flyttpunkterna blir den största möjliga, d. v. s.
så att man kan syfta för den högre liggande punkten i
närheten af stångens hvilande och för den lägre liggande
punkten i närheten af stångens toppände. Understundom inträffa
fall, då det kan vara förmånligt att vid en stake upphöja
afvägningsstången. Afståndet mellan stångens och stakens
hviländar måste i så fall adderas till afläsningen. I
samband härmed må påpekas fördelen af att i kuperad terräng
hafva långa afvägningsstänger.
Vid instrumentets uppställning nedköras benen i
marken tills erforderlig stadga vunnits. Första gången tuben
står öfver ställskrufvarne, ödar man blott tid med att bringa
blåsan att skarpt spela in; först efter en förberedande
uppställning eftersträfvas detta. Vid afvägning för rent
praktiska ändamål är elevationsskruf, ehuru förmånlig, ej
nödvändig. Vid noggrann afvägning med instrument, som hafva
känsliga vattenpass, får man deremot vid hvarje syftning
med sådan skruf skarpt inställa vattenpasset.
Vid tubens inställning på stången tillser man, det ej
parallax eger rum. Detta sker enligt 20 genom
okulartubens in- eller utskrufning tills hårkorset synes ligga stilla
på stången, då ögat höjes eller sänkes framför okularet.
Stången skall, åtminstone vid alla flyttpunkter,
uppställas på orubbliga underlag, såsom bergknaltar, jordstenar etc.
Vid noggranna afvägningar medföres vanligen en jernsko,
hvarå stången uppställes, då fast underlag saknas; och brukar
man dessutom för kontrolls skull ofta använda två bredvid
hvarandra liggande flyttpunkter, hvarvid särskildt protokoll
föres för hvardera. Föröfrigt måste stångföraren tillse det
stångänden är ren samt hålla stången lodrätt. För att i
sistnämnde afseende kontrollera honom i syftplanets riktning,
ombedes han att svaja fram och tillbaka med stången. Den
minsta afläsningen svarar påtagligen mot stångens lodräta
ställning och bör derför protokollföras.
Vid de i nyare tider, oftast i samband med den
europeiska gradmätningen föranstaltade, med stor omsorg utförda
precisionsnivelleringarne äro äfven särskilda omständigheter att
beakta, hvilka må kortfattadt framhållas. De härvid använda
instrumenten äro vanligen instrument med vridbar tub och
omställbart vattenpass på tuben. För erforderlig skärpa i
afläsningen tages afståndet mellan instrumentet och
flyttpunkterna på ömse sidor ej gerna större än 100 à 120 steg, och
för att befintlig afvikelse i parallelism mellan
kollimationsaxeln och vattenpassets axel må blifva oskadlig, böra
afstånden vid bakåt- och framåtsyftningen vara lika stora och i
nödfall ej skilja sig med mer än 10 steg.
I Schweiz afläses, sedan blåsan lugnat sig, vid dess
båda ändar (10) både före och efter syftningen, och det mot
blåsans utslag svarande felet föres med i räkning.
Afläsning sker vid tre hårkors (först vid det undre) och
bråkdelar af centimeter uppskattas vid hvarje hårkors.
Sedermera tages mediet af de tre afläsningarne. En gång om
dagen undersökes parallelismen mellan kollimationsaxeln och
vattenpassets axel. Det lärer härvid hafva visat sig en
svajning af 3″.
I Sachsen göres två syftningar, den andra gången med
omstäldt och ånyo instäldt vattenpass, och mediet tages mellan
afläsningarne.
I Bayern, Würtemberg och äfven i Sverige hafva i och
för kontroll samt felutjemning såväl vid framåt- som
bakåtsyftning två flyttpunkter användts, hvarvid särskildt protokoll,
förts för hvardera. I medeltal medhinnes vid
precisionsnivellering 2,5 à 3 kilometer (ungef. 8,000 à 10,000 fot) om dagen..
123. Noggrannheten vid en nivellering, utförd med
tubinstrument, beror i väsendtlig mån på känsligheten hos
vattenpasset
sålunda: Man uppställer stången på ett uppmätt afstånd a och afläser
såväl på den som vid blåsan; ändrar sedan genom fotskrufven — eller
bättre elevationsskrufven — blåsans utslag med n skaldelar och afläser
ånyo på stången. Om afläsningsskilnaden betecknas med e och vinkeln,
som motsvarar en rörskaldel med α, så är n a · α = e eller
samt på tubens förstoring och skärpa.
Känsligheten hos vattenpasset och tubens förstoring böra stå i ett
visst förhållande till hvarandra. Vid afvägningsinstrument
för praktiska ändamål lämpar sig 10 à 20-faldig förstoring
och hos vattenpasset en känslighet af 15 à 60 sekunder
på en pariserlinie; vid instrument för precisionsafvägning
25 à 40-faldig förstoring samt 2—5 sekunder på en
pariserlinie.
I de geodetiska läroböckerna antages i allmänhet att
felet vid hvarje afläsning är proportionel mot stångens
afstånd a från instrumentet, eller att f = k a. Totalfelet vid
en linieafvägning sammansätter sig af felen vid samtlige
afläsningarne på flyttpunkterna. Om L är den afvägda liniens
längd, skulle, under förutsättning att ofvannämnde antagande
är riktigt, enligt sannolikhetskalkylen, totalfelet F erhållas ur
Vid precisionsafvägningar i olika länder har felet på en
kilometer vid lämplig terräng (utefter jernbanor) varierat
mellan 1 à 3 m.m. (i Schweiz 0,66 m.m.); vid svårare terräng
mellan 3 à 7 m.m. Vid för praktiska ändamål utförda
afvägningar är felet i allmänhet, allt efter terrängens
beskaffenhet och utförandets noggrannhet, 5 à 10 m.m. på en
kilometer (15 à 20 linier på en sv. mil).
Afvägningsspegeln.
124. I Frankrike har Burel och i Sverige general
Wrede användt en i vertikalplanet hängande spegel för att
åstadkomma en horisontel syftlinie. I öfverensstämmelse
med hvad i inledningen
om afvägnings-instrumenten blifvit sagdt,
bestämmes syftlinien af
ögats pupill och
pupillens spegelbild.
Fig. 123.
General Wredes
afvägningsspegel består
(fig. 123 och 124) af
en på två fina koniska
spetsar s i en trälåda
upphängd pendel, som öfver
upphängningsaxeln uppbär en liten plan spegel a. Förmedelst
justerskrufvarne j kan pendelvigten förskjutas, tills den
reflekterande ytan står vertikalt, då pendeln är i jemnvigt. För
att syftlinien må blifva skarpare fixerad, finnes på nyare
instrument en rörlig 135 m.m. (45 lin.) lång arm l, som
uppbär en med en fin horisontel spricka t försedd papperslapp.
Om armen vrides tills man genom sprickan ser sprickans
spegelbild t͵, så äro alla föremål, som träffas af syftlinien
t t͵,
d. v. s. som vid spegelkanten synas sammanfalla med
sprickans bild, i jemnhöjd med sprickan
På rätt många afvägningsspeglar finner man såväl ett ofolieradt
glas vid sidan af spegeln som ett skyddsglas framför den. Båda dessa
glas minska föremålets tydlighet och kunna saklöst undvaras.
. Vid instrumentets
transport fastläses pendeln genom en klämmare k.
Afvägningsspegeln hålles antingen med fri hand eller fastsatt vid
en stake. Det säger sig sjelf, att den endast är afsedd för
mindre noggranna mätningar.
125. Pröfning och justering. För att undersöka om
pendeln ställer spegelytan i vertikalplanet, uppställer man
instrumentet — fästbundet på en käpp — vid en lugn
vattenyta. Insyftas då samma märke, när en i vattenytan
uppstäld stång står på 20 à 25 stegs afstånd, som då den står
vid instrumentet, så är förevarande vilkor uppfyldt. Pekar
syftlinien för högt skrufvas med justerskrufvarne j vigten
framåt, i motsatt fall bakåt.
126. Afvägningsspegelns användning.
Afvägningsspegeln kan användas på samma sätt som
tubafvägningsinstrumentet. Som man imellertid i så fall endast på mycket
korta afstånd kan direkt afläsa på stången, bör denna
lämpligen vara försedd med skjutbara brickor. Vanligen
användes dock afvägningsspegeln, som företrädesvis lämpar sig
for kuperad terräng, vid rekognoseringsmätning eller
mindre noggrann tvärprofilering på något af följande sätt.
Man håller instrumentet på fri hand och fixerar i
händelse af stigande terräng det ställe der syftlinien skär
marken, flyttar sig till denna skärningspunkt, söker en ny
skärningspunkt och så undan för undan, hvarje gång höjande
sig med det en gång för alla uppmätta afståndet mellan ögat
fotsulan. I fallande terräng syftar man bakåt, d. v. s. söker
den stationspunkt, från hvilken syftlinien råkar den på samma
sätt bestämda föregående punkten, och sänker sig sålunda
för hvarje gång afståndet mellan ögat och fotsulan. Vill man
ernå ett skarpare resultat, så fästes instrumentet vid en
käpp, och afståndet mellan käppens hvilända och spegelns
midtpunkt mätes — detta afstånd torde lämpligen böra tagas
1,5 meter eller 5 fot — tillvägagår föröfrigt som i
föregående fall, dock med den skilnad, att punkterna skarpare
betecknas genom stickor. I så fall är en medhjelpare af
nöden. En stickas plats är funnen, när hviländen af en
stake, som medhjelparen drager efter sig, träffas af syftlinien.
Med en väl justerad afvägningsspegel kunna enligt
sistnämnde sätt, vid 15 à 30 stegs afstånd punkter afvägas rätt
på 30 à 60 m.m. (ungef. 10 à 20 lin.) när.
Barometrar.
127. Emedan barometern angifver atmosfertrycket,
och detta enligt bestämd lag aftager med höjden öfver
jordytan, så kan barometern användas för höjdbestämning. Som
bekant begagnas hufvudsakligen två slags barometrar:
qvicksilfverbarometrar och aneroidbarometrar. Då höjdmätning med
qvicksilfverbarometer, strängt taget, ej hör till området för
detta arbete, må hvad den beträffar hufvudsakligen
framhållas hvad som ar nödigt för att rätt förstå
aneroidbarometerns egenskaper och användning.
Qvicksilfverbarometern.
128. Af qvicksilfverbarometrarne hafva följande
hufvudsakligen begagnats för höjdmätning.
Fig. 125. Fig. 126. Fig. 127.
1) Fortins dosbarometer. Vid denna barometer (fig.
125, 126 och 127) utmynnar, som bekant, röret uti en sluten
qvicksilfverreservoar af glas,
hvars botten (fig. 125) utgöres
af en skinnpåse l (af
hundskinn), som genom en skruf s
kan höjas eller sänkas tills
qvicksilfverytan i reservoaren
berör en vid locket fästad fin
elfenbenspets. Denna spets
utgör skalans nollpunkt.
Qvicksilfverpelarens öfre ände kan
observeras genom en
diopter i tvenne diametralt
motsatta urtagningar hos det (fig.
127) glasröret omgifvande
messingsroret, och dess höjd
afläses vid den å metallröret
uppgraderade skalan förmedelst
en nonie, fästad vid en på
röret skjutbar hylsa u. Skall
denna barometer medföras på
resor, så upptryckes
qvicksilfret med bottenskrufven tills
det fyller både reservoaren
och röret, och barometern
inneslutes uti ett fodral, som,
längs efter klufvet i tre
delar, äfven kan tjena som stativ.
2) Gay-Lussac"s häfvertbarometer består (fig. 128), såsom häfvertbarometrar i
allmänhet, af ett böjdt glasrör, i hvars öppna, kortare del a
lufttrycket direkt verkar på qvicksilfverytan; men skiljer sig
från andra deruti, att de båda rören äro förenade genom ett
kapillärt rör och att det korta röret genom en fin öppning
vid sidan endast låter luften inträda, men ej
qvicksilfret utrinna, för den händelse barometern — såsom alltid
är fallet vid transport — ändvändes, d. v. s. får
ställningen II. En olägenhet vid denna likasom
vid alla barometrar är, att qvicksilfret småningom
absorberar luft. Bunsen har, för att motverka
detta, inrättadt Gay-Lussac"s barometer på sätt
fig. 129 visar. Kapillärröret är, som synes,
utvidgadt till ett kärl, uti hvilket dess öfre del är
instucket och lufttätt fästadt. Skulle vid
ändvändningen och under skakningen vid
transporten luft intränga i det nedre kapillärröret, så
stannar den i s och kommer ej till vacuumrummet.
Barometerhöjden, afståndet mellan de båda
qvicksilfverytornas tangentplan, mätes antingen
med en skala och två nonier — en vid hvardera
änden — eller ock genom afläsning med en nonie
vid öfre qvicksilfverytan, sedan skalans nollpunkt,
vare sig genom barometerrörets höjning eller
sänkning, eller genom qvicksilfrets upptryckning
i båda rören, förut blifvit bragt till beröring med
den nedre qvicksilfverytan. Alla
höjdmätningsbarometrar äro försedda med termometrar, som
pålitligt angifva qvicksilfrets och skalans temperatur.
Fig. 128.
129. Korrektion för observerade
barometerhöjder. För att man må få ett bestämdt mått
på lufttrycket, måste den aflästa barometerhöjden
med hänsyn till kapillärdepressionen korrigeras,
och till följd af förändringar i qvicksilfrets täthet
och mätskalans längd vid vexlande
temperaturförhållanden reduceras till temperaturen 0°.
Fig. 129.
Kapillärdepressionen. Adhesionen mellan
glaset och qvicksilfret föranleder att det senares
yta får konvex form (fig. 130), och att kupans
hjessa alltid står lägre i röret än den eljest plana
ytan skulle göra. Kuphöjden k och
kapillärdepressionen δ bero såväl på rördiametern som på
glasets samt qvicksilfrets renhet och beskaffenhet.
Bauernfeind har vid tre 4,7, 5,4 och 5,5 m.m.
vida häfvertbarometrar funnit kuphöjden i
medeltal vara
Kapillärdepressionen kan erhållas ur följande tabell såsom
funktion af rördiametern d och den observerade kuphöjden k.
+====+===========================================================+
|m.m.| Kuphöjd k i m.m. |
| |-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| d | 0,2 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 | 1,2 | 1,4 |
|----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----|
| | m.m.| m.m.| m.m.| m.m.| m.m.| | | | | |
| 3 | 1,10| 2,09| 2,51| 2,87| 3,17| | | | | |
| 4 | 0,60| 1,16| 1,41| 1,65| 1,86| 2,05| 2,21| 2,35| | |
| 5 | 0,37| 0,72| 0,89| 1,05| 1,20| 1,33| 1,45| 1,56| 1,74| |
| 6 | 0,24| 0,48| 0,59| 0,70| 0,80| 0,90| 0,98| 1,07| 1,21| 1,32|
| 7 | 0,17| 0,33| 0,41| 0,49| 0,56| 0,63| 0,70| 0,76| 0,87| 0,96|
Fig. 130.
Kapillärdepressionen måste adderas till barometerhöjden
vid dosbarometrar. Vid häfvertbarometrar korrigeras
barometerhöjden med skilnaden mellan
depressionen i undre och den i öfre röret.
Kuphöjden är vanligen mindre i det rör,
i hvilket qvicksilfret har fallit än i det,
i hvilken det har stigit. För att få
likhet finnes vid en del
häfvertbarometrar så anordnadt, att man genom
qvicksilfrets sammanpressning nedifrån kan
bringa det att stiga i båda rören. Hafva
de båda rören samma diameter, så kan
i så fall kapillärdepressionen ofta
försummas.
Barometerhöjdens reduktion till normaltemperaturen 0°.
Om man betecknar den vid qvicksilfverpelaren och skalans
temperatur t" aflästa, och med kapillärdepressionen
korrigerade barometerhöjden med B, den motsvarande till 0°
reducerade barometerhöjden med b, qvicksilfrets
utvidgningskoefficient (0,0001802) med α samt mätskalans
utvidgningskoefficient (0,000018 för messing, 0,000009 för glas) med α͵,
så är b (1 + α t") = B skaldelar vid temp. t" = B(1 + α͵t")
skaldelar vid 0°. Korrektionstalet δ͵, hvarmed B skall
reduceras för att b må erhållas, fås alltså ur
eller, om man i högra membrum utbyter b mot B — något
som i anseende till litenheten af α kan tillåtas —
Enligt denna formel blir
Emedan b = B − δ͵, så blir korrektionen tillskott eller afdrag allt efter som t" är negativ eller positiv. Af
nedanstående tabell med för messingsskala uträknade värden på δ͵,
framgår att δ͵ i allmänhet ökas med 0,1 m.m. för hvarje
temperaturgrad. Det är derför lätt att genom interpolering
bestämma δ͵ för ej utsatta värden på t".
+==========+================================================+
| | t" i C°. |
| B i m.m. +------+------+------+------+------+------+------+
| | 1 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|----------+------+------+------+------+------+------+------+
| 600 | 0,1 | 0,5 | 1,0 | 1,4 | 1,9 | 2,4 | 2,9 |
| 660 | 0,1 | 0,5 | 1,1 | 1,6 | 2,1 | 2,7 | 3,2 |
| 700 | 0,1 | 0,6 | 1,1 | 1,7 | 2,3 | 2,8 | 3,4 |
| 760 | 0,1 | 0,6 | 1,2 | 1,9 | 2,5 | 3,1 | 3,7 |
| 800 | 0,1 | 0,7 | 1,3 | 2,0 | 2,6 | 3,3 | 3,9 |
Ex.: B = 609,39 vid t" = 22,7; hvad är b? Enl. tab. är för B = 600
(man tager det närmast liggande tabelltalet) och t" = 20: δ͵ = 1,9, och
således för t" = 22,7: δ͵ = 1,9 + 0,1 · 2,7 = 2,17. Man får b = 609,39 − 2,17 = 607,22.
130. Barometerformelns härledning. Om luften i likhet
med vattnet ej lät komprimera sig, så skulle vid samma
temperatur förhållandet mellan de hvarandra i jemvigt
hållande qvicksilfverpelarne och luftpelarne vara konstant och
således höjdskilnaden mellan två orter vid konstant
temperatur erhållas, om skilnaden mellan motsvarande
qvicksilfverpelarhöjder multiplicerades med det konstanta relationstalet.
Luften låter imellertid sammantrycka sig, och på så sätt, att
vid oförändrad temperatur dess volym blir inverse proportionel
mot trycket, eller med andra ord: luftens täthet är vid
oförändrad temperatur proportionel med trycket.
Om en barometer höjes med ett oändligt litet element
dh, så faller qvicksilfverpelaren med ett oändligt litet
element d b. Betecknar δ luftens täthet vid dess för tillfället
rådande temperatur τ och under trycket af den till 0°
reducerade barometerhöjden b, c qvicksilfrets täthet vid 0°
(= 13,596), så är, om d b förutsättes reducerad till 0° (man
tänker sig de båda pelarne med samma bas) δ d h = −c d b.
Betecknas vidare luftens täthet vid 0° och barometerhöjden
0,76 meter med δ₀ (= 0,00129277 vid hafsytan och 45°
latitud), dess utvidgningskoefficient med a, så är
Insättes detta värde på δ i den föregående eqvationen
och uträknas den konstanta faktorn 0,76 ∙ c∕δ0 = 8011,57, så fås
och vid integrering mellan h͵, h͵͵ och b͵, b͵͵
Har vid de båda observationerna lufttemperaturen varit
olika, eller t͵ och t͵͵, så kan man med tillräcklig
noggrannhet sätta luftpelarens medeltemperatur τ = (t͵ + t͵͵)∕2
utvidgningskoefficient för medelfuktig luft a = 0,004 samt
H = h͵ − h͵͵, så fås den sökta skilnaden i meter ur
Ofvanstående formel gäller, strängt taget, endast vid
45° latitud och i närheten af hafsytan. Skall afseende fästas
vid tyngdkraftens aftagande med ökad latitud och med
ökad höjd öfver hafsytan, så tillkomma ytterligare två
faktorer, nämligen 1 + 0,0026 cos 2 ψ och 1 + (2 z + H)∕r, i
hvilka ψ är latitudvinkeln, z den lägsta stationens höjd
öfver hafvet samt r jordradien. Lemna vi den senare
faktorn, som endast vid höjder öfver 1000 meter får betydelse,
utan afseende, men multiplicera 18404,9 med den förra, så
erhålles för H i meter och för ψ = 60° konstanten 18 380
för Sverige och Norge. Åstundas H i svenska fot, så har
man, alldenstund i log(b͵͵∕b͵) det är likgiltigt med hvilken längdenhet barometerhöjderna äro uttryckta, att multiplicera
ofvannämnde konstant med reduktionstalet 3,3681 och att införa
de så erhållna värdena i höjdmätningsformeln. I medeltal
hafva vi alltså följande för i Skandinavien förekommande
höjder giltiga formler
praktiska ändamål alltför komplicerade höjdmätningsformel, hvilken fordrar
att luftens fuktighetshalt vid hvarje observation bestämmes, utan hänvisa
dem, hvilka önska en närmare redogörelse för denna formel till de sista
upplagorna af Bauernfeinds Vermessungskunde, eller till Rühlmans Die
barometrischen Höhenmessungen. Leipzig 1870.:
H = 18380(1 + 0,004(t͵ + t͵͵)∕2)(log b͵͵ − log b͵) meter
= 61960(1 + 0,004(t͵ + t͵͵)∕2)(log b͵͵ − log b͵) fot
Det må erinras att dessa formler gälla, oberoende af den
längdenhet hvarmed barometerhöjderna äro uttryckta, blott
de (se 130) äro korrigerade för kapillärdepressionen och
reducerade till 0°. Äfven må erinras, att t͵ och t͵͵ betyda luftens och ej qvicksilfverpelaren temperaturer och framhållas,
att luftens och qvicksilfverpelaren temperaturer vanligen
afvika något från hvarandra.
Barometer. Luft. Qvicksilfver.
-------------------------- --------- -------------
Undre station B͵͵ = 693,48 t͵͵ = 14,1 t″ = 15,6
Öfre » B͵ = 609,39 t͵ = 6,2 t′ = 7,1
---------------------------------
1 + 0,004 (t′ + t″) / 2 = 1,0406.
Förutsättas barometerhöjderna enligt tabell 4 korrigerade med hänsyn
till kapilärdepressionen, så bli enligt tabell 5 de till 0° reducerade
barometerhöjderna:
En tabell, innehållande förekommande värden på
18380 log b = n underlättar i väsendtlig mån beräkningen och gör
logaritmtabellen öfverflödig. Man behöfver för
lufttemperaturen 0° och vid barometerhöjderna b͵ och b͵͵ påtagligen blott
taga skilnaden mellan de motsvarande tabellvärdena n͵ och
n͵͵ för att få höjdskilnaden H₀; och för lufttemperaturerna t͵
och t͵͵ och samma barometerhöjder blott öka (då t͵ + t͵͵
öfverskjuter 0°) eller minska (då t͵ + t͵͵ understiger 0°) med
0,002 (t͵ + t͵͵) H
I nedanstående tabell har ej 18380 log b utan 18380 (log 762 − log b)
blifvit uträknadt för förekommande värden på b. Man får
härigenom äfven ett approximativt uttryck på stationens höjd
öfver hafsytan. Denna höjd erhålles naturligtvis riktigare i
samma mån som trycket vid hafsytan närmar sig
medeltrycket 762 m.m. Tabellen användes påtagligen på
likartadt sätt, vare sig att den innehåller 18380 log b eller
18380 log (762 − b). Föregående exempel uträknas med
tillhjelp af tabellen sålunda:
b͵ = 608,68, n͵ = 1802,9 − 13,1 · 0,68 = 1794,0 t͵ = 6,2
b͵͵ = 691,72, n͵͵ = 780,9 − 11,6 · 0,72 = 772,5 t͵ = 14,1
---------------------------
n͵ − n͵͵ = 1021,5 20,3
0,002 · 20,3 · 1021,5 = 41,4
---------------------
H = 1062,9 meter.
n införes negativt (se tab.) för b > 762; alltså n͵ − n͵͵ = 1794,04 + 62,6
om t. ex. n͵͵ varit 768 i stället för 691,72.
Barometerhöjdmätningstabell efter Randau.
+=====================================================================================+
|Bar.-| Höjd öfver ||Bar.-| Höjd öfver ||Bar.-| Höjd öfver ||Bar.-| Höjd öfver |
|höjd | hafsytan i ||höjd | hafsytan i ||höjd | hafsytan i ||höjd | hafsytan i |
|b i | meter. ||b i | meter. ||b i | meter. ||b i | meter. |
|m.m. | ||m.m. | ||m.m. | ||m.m. | |
|-----+--------------++-----+--------------++-----+--------------++-----+-------------+
| 591 | 2029·4 || 621 | 1633·9 || 651 | 1267·1 || 681 | 897·3 |
| | −13·5 || | −12·9 || | −12·3 || | −11·7 |
| 592 | 2015·9 || 622 | 1621·0 || 652 | 1244·8 || 682 | 885·3 |
| | −13·5 || | −12·8 || | −12·3 || | −11·7 |
| 593 | 2002·4 || 623 | 1608·2 || 653 | 1232·6 || 683 | 873·9 |
| | −13·4 || | −12·8 || | −12·2 || | −11·7 |
| 594 | 1989·0 || 624 | 1595·4 || 654 | 1220·4 || 684 | 862·2 |
| | −13·5 || | −12·8 || | −12·2 || | −11.7 |
| 595 | 1975·5 || 625 | 1582·6 || 655 | 1208·2 || 685 | 850·5 |
| | −13·4 || | −12·8 || | −12·2 || | −11·6 |
| | || | || | || | |
| 596 | 1962·1 || 626 | 1569·8 || 656 | 1196·0 || 686 | 838·9 |
| | −13·4 || | −12·7 || | −12·2 || | −11·6 |
| 597 | 1948·7 || 627 | 1557·1 || 657 | 1183·8 || 687 | 827·3 |
| | −13·3 || | −12·7 || | −12·1 || | −11·7 |
| 598 | 1935·4 || 628 | 1544·4 || 658 | 1171·7 || 688 | 815·6 |
| | −13·4 || | −12·7 || | −12·2 || | −11·6 |
| 599 | 1922·0 || 629 | 1631·7 || 659 | 1169·5 || 689 | 804·0 |
| | −13·3 || | −12·7 || | −12·1 || | −11·5 |
| 600 | 1908·7 || 630 | 1519·0 || 660 | 1147·4 || 690 | 792·5 |
| | −13·3 || | −12·7 || | −12·1 || | −11·6 |
| | || | || | || | |
| 601 | 1895·4 || 631 ! 1506·3 || 661 | 1135·3 || 691 | 780·9 |
| | −13·3 || | −12·6 || | −12·0 || | −11·6 |
| 602 | 1882·1 || 632 | 1493·7 || 662 | 1123·3 || 692 | 769·3 |
| | −13·3 || | −12·7 || | −12·0 || | −11·5 |
| 603 | 1868·8 || 633 | 1481·0 || 663 | 1111·3 || 693 | 757·8 |
| | −13·2 || | −12·6 || | −12·1 || | −11·5 |
| 604 | 1855·6 || 634 | 1468·4 || 664 | 1099·2 || 694 | 746·3 |
| | −13·2 || | −12·6 || | −12·0 || | −11·5 |
| 605 | 1842·4 || 635 | 1455·8 || 665 | 1087·2 || 695 | 734·8 |
| | −13·2 || | −12·5 || | −12·0 || | −11·5 |
| | || | || | || | |
| 606 | 1829·2 || 636 | 1443·3 || 666 | 1075·2 || 696 | 723·3 |
| | −13·2 || | −12·6 || | −12·0 || | −11·4 |
| 607 | 1816·0 || 637 | 1430·7 || 667 | 1063·2 || 697 | 711·9 |
| | −13·1 || | −13·5 || | −12·0 || | −11·5 |
| 608 | 1802·9 || 638 | 1418·2 || 668 | 1051·2 || 698 | 700·4 |
| | −13·1 || | −12·5 || | −11·9 || | −11·4 |
| 609 | 1789·8 || 639 | 1405·7 || 669 | 1039·3 || 699 | 689·0 |
| | −13·1 || | −12·5 || | −12·0 || | −11·4 |
| 610 | 1776·7 || 640 | 1393·2 || 670 | 1027·3 || 700 | 677·6 |
| | −13·1 || | −12·5 || | −11·9 || | −11·4 |
| | || | || | || | |
| 611 | 1763·6 || 641 | 1380·7 || 671 | 1015·4 || 701 | 666·2 |
| | −13·1 || | −12·4 || | −11·9 || | −11·4 |
| 612 | 1750·5 || 642 | 1368·3 || 672 | 1003·5 || 702 | 654·8 |
| | −13·0 || | −12·3 || | −11·8 || | −11·4 |
| 613 | 1737·5 || 643 | 1355·8 || 673 | 991·7 || 703 | 643·4 |
| | −13·1 || | −12·4 || | −11·9 || | −11·3 |
| 614 | 1724·4 || 644 | 1343·4 || 674 | 979·8 || 704 | 632·1 |
| | −13·0 || | −12·4 || | −11·8 || | −11·4 |
| 615 | 1711·4 || 645 | 1331·0 || 675 | 968·0 || 705 | 620·7 |
| | −12·9 || | −12·8 || | −11·9 || | −11·3 |
| | || | || | || | |
| 616 | 1698·5 || 646 | 1318·7 || 676 | 956·1 || 706 | 609·4 |
| | −13·0 || | −12·4 || | −11·8 || | −11·3 |
| 617 | 1685·5 || 647 | 1306·3 || 677 | 944·3 || 707 | 598·1 |
| | −12·9 || | −12·3 || | −11·7 || | −11·3 |
| 618 | 1672·6 || 648 | 1294·0 || 678 | 932·6 || 708 | 586·8 |
| | −12·9 || | −12·3 || | −11·8 || | −11·2 |
| 619 | 1659·7 || 649 | 1281·7 || 679 | 920·8 || 709 | 575·6 |
| | −12·9 || | −12·3 || | −11·8 || | −11·3 |
| 620 | 1646·8 || 650 | 1269·4 || 680 | 909·0 || 710 | 564·3 |
| | −12·9 || | −12·3 || | −11·7 || | −11·2 |
+==================================================================================+
|Bar.-| Höjd öfver ||Bar.-| Höjd öfver ||Bar.-| Höjd öfver ||Bar.-| Höjd öfver |
|höjd | hafsytan i ||höjd | hafsytan i ||höjd | hafsytan i ||höjd | hafsytan i |
|b i | meter. ||b i | meter. ||b i | meter. ||b i | meter. |
|m.m. | ||m.m. | ||m.m. | ||m.m. | |
|-----+-------------++-----+-------------++-----+-------------++-----+-------------+
| 711 | 553·1 || 731 | 331·6 || 751 | 116·1 || 771 |− 93·7 |
| | −11·3 || | −10·9 || | −10·6 || | −10·4 |
| 712 | 541·8 || 732 | 320·7 || 752 | 105·5 || 772 |−104·1 |
| | −11·2 || | −10·9 || | −10·6 || | −10·4 |
| 718 | 530·6 || 733 | 309·8 || 753 | 94·9 || 773 |−114·5 |
| | −11·1 || | −10·9 || | −10·6 || | −10·3 |
| 714 | 519·5 || 734 | 298·9 || 754 | 84·3 || 774 |−124·8 |
| | −11·2 || | −10·9 || | −10·6 || | −10·2 |
| 715 | 508·3 || 735 | 288·0 || 755 | 73·7 || 775 |−135·0 |
| | −11·2 || | −10·8 || | −10·6 || | −10·3 |
| | || | || | || | |
| 716 | 497·1 || 736 | 277·2 || 756 | 63·1 || 776 |−145·3 |
| | −11·1 || | −10·9 || | −10·5 || | −10·2 |
| 717 | 486·0 || 737 | 266·3 || 757 | 52·6 || 777 |−155·5 |
| | −11·2 || | −10·8 || | −10·6 || | −10·3 |
| 718 | 474·8 || 738 | 255·5 || 758 | 42·0 || 778 |−165·8 |
| | −11·1 || | −10·8 || | −10·5 || | −10·3 |
| 719 | 463·7 || 739 | 244·7 || 759 | 31·5 || 779 |−176·1 |
| | −11·1 || | −10·8 || | −10·5 || | −10·2 |
| 720 | 452·6 || 740 | 233·9 || 760 | 21·0 || 780 |−186·3 |
| | −11·0 || | −10·8 || | −10·5 || | −10·2 |
| | || | || | || | |
| 721 | 441·6 || 741 | 223·1 || 761 | 10·5 || 781 |−196·5 |
| | −11·1 || | −10·8 || | −10·5 || | −10·2 |
| 722 | 430·5 || 742 | 212·3 || 762 | 0·0 || 782 |−206·7 |
| | −11·1 || | −10·7 || | −10·5 || | −10·2 |
| 723 | 419·4 || 743 | 201·6 || 763 | −10·5 || 783 |−217·0 |
| | −11·0 || | −10·8 || | −10·4 || | −10·3 |
| 724 | 408·4 || 744 | 190·8 || 764 | −20·9 || 784 |−227·2 |
| | −11·0 || | −10·7 || | −10·5 || | −10·2 |
| 725 | 397·4 || 745 | 180·1 || 765 | −31·4 || 785 |−237·3 |
| | −11·0 || | −10·7 || | −10·4 || | −10·1 |
| | || | || | || | |
| 726 | 386·4 || 746 | 169·4 || 766 | −41·8 || 786 |−247·5 |
| | −11·0 || | −10·7 || | −10·4 || | −10·2 |
| 727 | 375·4 || 747 | 158·7 || 767 | −52·2 || 787 |−257·7 |
| | −11·0 || | −10·7 || | −10·4 || | −10·1 |
| 728 | 364·4 || 748 | 148·0 || 768 | −62·6 || 788 |−267·8 |
| | −10·9 || | −10·6 || | −10·4 || | −10·1 |
| 729 | 353·5 || 749 | 137·4 || 769 | −73·0 || 789 |−277·9 |
| | −11·0 || | −10·7 || | −10·4 || | −10·1 |
| 730 | 342·5 || 750 | 126·7 || 770 | −83·4 || 790 |−288·0 |
| | −10·9 || | −10·6 || | −10·3 || | |
För att möjliggöra räkning utan logaritmer har Babinet
modifierat Laplace"s formel till
Denna formel lemnar ej samma skärpa som den
föregående; men är användbar för höjder under 1000 meter.
Beräknas föregående exempel efter Babinets formel, så fås:
Följande formler, hvilka vi med afseende fästadt vid
approximativ höjdmätning med aneroidbarometer meddela,
lemna den höjd, som vid medeltrycket b och
medeltemperaturen t svarar mot en millimeters qvicksilfverpelare.
Under antagandet, att höjdskilnaden är proportionel med
b͵ − b͵͵ — ett antagande, som kan göras för höjdskilnader
under 100 à 150 meter — är C den koefficient hvarmed
b͵ − b͵͵ skall multipliceras, för att höjdskilnaden må erhållas.
För höjdskilnader under 100 meter afviker det på detta sätt
erhållna resultatet i allmänhet ej med mer än en meter från
det som Babinets formel lemnar.
131. Qvicksilfverbarometerns användning för
höjdmätning. Om lufttrycken och lufttemperaturerna ej ledo någon
förändring under den tid, som behöfdes att förflytta en
barometer från en station till en annan, så skulle höjdmätning
kunna verkställas med blott en barometer. Nu äro imellertid
såväl lufttrycket som lufttemperaturen, äfven under
jemförelsevis korta tidrymder, underkastade förändringar. På grund
häraf kan i allmänhet ingen tillförlitlighet i
höjdmätningsresultatet erhållas, om ej observationerna göras samtidigt i de båda
orterna, eller om ej dessa förändringar oskadliggöras på annat
sätt. I förra fallet måste två barometrar användas. Alla
noggranna barometerhöjdmätningar verkställas med två
barometrar, som blifvit förut jemförda med en normalbarometer, på
det att man genom hvardera af de aflästa
barometerhöjdernas reduktion till normalbarometerhöjd må blifva oberoende
af barometrarnes skiljaktighet.
Barometrarne uppställas samtidigt i de stationer,
hvilkas-höjdskilnad sökes. Härvid tillser man. att barometern och
termometrarne ej blifva utsatta för solstrålar, och vänder
derför alltid rören från solen samt uppsätter, när så är nödigt
en medförd skärm. Äfven bör man såvidt möjligt är göra
sig oberoende af lokal värmeutstrålning från jordytan. Detta
gäller isynnerhet vid val af plats för den vanligen löst
medförda termometern för mätning af luftens temperatur. Sedan
barometern blifvit uppstäld och lodad, aflägsnar man sig från
instrumentet för att hindra kroppsvärmen att inverka, och
först en half timma efter uppställningen börjar afläsningen,
Man afläser först vid termometrarne innan kroppsvärmen
hinner utöfva något inflytande. Sedan klappas barometern
varsamt på baksidan, inställes dioptersigtena i
qvicksilfver-kupornas tangentplaner och afläses vid nonierna.
Äfven med en barometer kan vid gynsam väderlek och
under kort tidrymd tillfredsställande resultat erhållas, om,
efter stationeringen i de båda stationerna, man återgår till
den första och stationerar der ånyo. Har under tiden
lufttryck och temperatur ändrat sig likformigt, så fås
höjdskilnaden oberoende af dessa förändringar, om vid dess
beräkning aritmetiska mediet (såväl temperatur- som
tryckmediet) af de båda observationerna i första stationen
kombineras med observationen i andra stationen.
I mätningsprotokollet antecknas äfven de
väderleksförhållanden, som kunna på mätningen inverka, såsom: mulen
eller klar väderlek, regn, blåst, snö, etc. Vid regn, häftig
blåst eller förestående oväder o. s. v., bör höjdmätning med
barometer inhiberas. Af undersökningar, gjorda af
Bauernfeind, synes påtagligen framgå, att observationer vid
10-tiden på förmiddagen och vid 4-tiden på eftermiddagen lemna
de bästa resultaten.
132. Noggrannheten vid höjdmätning med barometer
är relativt större för större än för små höjdskilnader. I rundt
tal motsvaras en millimeters fel i barometerhöjden af 10 meters
höjdfel. Då nu afläsningsfelet i allmänhet torde få anses
0,1 m.m., så hafva vi här källan till en meters höjdfel. Ett
fel i qvicksilfvertemperaturen af 1° motsvaras ungefär af
1 meters höjdfel. Ett fel i lufttemperaturen (t͵ + t͵͵)∕2 af 1°
föranleder 0,4 % af den uppmätta höjden såsom fel. Då, som
redan blifvit antydt, lufttemperaturen är svår att uppmäta,
så torde i dess bestämning en af de hufvudsakligaste
felkällorna dölja sig.
En närmare utredning såväl på teoretisk som på
experimentel väg visar, att det lokala medelfelet ganska
långsamt tilltager med höjdskilnaden. Mellan 0 och 500 meter
är det 3 à 4 meter; mellan 500 och 1000 meter 4 à 5
meter, o. s. v. Bauernfeind anser sig hafva funnit, att man
med fyra eller fem samtidiga observationer, företagna under
20 minuters mellantid vid 10- eller 4-tiden, kan vid godt
väder påräkna, att felet ej blir större än 2 meter för 500
och 3 meter för 1000 meters höjdskilnad.
För öfrigt blir vid samma höjdskilnad resultatet i
allmänhet bättre i samma mån som det horisontela afståndet
mellan stationerna är litet. Detta säges ej böra öfverstiga
10 à 15 kilometer (1 à 1 1/2 sv. mil), om ett godt resultat
skall emotses. Resultat vunna i Sverige, lära visa, att
afståndet kan få vara mycket större, blott vissa faktorer tagas
med i beräkning. Vi anse oss tills vidare ej hafva
rättighet att härför lemna någon redogörelse.
Aneroidbarometern.
133. Den första metallbarometern uppvisades år 1847
af Vidi. Den bestod hufvudsakligen såsom än i dag af en
lufttom cylinder, hvars koncentriskt refflade tak höjer eller
sänker sig (dervid motverkad af en fjederinrättning) allt
efter som lufttrycket minskas eller ökas, och hvars rörelser,
genom en förstorande utvecklingsmekanism öfverföras i
rotationsrörelse hos en visare. Denna barometer, benämndes af
uppfinnaren "barometre aneroide" (barometer utan vätska).
Någon tid derefter konstruerade Bourdon sin
"metallbarometer", hvilken som bekant utgöres af ett lufttomt och
böjdt rör, som rätar ut sig, eller ytterligare böjer sig allt
efter som lufttrycket minskas eller ökas och hvars rörelser
äfven genom en förstorande utvexlingsmekanism fortplantas
till en visare. Sedermera hafva Naudet m. fl. mer eller
mindre modifierat Vidis konstruktion.
Fig. 131.
Naudets barometer (barometre holosterique) är skisserad
i fig. 131. Åtskilliga detaljer ha måst uteslutas för att ej
ritningen skulle blifva otydlig. En fjederplatta a sträfvar
förmedelst cylindern b att höja det refflade locket c, men
motverkas af dess spänstighet och lufttrycket. I följd af
denna anordning uppkommer alltid jemnvigt mellan
lufttrycket samt fjederskifvans och lockets förenade spänstighet.
Vid fjederskifvan är stelt fästad en arm d, som, då
lufttrycket ändrar sig, genom en länkmekanism försätter axeln e i
rörelse. Med denna axel svajar imellertid armen f, som
genom en kedja, upplindad på visarens axel, försätter
visaren v i rörelse. Af figuren framgår att visaren drages
medsols, då trycket stiger. För att draga visaren tillbaka (hålla
kedjan spänd) finnes en fin spiralfjeder anbringad kring
visarens axel.
Goldschmid i Zürich har på senare tider infört en
ganska genomgripande förändring genom att utbyta den vanliga
utvexlingsmekanismen mot en mikrometerskruf, som i förening
med en häfarm mäter den refflade takplattans höjningar och
sänkningar.
Fig. 132 visar en skiss af Goldschmids barometer. Vid
det refflade locket är stelt fästad en styf arm a, som genom
en egg försätter en häfarm i rörelse kring c, då
lufttrycket ändrar sig.
Denna arm är vid andra
änden försedd med ett
index, som pekar på en
graderad skala och
medgifver afläsning af hela
skaldelar. I och för
afläsning af bråkdelar är
ofvanpå denna arm en
annan sig fjedrande sådan
fästad. Äfven
fjederarmen är försedd med en
index; och är så ordnadt att detta flyttar sig en skaldel, då
mikrometerskrufven (förutsattes nedskrufvad inom armens
fjedringsområde) vrides ett helt hvarf. Mikrometerskrufven
vrides genom trumman t, som vid sin nedre kant har en
graderad ring, genom hvilken afläsning eger rum. För
öfrigt är så anordnadt, att 0 afläses vid denna ring, då
fjederarmens index står midt för ett skalstreck.
Fig. 132.
När lufttrycket skall mätas, hålles instrumentet med
venster hand, så att cylinderns axel står lodrätt, och vrides
skrufven med höger hand, tills man genom en vid
instrumentet fästad lupp ser fjederns index stå midt för den styfva
armens index. Fjederarmen är vanligen böjd åt sidan så
att detta läge möjliggöres. Derpå afläsas hela skaldelar vid
skalan och bråkdelar vid ringen. Skalan är ej graderad i
m.m., utan har en annan gradering. Genom en
instrumentet medföljande tabell får man imellertid barometertrycket i
m.m. och den motsvarande luftpelaren vid 0°. En grafisk
tabell för korrektion med hänsyn till temperaturen brukar
medfölja. Innan instrumentet inlägges, måste skrufven
uppvridas, på det att den ej må motverka den styfva armens
stigning i händelse af fallande tryck. För öfrigt böra
indexarmarne upplyftas och genom inskjutandet af en vid
instrumentet befintlig skifva fastlåsas, då det transporteras.
Goldschmids konstruktion — måhända mindre ömtålig
än någon annan — är besvärligare att använda och
medgifver ej så skarp afläsning som den vanliga konstruktionen
med visare. Den kan för öfrigt lätt skadas, om lufttrycket
stiger och man glömt att vrida upp skrufven.
Åsigterna rörande hvilken aneroidkonstruktion som är
bäst äro ännu delade, Naudets konstruktion synes hafva
blifvit mest utbredd. Det må särskildt påpekas, att endast
sådane aneroidbarometrar, som äro enkom tillverkade för
höjdmätning, böra härför användas.
I och för uppmätning af instrumentets temperatur, äro
alla finare höjdmätningsaneroider försedda med uti
instrumentet befintliga termometrar.
Vid aneroidbarometrar för noggrannare mätningar, är
den graderade cirkelns diameter (Naudets konstruktion) 90
à 150 m.m. (27 à 45 linier).
134. Aneroidafläsningens reduktion till
qvicksilfverpelarhöjd vid 0°. Om aneroidbarometrarne alltid indikerade den
för 0° reducerade qvicksilfverpelarens höjd, så hade man
blott att med tvenne sådane göra samtidiga observationer i
de två stationer, hvilkas höjdskilnad sökes, och att enligt
formeln (57) eller med tillhjelp af tabell 6 beräkna
höjdskilnaden. Ingen aneroidbarometer indikerar imellertid den
for 0° reducerade qvicksilfverpelaren. Det eger rum en
afvikelse, som erfarenheten visat innebära ett konstant och två
variabla element. För hvarje aneroidbarometer kan
nämligen uppställas en empirisk formel, som visar skilnaden
mellan den till 0° reducerade qvicksilfverpelarens höjd b och
den höjd a, som aneroidbarometern indikerar. Denna formel
har följande utseende:
c är en konstant (afvikelsen vid 0° och trycket 760 m.m.),
d korrektionskoefficienten med hänsyn till att
fjedringsförmågan ändras, då lufttrycket ändras samt e
korrektionskoefficienten med hänsyn till att fjedringsförmågan samt
utvexlingen ändras med temperaturen. Ehuru vid beställning af
en finare höjdmätningsaneroid man numera på begäran hos
fabrikanten äfven erhåller den empiriska formeln och derpå
grundade tabeller, så anse vi oss, alldenstund man ej kan
påräkna det instrumentet bibehåller sig oförändradt, likväl
böra i all korthet redogöra för reduktionsformelns
bestämning vid en aneroidbarometer.
Man börjar med att bestämma e. Detta sker lämpligast
genom att om vintern flera gånger jemföra
aneroidbarometern, då den ömsevis är ute i kylan och uti ett varmt rum
med en normalqvicksilfverbarometer, under aktgifvande på att
observationerna företagas först en timme efter in- och
utflyttningarne. Man märker då en af temperaturen härledd
förändring i dess barometerhöjd och kan, om den inre och yttre
instrumenttemperaturen antecknats, genom flera sådane
försök få utrönt värdet på e, d. v. s. huru mycket en
temperaturförändring af 1° ändrar barometerhöjden.
Korrektionskoefficienten e är, såvida ej en kompensationsinrättning
blifvit anbringad, alltid negativ
ene e = 0,195 och för den andra e = 0,203. Barometerhöjden ökas
således vid dessa instrument med 0,195 och 0,203 m.m. för hvarje
temperaturgrad.. Man har således allt efter
som temperaturen är positiv eller negativ att minska eller
öka den aflästa aneroidhöjden a med e t för att få den till 0°
reducerade aneroidhöjden a0. Aneroidbarometrarne äro
vanligen så känsliga för temperaturen, att man blott 1 à 2
minuter behöfver låta dem hvila på flata handen för att
stigning eger rum. Man bör vid mätning undvika, att på
likartadt sätt lokalt uppvärma instrumentet. Man kan eljest
ej påräkna, att instrumentets mätande organ få den
temperatur, som dess termometer utvisar.
Har e blifvit bestämd, så gör man särskilda
jemförelseobservationer för att få utrönt värdena på c och d. Man
antecknar för detta ändamål under någon tid samtidiga
afläsningar vid aneroidbarometern, normalbarometern och
termometrarne; reducerar sedan barometerhöjderna till 0° —
qvicksilfverpelarhöjden på vanligt sätt, enligt tabell 5,
aneroidhöjden på sätt nyss blifvit anfördt genom formeln a − e t = a0
— och inför de så erhållna, hvarandra motsvarande värdena
på b, a och e t uti formel (63).
På detta sätt kunna huru många eqvationer som helst,
uti hvilka blott c och d ingå såsom obekanta, erhållas, och
på grund af dessa eqvationer de sannolika värdena på c och
d (kunna vara såväl positiva som negativa) uttagas. Införas
slutligen de så erhållna värdena på c, d och e uti formeln
(63), så fås instrumentets reduktionsformel. En på grund
af dylik formel beräknad tabell, som innehåller motsvarande
värden på aneroidafläsningen, qvicksilfverhöjden vid 0° samt
luftpelarhöjden lemnas numera på särskild anhållan af de
flesta fabrikanter.
I stället för med formel kan man vigare göra
reduktionen med en grafisk tabell. Denna kan upprättas sålunda.
Man afsätter uti en viss skala de till 0° reducerade
aneroidhöjderna såsom abskisser och de motsvarande
qvicksilfverhöjderna vid 0° såsom ordinater — naturligtvis med afdrag
såväl för abskisser som ordinater af samma tal, 500 à 600
m.m., för att kunna rita diagrammet i erforderlig stor skala.
Sedan på detta sätt ett tillräckligt antal punkter blifvit
bestämda och besiffrade — så förlägger man genom dem en
rät linie, och behöfver sedermera vid mätning blott reducera
aneroidhöjden till 0° samt söka det motsvarande ordinattalet
för att få qvicksilfverhöjden vid 0°.
Aneroidbarometern är tyvärr ett så ömtåligt instrument,
att man ej får påräkna det reduktionsibrmeln eller
reduktionsdiagrammet i längden förblifva giltiga. Rubbningar
uppkomma, då instrumentet skakas eller stötes; och äfven om
så ej är fallet, så inträda småningom förändringar. Så länge
ej någon allvarsam rubbning inträdt i den från början varande
afvikelsen mellan de reducerade barometerhöjderna hos de
tvä barometrar, med hvilka samarbetet eger rum, är ingen
fara å färde. Lyckligtvis ligger förändringen mest i
konstanten c och är derför lätt att taga med i räkning.
135. Användning. Höjdmätning med
aneroidbarometer försiggår efter samma grunder som höjdmätning med
qvicksilfverbarometer. Det afläses samtidigt i de båda
stationerna såväl vid aneroidbarometern och dess termometer
som vid lufttermometern. Dock bör man vid noggrann
mätning dessförinnan hafva vistats 10 à 15 minuter på platsen.
För att instrumentet och dess termometer må lättare
anantaga samma, lufttemperaturen sig närmande temperatur,
är det förmånligt att taga det ur fodralet och bära det fritt
i upphängningsringen, dock i skydd mot solens värme.
Aneroidbarometern hålles vid mätningen så, att
visaren ligger horisontelt. Omedelbart för afläsningen knackas
den varsamt med naglarne på baksidan. Lufttemperaturen
angifves sällan tillräckligt noga af den uti instrumentet
befintliga, blott för mätning af instrumenttemperaturen afsedda
termometern, utan bör lämpligen mätas af en löst medförd,
god termometer, när noggrannhet eftersträfvas.
Sedan aneroidafiäsningarne blifvit reducerade till
motsvarande qvicksilfverpelare vid 0°, sökes höjdskilnaden enligt
formler eller tabell på sätt som för qvicksilfverbarometern
blifvit i 130 närmare anfördt.
Skall höjdmätningen öfver en trakt hänföras till en
bestämd fixpunkt, så stannar den ene observatorn i
fixpunkten med sin barometer, under det att den andre med sin
besöker samtlige de punkter, hvilkas höjder relativt till
fixpunkten sökas. Båda observatörerna göra härvid samtidiga
observationer — i de punkter som ej synas från fixpunkten
enligt på förhand öfverenskommen tid. De böra derför hafva
noga jemfört sina ur. Om t. ex. vid den stillastående
barometern och dess termometrar afläses hvar 10:de minut, så
blir tidsintervallen mellan hvarje observation vid den rörliga
barometern och den i tiden närmast liggande observationen
vid den stillastående barometern så obetydlig, att de
antingen kunna anses samtidiga eller, om lufttrycket hastigt
vexlat, genom en lätt verkstäld interpolering kunna skarpt
reduceras till samma tid. Observationstiden och allt som för
öfrigt kan belysa mätningen antecknas naturligtvis för hvarje
station i protokollet. Såväl vid mätningens början som vid
dess afslutning böra de båda barometrarne, såvidt det låter
sig göra, jemföras i fixpunkten. Visar sig (oafsedt att
lufttrycket under tiden ändrat sig) att vid hvardera tillfället de
båda barometrarne angifva samma till 0° reducerade
barometerhöjd, så kunna de korresponderande och med hänsyn till
tiden korrigerade observationsserierna användas, utan att
underkastas någon vidare korrektion än reduktionen till
motsvarande qvicksilfverpelarhöjder vid 0°. Visar det sig
deremot såväl vid ena som vid andra tillfället en afvikelse, men
som är lika stor i båda fallen, så får naturligtvis hvarje
afläsning korrigeras med denna afvikelse.
Visar sig slutligen ej afvikelsen vara 0 eller lika i båda
fallen, så får den med all säkerhet tillskrifvas att den
rörliga barometern blifvit skakad eller stött. Höjdmätningen
är då otillförlitlig. Det må imellertid påpekas, att en
aneroidbarometer som varit utsatt för starka tryckvexlingar (i
mycket kuperad terräng), först efter någon tid återtager sitt
normala tillstånd och att en mindre afvikelse häri kan få
sin förklaringsgrund.
I Sachsen har man nyligen
båda observatörerna efter hvarandra och i samma nummerföljd
besökt punkterna, dervid undan för undan görande samtidiga
observationer i två närliggande punkter. Detta
mätningssätt torde ej medföra samma skärpa som det föregående.
För öfrigt vet man i händelse af rubbning i barometrarnes
utslag ej hvilkendera, som kommit i olag.
Höjdmätning med en barometer kan vid stadig
väderlek och under ej allt för lång tidrymd utföras på så sätt,
att man, utgående från fixpunkten, observerar i samtlige
punkterna och sedan i omvänd ordning observerar i dem ånyo
under aktgifvande på att för hvarje mellanpunkt ungefär
lika lång tid förflutit mellan de första observationerna som
mellan de sista observationerna i fixpunkten och
mellanpunkten. Hafva då lufttryck och temperatur ej ändrat sig
eller ock ändrat sig likformigt, så fås för hvarje punkt
höjdskilnaden mellan den och fixpunkten, om aritmetiska
mediet af de båda observationerna i fixpunkten
kombineras med aritmetiska mediet af de båda observationerna i
punkten.
Då höjdskilnaderna äro små (under 100 meter) kan man
beräkna dem enligt H = C(b͵͵ − b͵), hvarvid C bestämmes
genom formeln (61). Oftast kan samma koefficient
användas för flera på hvarandra följande bestämningar; vid mindre
noggrann mätning och stadig väderlek under loppet af en
hel dag
temperaturkorrektionerna blifvit något så när lika i båda stationerna, så kan man vid
approximativ mätning understundom insätta de aflästa barometerhöjderna
oreducerade i formeln H = C(b͵͵ − b͵)..
Föregående koefficient C är bestämd utan hänsyn till
instrumentet, alldenstund den endast gäller för de till 0°
reducerade barometerhöjderna. Genom att samtidigt med
mätningarne empiriskt bestämma och använda den koefficient
som för tillfallet gäller för de direkt observerade
barometerhöjderna, kan man på ett beqvämt och ganska säkert
sätt höjdmäta, då höjdskilnaderna ej öfverstiga 150 à 200
meter. Detta låter sig göra, om man har två genom
trigonometrisk höjdmätning eller afvägning bestämda fixpunkter
med erforderlig höjdskilnad, i närheten af eller mellan hvilka
punkterna som skola bestämmas äro belägna. Man
stationerar och afläser i så fall först i ena fixpunkten, sedan i alla
mellanpunkterna och sist i andra fixpunkten.
Beteckna a och a͵ afläsningarne i fixpunkterna, h deras
höjdskilnad samt u afläsningen i en punkt, hvars höjd x öfver
eller under en af fixpunkterna sökes, så kan man för smärre
höjdskilnader sätta: a—a͵∶a—u = h∶x, hvaraf
Det torde väl knapt behöfva påpekas att koefficienten
C endast gäller vid det tillfälle, då den blifvit bestämd.
Vid en annan temperatur och ett annat lufttryck skulle en
annan koefficient hafva erhållits.
Mätningen blir, såvida ej synnerlig stadig väderlek råder,
först tillförlitlig, om man korrigerar för förändringar i
lufttrycket — iakttagna på sätt förut blifvit anfördt genom
observationer vid en stillastående barometer i en af fixpunkterna —
eller om man gör en observationsserie i motsatt riktning
mot den förra och inför aritmetiska mediet af afläsningarne
i hvarje punkt
båda afläsningarne i den första fixpunkten..
Denna interpoleringsmätning har det stora företrädet
framför de andra sätten, att den ej förutsätter någon
reduktionsformel och således ej fordrar aneroidbarometerns
jemförelse med en qvicksilfver normalbarometer; att den ej fordrar
någon temperaturbestämning (man antecknar dock
temperaturerna för att kunna kontrollera mätningen) samt att
beräkningen af höjdskilnaden är ytterst lätt verkstäld.
Vi meddela här nedan jemförelse mellan en afvägning
och en enligt denna metod af prof. Jordan utförd mätning
under en jernvägsresa, hvarvid observationerna egde rum
vid jernvägsstationerna och såväl under fram- som återresan.
+========+==========+==========================+=======+
| | | Höjder i meter | |
|Station.| Aneroid- +-------+----------+-------+ Fel. |
| |barometer.| gifna.|beräknade.|afvägda| |
+--------+----------+-------+----------+-------+-------+
| | m.m. | m. | | m. | |
| 1 | 738,1 | 281,3 | — | 281,3 | — |
| 2 | 738,7 | — | 274,6 | 273,3 | + 1,2 |
| 3 | 741,7 | — | 240,9 | 237,3 | + 3,6 |
| 4 | 746,4 | — | 188,1 | 187,2 | + 0,9 |
| 5 | 750,6 | — | 140,9 | 140,8 | + 0,1 |
| 6 | 751,2 | — | 134,2 | 133,6 | + 0,6 |
| 7 | 752,2 | — | 122,9 | 123,4 | − 0,5 |
| 8 | 752,7 | 117,3 | — | 117,3 | — |
| +----------+-------+ | | |
| | 14,6 | 164,0 | | | |
Som synes, kan vid stadigt lufttryck och stadig
temperatur denna höjdmätningsmetod lemna synnerligen skarpt
resultat, då höjdskilnaderna äro små och två
korresponderande serier göras; och äfven om den skärpa, som
ofvanstående protokoll utvisar, i allmänhet ej kan påräknas, så
torde, när lufttryck och temperatur hålla sig stadiga,
metoden dock blifva synnerligen förmånlig att använda, då man
på 5 à 10 kilometers afstånd från hvarandra har fixpunkter
så belägne, att deras höjdskilnad med hänsyn till
mellanpunkternas lägen är tillräckligt stor för att koefficienten må
med erforderlig skärpa kunna bestämmas. I allmänhet böra
mellanpunkternas absoluta höjder ligga mellan fixpnnkternas
absoluta höjder.
136. Noggrannhet. En god aneroidbarometer torde i
fråga om förmåga att angifva lufttryckets vexlingar ej stå
långt efter qvicksilfverbarometern. Utslaget är för samma
tryckförändring betydligt större hos den förre än hos den
senare. Häraf skarpare afläsning vid aneroidbarometern.
Dock må erinras, att, när genom utvexling utslaget förstoras,
äfven utslagsfelet förstoras. En god aneroidbarometer
gifver märkbart utslag, om den flyttas från ett bord till golfvet
och tvärtom.
Förutsatt att aneroidbarometrarne äro i godt skick, torde
mätning med två sådane i noggrannhet ej stå långt efter
mätning med två qvicksilfverbarometrar, åtminstone, när det
ej är fråga om mycket stora höjdskilnader. Vi kunna
derför hänvisa till 132. Dock anse vi oss böra påpeka, att ett
fel i aneroidbarometerns temperatur vanligen har större
inflytande än ett fel i qvicksilfverbarometerns. Vid den senare
ändrar sig qvicksilfverpelaren med 1 m.m. för hvar 10:de
grad; vid aneroidbarometern utslaget i allmänhet med 1 m.m.
för hvar 5:te à 10:de grad. Det må imellertid framhållas,
att oaktadt korrektionskoefficienten för reduktionen till 0°
är ganska stor, att den vid mätning af små höjder ej får
stor betydelse. Är temperaturen lika i båda stationerna
(temperaturen faller ungefär 0,5°, då höjden ökas med 100
meter) så taga korrektionstalen i det närmaste ut hvarandra
(de göra det för samma temperatur helt och hållet, om man,
såsom för små höjdskilnader, anser höjdskilnaden vara
proportionel med skilnaden mellan barometerhöjderna).
Det torde väl knapt behöfva påpekas, att vi i det
föregående hufvudsakligen afsett aneroidbarometrar af större
dimensioner. På de små aneroidbarometrar i västficksformat,
som numera temligen allmänt förekomma, kan man ej ställa
stora anspråk, i synnerhet om de ej äro tillverkade af en
framstående fabrikant och ej äro uppgifna som
höjdmätningsbarometrar
afhandlingar i Carls Repertorium der techn. Physik för 1874; En
uppsats i tidskriften der Civilingenieur för 1875, m. fl.
*
Sjunde kapitlet.
Instrument för grafisk vinkelmätning.
137. Redan uti inledningen har det blifvit antydt att
detaljmätningar i horisontalplanet verkställas enligt två olika
metoder. Enligt den ena sker mätningen och
kartläggningen hvar för sig; enligt den andra ega de rum samtidigt, i
det att mätningen utföres grafiskt. Den grafiska mätningen
grundar sig hufvudsakligen på direkt uppritning af vinklar.
Man betjenar sig härvid af mätbordet och syftlinialen
(diopterlinial eller tublinial). På mätbordet spännes papperet; med
tillhjelp af syftlinialen verkställes den grafiska konstruktionen.
Mätbordet.
138. Mätbordet uppfanns 1590 i Nürnberg af professor
Prætorius, som således kan sägas hafva lagt grunden till den
grafiska planmätningen. Vi hafva i fråga om mätbordet att
fästa oss vid taflans sammansättning, mekanismen för dess
inställning, vridning och förflyttning i horisontalplanet samt
stativets konstruktion.
Taflan (350 à 550 m.m. i fyrkant), som i allmänhet har
qvadratisk eller rektangulär form, förfärdigas af något lätt
träslag, som derjemte ej har benägenhet att kasta sig skeft
(lind). För att ytterligare förhindra kastning sammansättes
taflan af två eller flera tunna skifvor och på så sätt, att
träfibrerna komma vinkelrätt mot hvarandra. I Sverige
brukas i allmänhet två skifvor, åtskiljda af ett mellanrum,
uppkommet genom att skifvorna äro limmade på hvar sin sida
af en kantram. För att imellertid få uppstyfning på midten
äfvensom tillräckligt gods för anbringandet af fästskrufvarnes
muttrar, äro de båda skifvorna förenade genom ett kors.
Vid små rekognoseringsbord består taflan ofta af en enkel
skifva, uppstyfvad af en kantram. En del taflor hafva en
orienteringskompass infäld vid det ena hörnet.
Taflans fastläsning vid stativets öfverdel sker på olika
sätt. Mest användbar för större matbord torde inrättningen
med kors och ring vara. Korset a (fig. 133), som är
förbundet med en för stativtappen t passande hylsa, kan
fastläsas vid taflan medelst ringen b och de fyra skrufvarne c.
Ringens diameter är så stor (120 à 180 m.m.), att man i
händelse af noggrann centrering af punkten på taflan öfver
stationspunkten kan, sedan
skrufvarne c blifvit behörigen
tillbakavridna, utan att rubba stativet,
erforderligt förskjuta taflan.
Taflan kan aflyftas från eller vridas
kring stativtappen, när
klämskrufven k blifvit behörigen
tillbakavriden.
Fig. 133, 134.
Några olika konstruktioner
af mätbord, befintliga i
Teknologiska Institutets samlingar, må i
det följande i korthet antydas.
Fig. 133 och 134 visa en
skiss af ett större matbord af god,
men dyrbar konstruktion. Taflan,
fastläst medelst ring och
fästskrufvar vid korset, kan, när
klämskrufven k är uppskrufvad,
vridas på fri hand och, när den är
tillskrufvad, vridas genom
orienteringsskrufven m. Stativets
öfverdel är fastläst vid
stativplattan förmedelst den sferiska
nöten n, inpassad uti en
motsvarande fördjupning hos
stativplattan, men kan, genom att nöten
är på tre sidor affasad, för ett
visst läge aflyftas från nämnde
platta. Horisonteringen sker
med de fyra skrufvarne s,
hvarvid rörelsen eger rum kring
nötens medelpunkt.
Fig. 135.
Fig. 135 antyder den i Sverige
mest använda konstruktionen.
Taflan kan endast med fri hand
horisonteras och orienteras. Det
förra sker, sedan klämskrufven k
blifvit behörigen uppskrufvad
under vridning kring nöten n; det
senare sedan klämskrufven s blifvit lösskrufvad genom
vridning kring tappen t.
Fig. 136 visar i ungefär en femtedels skala ett litet,
med undantag af skrufvar och infälda muttrar, uteslutande
af trä förfärdigadt rekognoseringsmätbord, som med billighet
och enkelhet förenar stadga. Tvärstycket t är genom fyra
skrufvar s fästadt vid taflans ram. Taflans rörelse såväl vid
horisontering som vid vridning eger rum kring nöten n,
fastklämd så länge skrufven u är tillskrufvad. Sistnämnde
skruf verkar nämligen på det af en bygel i omfattade
häfstycket v. Nöten är fastskrufvad och limmad vid den af
masur gjorda stativprisman.
Fig. 136.
139. Att fästa papperet på taflan. När papperet på öfligt
sätt blifvit fuktadt, lägges taflan på detsamma; derefter vikes
papperet öfver taflans kanter och fastlimmas, sedan det
öfverflödiga blifvit bortskuret, med tillhjelp af munlim vid dessa
kanter (vid två motsatta kanter först). Man bemödar sig,
att ej fukta papperet mer än nödigt är, och att ej genom
för hastig torkning åstadkomma för starka spänningar uti
detsamma. Ju tjockare papperet är, ju mer det blifvit
fuktadt, desto större blir krympningen, då det afskäres. Denna
krympning, som är till stort men, emedan den förfalskar
kartan, uppgår liniärt i medeltal till 1 %. Det har blifvit
föreslaget att kringgå krympningen genom att före papperets
afskärning vid detsamma fastlimma en träram, som på samma
gång den förhindrar krympningen tillåter konceptkartans
kopiering.
För att i fuktig väderlek hindra papperet att svälla
och skrynkla sig, kan man förfara sålunda: Man vispar
ägghvita tills den skummar, låter skummet lösa sig, afhäller,
sedan tjockare partiklar afsatt sig, den öfre klarare vätskan,
bestryker härmed likformigt afvigsidan af papperet och
lägger den mot taflan. När papperet blifvit med tillhjelp af
två handdukar struket från midten åt sidorna, vikes det
öfver taflans kanter och fastlimmas med munlim.
För att undvika besväret med papperets limning har
man användt en lös ram, som jemnt och nätt passar kring
taflan och som, när den trädes på, spänner och fäster det
öfver taflans kanter vikna papperet. Papperet blir dock ej
i önskvärd mån spändt på detta sätt.
Diopterlinialen.
140. I 13 och 14 ha vi vid redogörelsen för
dioptersigtet ej kunnat underlåta att äfven omtala diopterlinialen.
Hänvisande till 13 och 14, återstår rörande diopterlinialen
endast att tala om dess pröfning och justering.
141. Diopterlinialen pröfning och justering. Af
diopterlinialen fordras:
1) att okularsprickan och objektivtråden bestämma ett
syftplan, som bildar rät vinkel med linialens hvilplan;
2) att detta syftplan är parallelt med linialkanterna, som
således i sin ordning böra vara parallela med hvarandra.
För att undersöka om vilkoret 1) är uppfyldt,
uppställes diopterlinialen på en horisontel mättafla och
upphänges på lämpligt afstånd ett lodsnöre. Om under syftning
vid olika ställen af sprickan objektivtråden synes täcka
snöret, så är vilkoret 1) påtagligen uppfyldt. Täckes deremot
ej snöret af objektivtråden, så kan detta bero på att sprickan
eller tråden eller båda gemensamt afvika från vertikalplanet.
Man undersöker först huru det förhåller sig med tråden;
betäcker derför sprickan, så att man blott kan syfta vid ett
ställe af densamma. Visar sig då tråden ej täcka snöret,
så står den ej lodrätt — och dess läge måste ändras. Är
tråden justerad, så står sprickan ej lodrätt, om under syftning
vid olika ställen af densamma tråden ej synes täcka snöret.
På detta sätt pröfvas samtlige sprickor och trådar.
De flesta dioptrar kunna uti ifrågavarande afseende
endast justeras af instrumentmakaren. Det gifves imellertid
äfven sådane som kunna på fältet justeras. Vid dem äro
sprickan och tråden anbringade i ställbara skifvor.
Det säger sig sjelf, att ett fel uti ifrågavarande afseende
inverkar menligare i samma mån som terrängen är kuperad.
För att pröfva om vilkoret 2) är uppfyldt, uppställer
man så långt isär som möjligt två synålar på taflan, och
vrider densamma tills en lämplig signal kommer i linie med
dem; lägger linialkanten, som skall pröfvas, intill nålarne
och efterser om signalen ligger i syftplanet eller (om
linialkanten ligger vid sidan af syftplanet) lika mycket afsides
från syftplanet som linialkanten.
Ett annat sätt är att, sedan linialkanten blifvit lagd
utefter två på taflan uppstälda lika grofva nålar, inrikta en
signal; derpå med upp och nedvändt instrument lägga samma
linialkant intill nålarne och efterse om signalen nu kommer
i syftplanet. Att i stället för upp- och nedvända ändvända
instrumentet (såsom i en del läroböcker finnes uppgifvet)
leder påtagligen ej till målet.
Om en diopterlinial ej uppfyller vilkoret 2), så blir
mätningen ej oriktig, när samma linialkant och samma tråd och
spricka användas. De utefter linialkanten dragna linierna
blifva visserligen förvridna, men blifva det lika mycket.
Härigenom blir mätningen i sin helhet något förvriden i
förhållande till terrängen, men i öfrigt ej oriktig.
Tublinialen.
142. Vid tublinialen (fig. 137) är dioptersigtet ersatt
af en tub, som kan vridas kring en med linialens hvilplan
parallel och mot linialkanten vinkelrätt liggande axel.
Kollimationsaxeln kommer således, då instrumentet är uppstäldt
på ett horisontelt underlag, att vid tubens vridning alstra
Fig. 137
ett med linialkanten parallelt vertikalplan. Tuben vrides
såväl för hand som ock med en inställningsskruf m. Vid den
enkla — ej för distans- eller höjdmätning inrättade —
tublinialen äro parallel-linialen p samt den graderade
vertikalcirkeln öfverflödiga.
143. Pröfning och justering. Af tublinialen fordras:
1) att kollimationsaxeln bildar rät vinkel med
horisontalaxeln;
2) att horisontalaxeln är parallel med linialens hvilplan;
3) att kollimationsplanet är parallelt med linialkanten.
För att undersöka om vilkoret 1) är uppfyldt, förfar man
på sätt som i 53—2) finnes närmare anfördt. Detta vilkor har
imellertid instrumentmakaren i sin makt att vid detta
instrument med erforderlig noggrannhet få uppfyldt, hvadan
någon justerinrättning härför vanligen ej är anbringad.
För att pröfva om vilkoret 2) är uppfyldt förfar man,
sedan tublinialen blifvit uppstäld på ett horisontelt underlag,
enligt 53—3). Justeringen eger rum genom att man med
skrufvarne d och e (fig. 137) rubbar ståndarens ställning i
förhållande till linialen.
För att pröfva om vilkoret 3) är uppfyldt förfar man,
enligt det första sättet, som under 2) är anfördt för
diopterlinialen. Justeringen eger rum i och med ståndarens
vridning, sedan skrufvarne u blifvit lösskrufvade.
Orienteringskompassen.
144. För att på kartan angifva meridianens riktning,
vid mindre noggranna mätningar orientera taflan eller
förbereda en skarpare orientering af densamma, betjenar man
sig af orienteringskompassen. Orienteringskompassen består
vanligen af en aflång kompassdosa, som på så sätt är fastad
vid en linial, numera ofta vid nyare tublinialer (fig. 138),
att norr- och söderstrecket ligger parallelt med linialkanten.
På rekognoseringsmätbord är kompassen ofta infäld uti taflan.
Fig. 138.
För en närmare belysning hänvisas till
Vinkelmätningskompassen.
Vill man med kompassen inlägga på taflan den
geografiska meridianen, så vrides linialen, tills nålen pekar på
missvisningstalet, och drages en linie efter linialkanten.
För att med kompassen orientera taflan, lägger man i
alla stationer linialkanten efter samma orienteringslinie och
vrider taflan tills nålen pekar på samma streck, som i
föregående stationer.
Mätbordets och syftlinialens användning vid
grafisk vinkelmätning.
145. Mätbordets uppställning och orientering.
Mätbordet skall så uppställas, att stationspunkten på taflan
kommer lodrätt öfver stationspålen på terrängen. Detta låter i
händelse af noggrann centrering lättast verkställa sig med
tillhjelp af en lodgaffel (fig. 139). Dock användas sådane
numera sällan, emedan man lika fort och i de flesta fall
med tillräcklig skärpa når målet
genom att under punkten på
taflan hålla och släppa en sten.
Träffar den stationspålen, är
matbordet centreradt; hvarom icke
få antingen stativbenen flyttas
eller, sedan ringens fästskrufvar
lösskrufvats, taflan förskjutas.
Fig. 139.
Taflans inriktning i
horisontalplanet sker dels efter
ögonmått, dels med dosvattenpass
eller rörvattenpass — det sista endast nödigt att använda,
om jemte planmätning äfven höjdmätning skall direkt från
taflan verkställas, såsom t. ex. med Reichenbachs
afståndsmätare. Dosvattenpasset är, såsom blott fordrande en
uppställning, vida beqvämare att använda och medgifver
tillräcklig noggrann inställning för planmätning.
Ett mätbord är orienteradt i en station, om
stationspunkten på taflan ligger lodrätt öfver stationspålen på terrängen
och om samtidigt en rät linie på taflan är parallel med
motsvarande linie på terrängen. För att med hänsyn till från
föregående stationer bestämda punkter orientera mätbordet
i en ny station, som äfvenledes på taflan blifvit bestämd,
uppställes matbordet så, att stationspunkten på taflan
kommer lodrätt öfver stationspålen, lägges syftlinialen ut efter
linien, som bestämmes af stationspunkten och en annan från
föregående station bestämd punkt på taflan samt vrides taflan,
tills den i motsvarande punkt på terrängen uppställda
signalen kommer i syftplanet. Vanligen kontrollerar man
orienteringen på en punkt till.
Föregående orienteringssätt kan vid mindre noggrann
mätning ersättas genom orientering efter kompass (fig. 138).
Om i första stationen en orienteringslinie drages, vare
sig i riktning af den magnetiska eller den geografiska
meridianen (i sistnämnde fall magnetnålen instäld på
deklinationsvinkeln), så behöfver man blott i en följande station
förlägga orienteringskompassens linialkant utefter denna linie
och sedan vrida taflan tills magnetnålen intager samma läge.
(på 0° eller på deklinationsvinkeln) som i första
stationen för att få taflan orienterad. Om, såsom vid
rekognose-ringsmätbord, en kompassnål är infäld uti taflan, så vrides
taflan, tills nålen pekar på ett anbringadt indexstreck. Af
hvad i 73 blifvit anfördt framgår, att denna
orienteringsmetod ej kan medföra synnerligen skarp orientering. Den
användes derför endast vid rekognoseringsmätning eller vid
topografisk fältmätning.
För huru ett bräde kan orienteras i en punkt, hvars
läge på taflan ej är kändt, se 150 och 151.
Olika sätt att grafiskt bestämma punkter.
146. Den grafiska mätningen består i allmänhet uti
att på taflan konstruera trianglar, som äro likformiga med
motsvarande trianglar på terrängen. Nöjer man sig blott
med likformighet, så behöfver man ej veta någon sidas
verkliga längd; vill man derjemte äfven att triangelsidorna på
taflan skola vara i en bestämd skala uppritade, så måste
minst en af sidorna (baslinien) vara till storlek känd och uti
denna skala uppritad på taflan. I följande problem må
antagas, att man — såsom vanligen är fallet — vill mäta i
bestämd skala.
147. Bestämning af en punkt genom framåtafskärning.
Detta sätt, det vid grafisk planmätning allmännast använda
består uti, att man, under syftning från ändpunkterna
af en känd baslinie till punkten i fråga, uppritar
vinklarne vid basen. Låt (fig. 140) ABC vara triangeln på
terrängen, AB vara baslinien och ab vara den motsvarande
uti en gifven skala afsätta linien på taflan. För att
bestämma punkten c på taflan uppställes mätbordet öfver någon af
Fig. 140.
basliniens ändpunkter, låt vara A, och så att a kommer
lodrätt öfver A; derefter lägges linialkanten utefter a b, och
vrides taflan tills syftplanet träffar en i B stäld signal. a b
är då parallel med A B. År matbordet sålunda orienteradt,
vrides dioptern kring en i a uppsatt fin synål tills syftplanet
sammanträffar med en
signal i C, och sedan
drages med
passarspetsen eller en hård
blyerzpenna en ytterst fin
linie (diagonal) utefter
linialkanten. Mätbordet
uppställes och
orienteras nu i B — b öfver
B — på samma sätt
som förut i A, och
sedan synålen blifvit
flyttad till b syftas ånyo
på signalen i C samt
drages en linie
(afskärningslinie) utefter
linialkanten. Skärningspunkten mellan diagonalen
och afskärningslinien är
den sökta punkten; ty
triangeln a b c är
likformig med A B C och
sidorna a c och b c
förhålla sig till A C och
B C som a b förhåller
sig till A B, d. v. s. de hafva blifvit uppritade i den gifna
skalan.
Då punkten C får hafva hvilket läge som helst, så kan
man under stationeringen i A draga diagonaler till flera
punkter och under stationeringen i B draga afskärningslinier
till samma punkter. Man kan alltså från en baslinie
bestämma hvilken punkt som helst, så snart den är synlig från
basliniens båda ändpunkter. Punkten c blir skarpare bestämd
i samma mån som vinkeln C närmar sig till en rät vinkel.
Mycket spetsiga eller trubbiga vinklar böra, såsom lemnande
osäkra afskärningar, undvikas.
148. Bestämning af en punkt genom bakåtafskärning.
Detta mätningssätt består uti, att genom stationering och
syftning i den gifna basliniens ena ändpunkt samt uti punkten
i fråga upprita vinklarne vid basen. Låt (fig. 141) A B C
vara den gifna triangeln, A B den kända sidan samt a b
vara den motsvarande, i bestämd skala på taflan uppritade
linien, och antag vidare att B är otillgänglig eller att man
ej har fördel af att stationera i denna punkt.
Sedan matbordet blifvit på förut anfördt sätt uppstäldt
och orienteradt i A, drages en diagonal till C. Mätbordet
uppställes sedan i C. Som imellertid, längden af A C ej är
känd och således punkten c ej kan afsättas från a, får man,
för att kunna något så när orientera matbordet öfver C, efter
ögonmått eller genom stegning uppskatta A C och i den gifna
skalan afsätta a c. När c blifvit sålunda approximativt
utsatt lodas c öfver C, lägges linialkanten utefter c a och
vrides taflan tills syftplanet träffar en i A uppstäld signal,
d. v. s. till c a är parallel med C A Sättes nu nålen i b
och vrides diopterlinialen kring b tills signalen i B insyftas
samt drages en linie (bakåtafskärningslinie) utefter
linialkanten, så erhålles en punkt c͵, som är den sökta, om den
ligger lodrätt öfver C, men som eljest är den tredje
punkten i en triangel a b c͵, likformig med A B C͵, i stället för
med A B C. Som imellertid orienteringsfelet C C͵, sällan
öfverstiger 30 m.m. under det att sidorna C B och C͵ B i
allmänhet uppgå till 50 à 1000 meter, så är felvinkeln C B C͵,
så liten (se 153), att den i allmänhet rymmes i en
blyerz-linie (felet för a c͵ erhålles om c c͵ divideras med skaltalet).
Vill man imellertid söka att skarpare bestämma den
motsvarande punkten till C, så orienteras mätbordet med c͵
lodrätt öfver C, och göres ett nytt bakåtsnitt. Man finner då
i allmänhet, att de båda afskärningslinierna sammanfalla; men
om icke, är den sista punkten den sökta.
Fig. 142.
Har vid stationeringen i A diagonaler
dragits till kringliggande
punkter, så kan, sedan c͵
blifvit bestämd,
afskärningar dragas vid
stationeringen i C till
samma punkter och dessa
sålunda bestämmas från
A C såsom baslinie.
149. Att bestämma en punkt genom polarmätning. Detta
mätningssätt, som hufvudsakligen användes, då en punkt blott
är synlig eller kan bestämmas från en station, består uti att
man till den ifrågavarande punkten drager en diagonal,
hvarpå det med kedja eller på annat sätt uppmätta
afståndet till punkten från stationspunkten på taflan afsättes.
Huru man kan på detta sätt kartlägga en månghörning,
då hörnstrålarnes längder äro kända, antyder fig. 142.
150. Att, då längden af en linie, hvars ändpunkter äro
otillgängliga, är gifven, orientera matbordet i en närliggande
punkt. Låt (fig. 143) A B vara linien, hvars ändpunkter A
och B äro otillgängliga, a b vara motsvarande linie på taflan
och C vara den punkt, i hvilken man önskar orientera
matbordet.
Fig. 143.
Vore mätbordet så stäldt öfver C, att a b vore parallel
med A B, så vore ock problemet lätt att lösa; man hade då
blott att lägga linialen intill a och b och att under syftning
på A och B genom bakåtafskärningslinierna a A och b B
bestämma c. För att få a b parallel med A B förfar man
sålunda: Mätbordet uppställes först i en hjelpstation D;
taflan vrides tills efter ögonmått a b är parallel med A B, och
diagonaler dragas från en lodrätt öfver D liggande punkt d
på taflan till A, B och C. Derefter afsättes från d på
diagonalen till C uti den gifna skalan afståndet D C efter
ögonmått och, sedan den så funna punkten of blifvit lodad öfver
C samt c͵ d blifvit på vanligt sätt genom taflans vridning
bragt till parallelism med C D, dragas afskärningslinier till
A och B. Den så bestämda månghörningen a͵ b͵ c͵ d är
tydligen likformig med A B C D och har sidan a͵ b͵ parallel
med A B. Man bringar nu a b till att intaga samma läge
som a͵ b͵; fixerar derför först denna riktning. Detta sker
genom att utsätta en påle E lodrätt undera͵ och genom att
inrikta med tillhjelp af den utefter a͵ b͵ lagda syftlinialen
en signal F på lämpligt afstånd. Lodas sedan (fig. 144) a
öfver E, och vrides taflan tills den nu utefter a b lagda
linialens syftplan råkar F, så är a b parallel med A B
linialen lagd utefter a b vrida taflan tills F faller i syftplanet. Har
punkten d valts med urskilning, så faller a͵ b͵ så nära a b, att afståndet
mellan dem ej föranleder något fel i parallelismen, förutsatt att F är på
75 à 100 meter..
Det återstår alltså, enligt hvad ofvan är nämndt, blott att genom
bakåtafskärning från A och B bestämma den sökta punkten c.
Visserligen kommer denna punkt, såvida man ej synnerligen
väl valt läget af punkten d på taflan och vid uppställningen
i D något så när fått a b parallel med A B, ej att ligga
lodrätt öfver C. Denna excentricitet är vanligen utan
betydelse och bortskaffas genom att flytta pålen C under c eller,
om denna flyttning af en eller annan orsak ej är
tillåten, genom att loda c öfver C och sedan c a är bringad till
parallelism med C A, göra ett nytt bakåtsnitt (profsnitt)
från B.
Är a͵ b͵ ej uppritad på taflan, utan kan få ligga hvar
som helst, så förenklas problemet. Man behöfver då (se de
streckade linierna) sedan figuren a͵ b͵ c͵ d är funnen, blott afsätta längden a b från a͵ och genom bakåtsnitt från B bestämma c.
151. Att, når tre punkter äro gifna, orientera mätbordet
i en fjerde punkt. Detta problem, hvarom mycket skrifvits,
brukar man benämna Pothenots problem. Låt A, B och C
vara de gifna punkterna på terrängen, a, b och c vara
motsvarande punkter på mätbordet samt D vara den punkt,
öfver hvilken mätbordet skall orienteras. Det gifves flera
olika sätt att lösa detta problem. Enligt några löses det
direkt genom konstruktion; enligt andra indirekt genom
försök. Vi vilja i det följande först sysselsätta oss med de
direkta lösningssätten. Dessa gå ut på, att man genom
konstruktion bestämmer punkten d på taflan, så att a b c d blir
likformig med A B C D, att man, sedan d är funnen, lägger
linialen utefter någon af strålarne d a, d b eller d c och
slutligen vrider taflan tills syftplanet råkar motsvarande signal på
terrängen; motsvarande sidor på taflan och terrängen äro
då äfven parallela.
α) Om man (fig. 145, om D ligger utanför; fig. 147,
om D ligger inuti triangeln A B C) uppställer mätbordet öfver
D och från en punkt på taflan som ligger lodrätt öfver D
drager diagonaler till A, B och C, så erhålles storleken af
vinklarne A D B = u och B D C = v. Uppritas sedan cirklar,
hvilka på a b och b c såsom kordor rymma vinklarne u och
v, så är dessa cirklars skärningspunkt tydligen den sökta
punkten d, ty a b c d blir då likformig med A B C D. Vi
måste imellertid på ett mera praktiskt sätt söka så
sammanställa vinklarne u och v, att deras vinkelben gå genom
punkterna a, b och c.
Fig. 145.
Fig. 147.
Om (fig. 146 om D ligger utanför, fig. 148 om D ligger
inuti triangeln A B C) vinkeln u afsättes i c vid a c och
vinkeln v afsättes i a vid a c samt kring den så erhållna
triangeln a c e en cirkel omskrifves, så är, alldenstund de på
kordan a e stående vinklarne a d e och a c e äro lika stora och de
på kordan c e stående vinklarne c a e och c d e äro lika stora,
skärningspunkten mellan den förlängda b e och nyssnämnde
cirkel den sökta punkten d. b e är således orienteringslinie för B.
För att på lämpligt sätt vid a c afsätta vinklarne u och
v kan man gå till väga sålunda: Man lägger (fig. 149 om
D ligger utanför, fig. 152 om D ligger inuti triangeln A B C)
liniaien efter c a, vrider taflan tills syftplanet råkar signalen
A och afsätter u, i det man från c drager en diagonal till B;
man ändvänder linialen, lägger den ånyo efter c a, vrider
taflan tills syftplanet råkar C, och afsätter v, i det man
från a drager en diagonal till B. Egentligen skulle (såsom
fig. 149 och 152 visa) c och a lodas öfver D; men i de flesta
fall utöfvar den excentricitet som föranledes af ofvannämnde
förfaringssätt så oskyldigt inflytande, att besväret med
lödning kan undvikas. Är imellertid punkten e sålunda funnen,
så lägges linialen efter orienteringslinien e b, som utdrages,
och taflan vrides till syftplanet råkar B; e b är då (fig. 150
Fig. 149—151.
och 153) parallel med D B och således är äfven a b parallel
med A B, och om en bakåtafskärningslinie drages genom a
från A, så erhålles, alldenstund d, enligt hvad förut blifvit
visadt, skall ligga på den förlängda, e b, i skärningspunkten
mellan dessa båda linier punkten d. Som verifikation bör
äfven en bakåtafskärningslinie genom c från C gå genom d.
Skulle e falla utanför taflan, något som inträffar, då D
ligger i närheten af någon triangelsida, så kan man lätt,
sedan de båda vinkelbenen till e äro funna, genom
konstruktion bestämma läget af linien e b. Man drager (fig: 154) för
detta ändamål genom b en linie f g,
som råkar
vinkelbenen, och på
lämpligt afstånd en
härmed parallel linie
h i, som äfvenledes
råkar de båda
vinkelbenen, delar
sedan h i i k, så att
delarne förhålla sig
som b f och b g.
Linien b k år den sökta
orienteringslinien.
För att i likartade
fall med detta på
taflan draga
parallela linier, behöfver
man blott syfta och
draga diagonaler till
en tillräckligt
aflägsen punkt.
Fig. 152.
Ifrågavarande
problem kan ej lösas –
man har ej
tillräckligt många bekanta
storheter – om D
ligger på den cirkel som kan skrifvas omkring triangeln
A B C; ty (fig. 145) cirkeln, som på kordan A B (a b)
rymmer vinkeln u, sammanfaller då med cirkeln, som på kordan
B C (b c) rymmer vinkeln v, och i hvarje punkt på cirkelns
periferi blifva alltså vinklarne u och v sammanstälda, om
linier dragas från densamma till a, b och c. Detta visar sig
vid konstruktionen enligt fig. 149 och 152 deruti, att e
sammanfaller med b - man får således ingen orienteringslinie.
Det säger sig sjelf att lösningen blir osäkrare i den mån D
ligger nära cirkeln — i samma mån blir orienteringslinien e b
kortare. Man måste derför vid val af stationen D fästa
behörigt afseende på dess läge i förhållande till A, B och C.
β) Med tillhjelp af kalkerpapper kan man lösa
ifrågavarande problem på följande enkla sätt: Man uppställer
mätbordet öfver D, lägger kalkerpapperet ofvanpå det andra
papperet på taflan och drager från en punkt e lodrätt öfver
D diagonaler till A, B och C; skjuter kalkerpapperet tills
de på det undre papperet uppritade punkterna a, b och c
täckas af motsvarande vinkelben på kalkerpapperet och
genomsticker med passarspetsen punkten e, hvarigenom d på
det underliggande papperet erhålles. Sedan d är funnen,
sker orientering med tillhjelp af någon af strålarne d a, d b
eller d c under syftning på A, B eller C. Om D ligger på
den omkring A B C gående cirkeln, så kan för alla lägen
af e på den kring a b c skrifna cirkeln vinkelbenen fås att
gå genom a, b och c — och problemet är olösligt.
γ) Följande indirekta lösningssätt kunna understundom
med fördel användas.
Man uppställer (fig. 149 och 152) med ledning af
orienteringskompass eller i brist deraf efter ögonmått mätbordet
öfver D, så att den sökta punkten kommer att ligga lodrätt
öfver D och sidorna a b, b c och a c komma att ligga parallelt
med motsvarande sidor på terrängen; drager sedan
bakåtafskärningslinier genom a, b och c från A, B och C. Om
dessa linier råkas i en punkt, så är denna den sökta (såvida
ej D ligger på den cirkel som kan skrifvas om A B C;
hvarom ej så erhålles (fig. 151 och 155) en feltriangel. Det
kan lät bevisas: att, när D ligger uti triangeln A B C, d
ligger uti feltriangeln och att, när D ligger utanför A B C, d
ligger utanför feltriangeln. Man vrider taflan en obetydlig
vinkel; gör ånyo bakåtafskärningar och erhåller sålunda åter
en feltriangel, som, när D ligger inom A B C (fig. 155),
omsluter eller omslutes af den första feltriangeln och när d är
utom A B C (fig. 151), ligger utanför den förra feltriangeln.
Sammanbindas triangelspetsarne uti den ena fel triangeln med
motsvarande spetsar — de spetsar, som uppkommit genom
motsvarande afskärningslinier — uti den andra, så skära,
förutsatt att feltrianglarne ej varit för stora, de tre
förbindningslinierna hvarandra uti den sökta punkten d.
För att erhålla skarp afskärning söker man, när D
ligger inom A B C, att vrida taflan så, att den andra
feltriangeln blir mindre än den första och så liten som möjligt och,
när D ligger utom A B C, att vrida den så, att den sista
feltriangeln blir liten och på motsatt sida om d mot den
första. Till ledning för vridningshållet i första fallet har man,
att d ligger inom den första feltriangeln; man antager
derför tills vidare en punkt o inom denna triangel såsom den
rätta och orienterar efter någon af strålarne o a, o b och o c.
Till ledning for vridningshållet i sista fallet är svårt att
gifva någon praktisk regel; och den lätthet, hvarmed det
låter sig göra att försöksvis utröna detsamma, gör en sådan
regel öfverflödig.
Sedan d är funnen sker orientering på vanligt sätt efter
någon af strålarne d a, d b eller d c. Detta sätt leder
naturligtvis ej heller till målet om D ligger på den cirkel, som
kan skrifvas om A B C.
152. Att när två punkter äro gifna orientera i en punkt,
hvars afstånd tili en af dessa punkter är kändt. Låt (fig.
156) A och B vara de gifna punkterna på terrängen samt
a och b motsvarande punkter på taflan, C vara den punkt,
i hvilken mätbordet skall orienteras sedan afståndet C B
blifvit genom mätning bestämdt.
Problemet löses indirekt sålunda:
Sedan man efter ögonmått gjort a b
parallel med A B och med B C
till radie i den gifna skalan ritat
en cirkelbåge, drager man på
försök genom a och b två
bakåtafskärningslinier från A och B. Ligger
dessa liniers skärningspunkt på
cirkelbågen, så är denna punkt den
sökta punkten c; hvarom icke
förbättrar man med ledning af
föregående försök orienteringen genom
lämplig vridning af taflan och gör
ånyo bakåtsnitt. Sammanbindas
sedan de båda skärningspunkterna, så kan man i allmänhet
antaga den punkt, der linien råkar cirkelbågen, såsom den
sökta punkten c.
Fig. 156.
153. Noggrannhet vid mätning med mätbord och
syftlinial. Ehuru det under lämpliga förhållanden ej gifves
något sätt att skarpare kartlägga en punkt relativt till två
andra punkter än genom en grafisk triangelmätning, så
lemnar dock den grafiska mätningen, om man sedermera vill
uttrycka resultaten i siffror, en temligen begränsad
noggrannhet, alldenstund konstruktionen ej kan utföras med
matematiska linier och punkter. Om det antages
att konstruktionslinierna i allmänhet äro 0,1 m.m. breda, så kan man i
skalorna ⅟₁₀₀₀, ⅟₂₀₀₀, etc., ej kartlägga en punkt eller på kartan
uttaga afstånd skarpare än på 100, 200 m.m. etc. när.
Antages vidare att ej längre konstruktionslinier än 200 m.m.
förekomma, så är det vinkelfel, som hvardera af dessa linier
rymmer, (206265·0,1)∕200 = 103 sek.
Förutom af den grafiska metodens uttrycksmedel
inskränkes äfven noggrannheten af syftlinialens
ofullkomligheter och en mer eller mindre felaktig uppställning af
mätbordet.
Hänvisande till hvad i 14 blifvit sagdt rörande
diopterlinialen, må hvad beträffar tublinialens kollimationsfel och
dess horisontalaxels lutning anföras, att de i vanlig terräng
i allmänhet föranleda mindre vinkelfel än det nyss anförda
gränsfelet; att de deremot i kuperad terräng kunna
föranleda fel, som i den grafiska konstruktionen blifva
märkbara. Med anledning häraf kan det i mycket kuperad
terräng vara förmånligt att hafva vattenpass på
horisontalaxeln. De inom landtmäteriet begagnade diopterlinialerna
förekomma understundom så groft arbetade, att de ej förmå
mäta med den noggrannhet, som kan grafiskt uttryckas.
Vi hafva flera gånger i det föregående lemnat utan
afseende inflytandet af att punkten på taflan ej legat exakt
öfver punkten på terrängen. Om det såsom förut antages,
att bredden af en konstruktionslinie är 0,1 m.m. och att ej
längre konstruktionslinier än 200 m.m. förekomma, så kan
(under temligen ogynsamt läge af excentricitetslinien) den
spetsiga (basen motstående) vinkeln uti en likbent triangel,
hvars bas är 0,1 och hvars båda lika sidor äro 200 m.m.
antagas såsom gräns för det tillåtna, excentriciteten
motsvarande vinkelfelet. Betecknas längden af en triangelsida
på terrängen med l och den största tillåtna
excentriciteten (afståndet mellan punkten på terrängen och lodlinien
som går genom punkten på taflan) med x, så är,
alldenstund felgränstriangeln på taflan skall vara likformig med
feltriangeln på terrängen, x = 0,1 l∕200 = l∕2000.
För l = 100 meter skulle den tillåtna excentriciteten vara 50 m.m. Vid grofva
dioptrar kan den saklöst vara ännu större.
Taflans lutning utöfvar för mindre lutningsvinklar så
ringa inflytande, att den vid mätning i plan terräng med
erforderlig noggrannhet kan efter ögat horisonteras.
I kuperad terräng deremot är en noggrannare horisontering
nödvändig; dock är inställning med ett dosvattenpass, när
terrängen ej är synnerligen kuperad, i allmänhet tillfyllest.
Om nål användes i stationspunkten på taflan, så
kommer linialen att afvika från punkten med nålens halfva
diameter. Det häraf föranledda felet blir ganska stort, om ej
en synnerligen fin nål användes.
Tublinialen lemnar större skärpa än diopterlinialen och
användes vanligen vid grafisk triangelmätning; dock torde
vid detaljmätning en god diopter lemna en de grafiska
uttrycksmedlen fullt motsvarande noggrannhet, på samma gång
den vid dragning af diagonaler och afskärningslinier
medgifver betydligt snabbare mätningsoperationer än tublinialen.
*
Distans- och höjdmätnings-instrument.
154. Man har på senare tider genom att åvägabringa
en förening mellan teodolit och distansmätare sökt erhålla
instrument, som skulle kunna användas vid snart sagdt alla för
praktiska ändamål förekommande mätningar. Dessa
instrument, hvaraf flera olika konstruktioner finnas och som brukar
benämnas universalinstrument eller taschyometrar, äro föremål
för mycket olika omdömen. Ehuru det nog gifves många
tillfällen, då användandet af sådane kan vara förmånligt, torde
det dock vara för tidigt att yttra sig om huruvida de kunna
påräkna någon vidsträcktare användning. Deremot torde de
sätt att förena distansmätning med höjdmätning, som enligt
Reichenbachs eller Stampfers idé utan komplicering låta
utföra sig, hafva framtiden för sig. Vi vilja derför i det
följande hufvudsakligen sysselsätta oss med dessa
kombinationer.
Reichenbachs distans- och höjdmätare.
155. Reichenbachs inrättning för afståndsbestämning
består, enligt hvad förut blifvit antydt, helt enkelt uti att
Pl.1.
Fig. 157.
två med hvarandra parallela hår äro på hvar sin sida om
midtkorset insatta uti diafragman. Denna inrättning för
afståndsbestämning kan således anbringas på hvilket
tubinstrument som helst. Vi vilja i det följande anse den
anbringad på en tublinial, emedan den vid detta instrument
torde vara mest användbar.
Fig. 137 visar en tublinial, å hvilken Reichenbachs
distansinrättning är anbringad. Tuben — vare sig
Ramsdens eller Huyghens
olämpligt inrättad för de ej centralt förlagda distanskorsen, så är
Ramsdens okular att föredraga vid distanstuber. — är på vanligt sätt vridbar kring
horisontalaxeln, d. v. s. den kan, om klämskrufven b
uppskrufvas, med fri hand och, om den tillskrufvas, med
mikrometerskrufven m inställas på föremålet. Tuben innehåller
förutom ett vertikalt tre horisontela hår. Det mellersta
hårkorset, som ligger på tubens geometriska axel, användes vid
höjdmätning, de båda öfriga, hvaraf ett ligger öfver och ett
ligger under detta, angifva afstånd. Hvardera af
distanshåren har sin justerskruf j, hvarmed det kan närmas till
eller aflägsnas från midtkorset. En graderad båge, hvars
medelpunkt ligger på horisontalaxeln, har sin nollpunkt i
midten samt är åt båda sidor graderad i halfva grader;
medelst dithörande nonie n kan afläsas på en minut när.
Ehuru ej nödvändigt, är det förenadt med åtskilliga fördelar
att hafva ett vattenpass på tuben, vare sig fixt eller löst.
Om vid planmätning med ifrågavarande instrument ej
någon nål användes, så bör detsamma på sätt fig. 137 visar
vara försedt med en parallellinial.
Vid en af herr J. P. Ljungström konstruerad
distansmätare (fig. 157, pl. 1) ligger mikrometerskrufven m under
den tandade bågen och pressas mot densamma förmedelst
en fjeder. Man behöfver här blott trycka ner skrufven, när
man vill med fri hand vrida tuben, och låta fjedern pressa
skrufven mot bågen, när man vill med skrufven inställa
tuben. Instrumentet är föröfrigt försedt med en inrättning,
som reducerar sneda afstånd till horisontela, och har med
denna inrättning, hvartill vi framdeles återkomma, förbundna
två trycknålar t, med tillhjelp af hvilka man från polnålen,
nedstucken uti någon af öglorna ö, direkt afsätter af tuben
angifna afstånd.
Vid en af herr Dahlman konstruerad distansmätare
mätes tubaxelns lutningsvinkel medelst en mikrometerskruf
enligt Stampfers idé (se Stampfers distans- och höjdmätare).
Denna skruf, som imellertid ej förmår mäta större
lutningsvinklar, kan äfvefl användas, då man vill med större skärpa
än hvad tuben förmår bestämma afstånd.
156. Teori. Om (fig. 158) på godtyckligt afstånd från
en horisontel distanstub med enkelt okular en vanlig i meter
(fot) graderad afvägningsstång uppställes, så inneslutes på
denna mellan de båda distanskorsens syftlinier en viss längd h.
Om a betecknar stångens, a͵, den uppkomna bildens afstånd
från objektivets medelpunkt samt b afståndet mellan
distanskorsen, så kan på grund af trianglarnas likformighet följande
analogi uppställas: a∶a͵ = h∶b. Häraf skulle, emedan b är
konstant och h kan afläsas, a kunna bestämmas om a͵, vore
konstant. Som imellertid a͵ varierar med a enligt relationen
1∕f = 1∕a + 1∕a͵ så blir om a͵ elimineras
Fig. 158, 159.
Man ser häraf, alldenstund f och b äro konstanta, att
det sökta afståndet minskadt med objektivets brännvidd är
proportionelt med längden h, som mellan distanskorsen afläses
på stången. f∕b är distanstubens konstant, åt hvilken man
genom att minska eller öka afståndet b kan gifva lämpligt
värde.
Formeln (165) gäller påtagligen äfven för Ramsdens
tub. Vid Huyghens tub är samlingslinsen mellan objektivet
och hårkorsen; men äfven för denna tub är a — f
proportionelt mot h; ty om (fig. 159) objektivets omodifierade bild
betraktas såsom föremål i förhållande till samlingslinsen och
man derjemte besinnar att u o v är likformig med c o d och
att u͵ o͵ v͵ är likformig med u o͵ v͵ så får man, om f"
betecknar samlingslinsens brännvidd, följande analogier:
1∕f = 1∕a + 1∕a͵, h∕a = l∕a͵
och
− 1∕x + 1∕y = 1∕f͵, l∕x = b∕y,
hvaraf
a − f = (1 − y∕f͵) (f∕b) ∙ h.
Enligt 25 är vid Huyghens okular y = f͵∕3. Insättes
detta värde på y, så erhålles
a − f = (2/3)f∕b ∙ h
Vid såväl Ramsdens som Huyghens tuber äro alltså
a — f proportionelt mot h. De skilja sig endast deruti att
konstanten för Ramsdens tub är f∕b då den för Huyghens
tub är (2/3)f∕b. Som imellertid afståndet b mellan
distanskorsen kan efter behag ändras med justerskrufvarne j, så kan
man icke destomindre justera båda sortens tuber för samma
konstant k. Vi hafva således vid horisontal syftning följande
formel för afståndsbestämningen
a = k ∙ h + f
Afståndet a mellan objektivet och stången erhålles alltså,
om afläsningen mellan distanskorsen multipliceras med k och
härtill adderas objektivets brännvidd. Huru man går till
väga för att undvika all räkning kommer i det följande
att visas.
Om afståndsbestämningen skall (fig. 160) försiggå i
kuperad terräng, så utmärkes på afvägningsstången genom en
fastklibbad pappersremsa instrumentets (kollimationsaxelns)
höjd i vid horisontel tub öfver stationspålen. Inställes
sedermera vid hvarje syftning alltid tubens midtkors på denna
remsa, så blir den mellersta syftlinien parallel med och lutar
således med samma vinkel (n o p = B A q = v) mot horisonten,
som linien, hvilken sammanbinder stationspålen med den påle,
hvarpå stången är uppstäld.
Om stången, uppstäld på en påle B, lutas så att den
bildar rät vinkel med den mellersta syftlinien o n, så erhålles
påtagligen afståndet o n enligt formeln (167) ur o n = k h͵ + f.
Uppställes stången deremot lodrätt, så afläses ej h͵, utan h
mellan distanskorsen; men som i det närmaste h͵ = h cos v, så kan, när stången står lodrätt, o n bestämmas ur o n = k h cos v + f
och, alldenstund o p = o n cos v, det mot o n svarande
horisontela afståndet x erhållas ur
hvaraf, om f sättes i stället för f cos v, något som är
tillåtligt emedan f ej öfverstiger 0,5 meter (1,7 fot), och om k h͵
eller det af tuben angifna, oreducerade afståndet betecknas
med d
x = d — d sin2 + f
Detta är den för afståndsbestämningen allmängiltiga
formeln. Den innehåller, förutom det af tuben angifna, ej till
horisonten reducerade afståndet d, två korrektionselement:
det konstanta f samt det variabla d sin² v. För huru d sin² v
bestämmes, sedan v blifvit afläst vid den graderade bågen,
skall längre fram redogöras.
Fig. 160.
Om samtidigt med en punkts afstånd dess höjd skall
bestämmas, så sker detta, när man kan syfta horisontelt på
stången, genom vanlig afvägning, d. v. s. man afläser vid det
mellersta hårkorset och subtraherar afläsningen från
instrumenthöjden — bestämd vare sig på vanligt sätt genom
bakåtsyftning på en känd punkt eller på annat sätt. När tuben
ej kan horisontelt inställas på stången, måste äfven för
höjdbestämningen tuben inställas på instrumenthöjdens märke.
Om y betecknar höjdskilnaden mellan stationspålen och
den påle, hvarpå stången är uppstäld, och x dessa pålars
horisontela afstånd, så erhålles, alldenstund o n är parallel
med A B, y ur
I kuperad terräng måste man således först bestämma
x, innan y kan bestämmas. För huru, när x och v äro kända,
x tang v bestämmes skall längre fram redogöras. y blir
positiv vid höjdvinklar och negativ vid djupvinklar. I förra
fallet måste y adderas till, i senare fallet subtraheras från
stationspålens höjd, för att den andra pålens höjd må erhållas.
157. Pröfning och justering. Förutom pröfning och
justering med hänsyn till de vilkor, hvilka enligt 143 vid
en vanlig tublinial böra uppfyllas, fordras dessutom af en
sådan, inrättad för afståndsmätning enligt Reichenbachs metod,
att distanskorsen äro på det mot den antagna konstanten
svarande afståndet, samt att ej indexfel förefinnes.
1) Distanskorsens pröfning och justering. Enligt
formeln (167) är vid horisontel tub a − f = k ∙ h, hvarvid
k = f∕b i händelse af Ramsdens tub och k = (2f)∕(3b) i händelse af Huyghens tub. För att åt k gifva det värde man önskar,
utsättes noga med kedja eller basstänger en påle på ett
bestämdt afstånd a från objektivet; sedermera beräknas ur
h = (a − f)∕k hvad som för detta värde på k i horisontel tub bör afläsas å den på pålen uppstälda stången, och slutligen flyttas
med tillhjelp af justerskrufvarne distanskorsen tills denna
afläsning erhålles. Som imellertid ej a utan a − f är
proportionelt mot h, så är, för den händelse man vill kontrollera
justeringen för flera afstånd (pröfva tubens godhet),
beqvämast att först i tubens riktning utsätta (fig. 16.1) en punkt q
på brännviddsafståndet f (vanligen 0,5 meter = 1,6 fot) från
objektivet och att sedermera från denna punkt i samma
riktning utsätta pålar på 50, 100, 150 meters (fots) afstånd.
Vill man justera tuben för konstanten 100 (den mest
använda), så skall å den vid sistnämnde pålar uppstälda
stången mellan distanskorsen afläsas respektive 50, 100, 150
centimeter (linier) etc., eller i allmänhet lika många
centimeter (linier) som antalet meter (fot) mellan q och stången.
Afläses för mycket eller för litet, så måste distanskorsen
förmedelst justerskrufvarne j närmas till eller aflägsnas från
hvarandra. Då man har i sin makt att flytta hvardera
distanskorset oberoende af det andra, kan det vara
förmånligt att lägga dem symmetriskt i förhållande till midtkorset;
man kan då, när ett af distanskorsen är undanskymdt, t. ex.
af en trägren, begagna midtkorset i förening med det andra
för afståndsbestämningen, dock i så fall under användning
af konstanten 2 k. Har justeringen sålunda blifvit verkstäld
vid en påle, så skall man, när stången uppställes vid
följande pålar, finna att det genom tuben bestämda afståndet
i allmänhet stämmer med det uppmätta och att, när på 200
meters afstånd stången flyttas 0,5 meter fram eller tillbaka,
afläsningen blir 0,5 centimeter större eller mindre, om tuben
är god.
Det säger sig sjelf, att man vid justeringen måste skarpt
inställa tuben, så att ej någon parallax förefinnes [eljest
afläser man (fig. 158) h oriktigt] och att stången (med tillhjelp
af vattenpass eller pendel) bör hållas lodrätt.
En del författare förorda en mindre konstant än 100.
Det lider ock intet tvifvel, alldenstund noggrannheten vid
afståndsbestämningen kan sägas vara omvändt proportionel
mot konstanten, att icke en mindre konstant, exempelvis 70,
lemnar vid en väl akromatiserad tub större skärpa än 100;
dock bör, emedan distanskorsen då komma på så stort
afstånd från tubens axel, att aberrationer inträda, om det
åsyftade målet skall fullt vinnas, hvardera korset hafva sitt
särskilda okular. Konstanten 100 är imellertid den
beqvämaste; den utesluter all räkning vid bestämning af k · h, och
är dessutom den mest användbara i händelse af samtidig
höjdbestämning. Dock kan på sätt, som framdeles skall visas,
räkning äfven undvikas för produkten k · h vid andra
värden på k.
158. Instrumentets användning vid samtidig plan- och
höjdmätning. Man kan med en god distanstub beherrska
en cirkel med 200 meters (600 à 700 fot) radie, och enstaka
mindre vigtiga punkter kunna på betydligt större afstånd —
ända till 300 meter — bestämmas. Vid planmätning med
distanstub fordras ett stadigt, mätbord, som i händelse af
samtidig höjdmätning måste vara försedt med ställskrufvar för
noggrann horisontering af taflan.
Sedan man med påle utmärkt en passande stationsplats
— helst sådan, att man på samma gång står centralt och
får syfta under så små lutningsvinklar som möjligt —
uppställes och orienteras mätbordet på förut anfördt sätt öfver
denna påle. Som vid mätning med distansmätare,
isynnerhet vid höjdmätning, taflan måste noggrannare horisonteras
än hvad vid mätning med afskärningar är nödigt, så bör ej
dosvattenpass utan rörvattenpass härför användas.
Mätning med horisontel tub. För att i händelse af
plan terräng bestämma en punkt, hvilken som helst,
uppställer stångföraren den med pendel eller dosvattenpass försedda
stången lodrätt på denna punkt, och observatorn afläser med
horisontel tub samt med linialkanten, vid stationspunkten
på taflan
tubens inriktning beröra, utan blott ligga erforderligt nära stationspunkten.
den längd som distanskorsen innesluta på
stången. För att underlätta distansafläsningen kan man, sedan
höjdafläsningen vid det mellersta hårkorset blifvit gjord,
vrida tuben, så att ett af distanskorsen komma på jemn
decimeter (tum). Det projektionsfel, som härvid begås är
utan all betydelse. Afståndet mellan objektivet och stången
fås ur a = k h + f. Om derför f = 0,5 meter (1,5 fot) och
(fig. 161) halfva tublängden l∕2 är 0,2 meter (0,7 fot), så
erhålles afståndet A mellan stationspuntkten S och stången i
meter vid en härför graderad stång ur
och i fot vid en härför graderad stång ur
För att, sedan h blifvit afläst, undvika räkning vid
bestämning af k h, kan man ställa till på något af följande sätt:
1) Man använder konstanten 100 och betjenar sig af
en vanlig i centimeter (linier) graderad afvägningsstång.
Afståndet A fås då i meter (fot) om till h, afläst i
centimeter (linier), adderas 0,7 meter (2,3 fot). Konstanten 100 är
den beqvämaste och den vid samtidig höjdmätning mest
användbara; den medgifver dock ej fullt samma noggrannhet,
som en något mindre konstant, exempelvis 70.
2) Om instrumentet är justeradt för konstanten k, så
undvikes räkning om stången i stället för i centimeter (linier)
graderas med delningsafståndet 100∕k centimer (linier). A fås
då påtagligen i meter (fot), om till det mellan distanskorsen
aflästa antalet sådane enheter adderas 0,7 meter (2,3 fot).
Stången biir endast för k=100 tjenstbar för afvägning.
Man bör derför i förevarande fall hafva en annan sida af
stången graderad i centimeter (linier).
3) Om instrumentet är justeradt för konstanten k, så
kan, äfven, när en i centimeter (linier) graderad stång
användes, räkning undvikas, om i stället för den vanliga
skalan i centimeter (linier) en annan användes, som är graderad
med enheten k∕100. I så fall måste före afsättningen det.
konstanta värdet (k∕100)∙0,7 meter [(k∕100)∙2,3 fot] adderas till
i stället för 0,7 meter (2,3 fot). I detta fall kan
höjdbestämning ega rum på vanligt sätt med horisontel tub eller vid svag
lutning, men ej — man erhåller ej (se det följande)
siffervärdet på det horisontela afståndet — med starkt
lutande tub.
Sedan A på något af ofvannämnde sätt är funnet,
afsättes det från stationspunkten utefter linialkanten — och
den sökta punktens läge är funnet.
För att i plan terräng bestämma punktens höjd, har
man blott att med horisontel tub afläsa vid midtkorset och
att draga denna afläsning från instrumenthöjden, som förut
blifvit bestämd genom bakåtsyftning eller, om stationspålens.
höjd är gifven, genom att man ökat denna höjd med
instrumentets höjd öfver pålen.
Mätning med lutande tub. I allmänhet kan man ej
påräkna att få mäta med horisontel tub. I kuperad terräng
få de flesta punkter bestämmas med lutande tub. Man
inställer för alla sådane punkter midtkorset på den förut via
stången fastklistrade remsan (n i fig. 160), som angifver
instrumentets höjd öfver stationspålen, och afläser
lutningsvinkeln v samt den oreducerade distansen d.
För att underlätta distansafläsningen kan man, sedan v
blifvit afläst, utan att begå något afsevärdt fel, vrida tuben
tills det ena distanskorset kommer på jemn decimeter (tum).
En skarpare inställning på remsan (bestämning af v) är
nämligen endast nödig för höjdmätningen.
För f = 0,5 meter och halfva tublängden lika med 0,2
meter fås enligt det föregående det sökta afståndet A i meter
(vid motsvarande gradering af stången) ur
och i fot (vid motsvarande gradering af stången) ur
d, som härvid betecknar produkten k · h, afläses
omedelbart, om man har anordnat enligt något af de tre härför
nyss anförda sätten. Det återstår således att bestämma d sin² v.
Som en blyerzlinies bredd i skalorna 1/1000, 1/4000, 1/1000,
ungefär motsvarar 0,1 meter, 0,4 meter, 1 meter, etc., så
kan d sin² v försummas när ej större värden på v
förekomma än att d sin² v understiger det liniebredden i skalan
motsvarande talet. Följande olika sätt må anföras för
bestämningen af d sin² v.
α) Professor Wild i Zürich använder följande tabell,
hvars fyra första kolumner, innehållande värden på 100 sin² v
för gifna värden på v, afse ifrågavarande korrektion, och
hvars två sista kolumner, innehållande värden på 100 tang v.
för gifna värden på v, afser höjdbestämningen. Tabellens
användning torde lämpligast belysas genom ett exempel.
+===========================================+================+
| 100 sin² n | 100 tang n |
+———————————————————————————————————————————+————————————————+
| 0° 0′ 0.0 9° 1′ 2.5 12° 52′ 5.0 15° 51′ 7.5 | 1° 1.7 10′ 0.3 |
| 1 24 0.1 12 2.6 13 0 5.1 57 7.6 | 2 3.5 12 0.3 |
| 2 17 0.2 23 2.7 8 5.2 16 4 7.7 | 3 5.2 14 0.4 |
| 55 0.3 34 2.8 15 5.3 10 7.8 | 4 7.0 16 0.5 |
| 3 26 0.4 44 2.9 23 5.4 17 7.9 | 5 8.7 18 0.5 |
| 53 0.5 54 3.0 31 5.5 23 8.0 | 6 10.5 20 0.6 |
| 4 17 0.6 10 4 3.1 38 5.6 29 8.1 | 7 12.3 22 0.6 |
| 39 0.7 14 3.2 46 5.7 36 8.2 | 8 14.1 24 0.7 |
| 5 0 0.8 24 3.3 53 5.8 42 8.3 | 9 15.8 26 0.8 |
| 19 0.9 34 3.4 14 0 5.9 48 8.4 | 10 17.6 28 0.8 |
| 37 1.0 43 3.5 8 6.0 54 8.5 | 11 19.4 30 0.9 |
| 55 1.1 52 3.6 15 6.1 17 1 8.6 | 12 21.3 32 0.9 |
| 6 11 1.2 11 2 3.7 22 6.2 7 8.7 | 13 23.1 34 1.0 |
| 27 1.3 11 3.8 29 6.3 13 8.8 | 14 24.9 36 1.0 |
| 42 1.4 20 3.9 36 6.4 19 8.9 | 15 26.8 38 1.1 |
| 56 1.5 29 4.0 43 6.5 25 9.0 | 16 28.7 40 1.2 |
| 7 10 1.6 38 4.1 50 6.6 31 9.1 | 17 30.6 42 1.2 |
| 24 1.7 46 4.2 57 6.7 37 9.2 | 18 32.5 44 1.3 |
| 37 1.8 55 4.3 15 4 6.8 43 9.3 | 46 1.3 |
| 50 1.9 12 3 4.4 11 6.9 49 9.4 | 48 1.4 |
| 8 3 2.0 11 4.5 18 7.0 55 9.5 | 50 1.5 |
| 15 2.1 20 4.6 25 7.1 18 1 9.6 | 2′ 0.1 52 1.5 |
| 27 2.2 28 4.7 31 7.2 6 9.7 | 4 0.1 54 1.6 |
| 39 2.3 36 4.8 38 7.3 12 9.8 | 6 0.2 56 1.6 |
| 50 2.4 44 4.9 44 7.4 18 9.9 | 8 0.2 58 1.7 |
Om mellan distanskorsen aflästs 167. och vinkeln
befunnits vara 5°10′, så är afståndets korrektion 167 sin² 5°10′.
I tabellen synes, att för v mellan 5° och 5°19′
korrektionstalet för 100 meter (fot) är 0,8 meter (fot). Det är
således för 167 meter (fot) 0,8 · 1,67 = 1,34 meter (fot). Man
behöfver imellertid vid multiplikationen aldrig taga med mer
än de båda första siffrorna, och i de flesta fall är det
tillfyllest att göra reduktionen för jemna 50-tal i händelse af
fot. Nämnde multiplikation inskränker sig derför till en
ögonblickligt utförd hufvudräkning. Det reducerade
afståndet uti förevarande exempel blir således,för d = 167 meter:
167 — 1,3 + 0,7 = 166,4 meter och för d = 167 fot:
167 — 1,3 + 2,3 = 168 fot. Den häremot i mätskalan [uti den
reducerade skalan i händelse att k h bestämmes enligt 3)] svarande
längden afsattes sedan från stationspunkten utefter
linialkanten — och punkten är kartlagd.
För att enligt formeln y = A tang v bestämma
punktens höjd, begagnar man de två sista kolumnerna. Af dem
synes, att för A = 100 svarar mot v = 5° y = 8,7 och mot
v = 10′ y = 0,3. För A = 100 svarar derför mot v = 5°10′
approximativt men tillräckligt noga y = 8,7 + 0,8 = 9. För
A = 166,4 och v = 5°10′ är alltså y = 9 · 1,66 = 14,94. Är
stationspålens höjd 157,60, så är den observerade punktens
höjd 157,60 + 14,94 = 172,54. Detta tal uppskrifves vid
punkten. Det säger sig sjelf, att man på samma sätt kan
genom syftning på en känd punkt bestämma stationspålens höjd.
Det må erinras, att y adderas till eller subtraheras från
stationspunktens höjd, allt efter som v är höjdvinkel eller
djupvinkel, men att, när stationspunktens höjd sökes, y
adderas till eller subtraheras från den observerade punktens höjd,
allt efter som v är djupvinkel eller höjdvinkel.
Professor Wild betjenar sig äfven af, en af honom
konstruerad logaritmtumstock för att göra ifrågavarande
korrektion.
β) Professor Jordan i Karlsruhe använder för att
omedelbart erhålla det reducerade afståndet ett diagram (fig. 162),
hvars konstruktion och användning lämpligast torde visas
genom ett exempel. Om v = 12° och d = k · h, afsatt i den
skala hvari man mäter, motsvaras af linien a b i
diagrammet, så motsvarar längden b c eller punktens b afstånd till
linien a c värdet d cos² 12° = d — d sin² 12°; ty strålen a b
bildar ej såsom besiffringen antyder en vinkel af 12° med
linien a x, utan är dragen under sådan vinkel med a x, att
a b cos x a b = a b cos² 12°. Betecknas den verkliga vinkeln i
diagrammet med α och den besiffrade vinkeln (den aflästa
lutningsvinkeln) med v, så existerar alltså relationen
Sedan man alltså uti deri skala, hvari mätningen
försiggår [uti en häremot svarande reducerad skala, i händelse
att k h bestämmes enligt 3)] tagit d såsom passöppning,
afsättes d från a på den stråle, som är besiffrad med det
aflästa gradtalet, och afståndet från den så bestämda
punkten till a c transporteras sedan med passaren från
stationspunkten utefter linialkanten. För att det konstanta
tillskottet 0,7 meter (2,3 fot) må medtagas, kan a c flyttas dess i
skalan motsvarande längd till venster.
I och för uppritandet af ett sådant diagram innehåller
följande tabell hvarandra motsvarande värden på v, α och
tang α.
+=====+========+========++=====+========+========+
| v | α | tang α || v | α | tang α |
+—————+————————+————————++—————+————————+————————+
| 0° | 0° 0′ | 0,0000 || 10° | 14° 6′ | 0,2512 |
| 1 | 1 27 | 0,0253 || 11 | 15 30 | 0,2773 |
| 2 | 2 48 | 0,0489 || 12 | 16 55 | 0,3041 |
| 3 | 4 15 | 0,0743 || 13 | 18 19 | 0,3310 |
| 4 | 5 39 | 0,0989 || 14 | 19 43 | 0,3584 |
| 5 | 7 4 | 0,1240 || 15 | 21 5 | 0,3855 |
| 6 | 8 29 | 0,1491 || 16 | 22 29 | 0,4139 |
| 7 | 9 53 | 0,1742 || 17 | 23 51 | 0,4421 |
| 8 | 11 18 | 0,1998 || 18 | 25 14 | 0,4718 |
| 9 | 12 42 | 0,2254 || 19 | 26 37 | 0,5011 |
| 10 | 14 6 | 0,2512 || 20 | 27 59 | 0,5313 |
Man begagnar sig vid diagrammets uppritning
naturligtvis heldre af värdet på tang α än af vinkelvärdet.
Diagrammet, som är ganska beqvämt när det endast är fråga
om planmätning, lämpar sig mindre för samtidig
höjdmätning i mycket kuperad terräng. För att då erhålla
höjdskilnaden y, får man först på skalan förskaffa sig det
reducerade afståndets sifferuttryck och sedan förfara som i
föregående fall och under användning af tangenttabellen.
γ) Herr kommissionslandtmätaren Ljungström låter sin
distansmätare (fig. 157) sjelf utföra reduktionen till
horisonten. Instrumentet är nämligen försedt med en
rörelsemekanism, hvilken låter en skala bilda med linialkanten den
vinkel α, som [se föreg, fall β)] enligt formeln cos α = cos²v
svarar mot tubens vinkel v med linialens hvilplan (horisonten).
Om derför en från skalans nollpunkt vinkelrätt mot
linialkanten utgående indexlinie flyttas parallelt med sig sjelf,
tills den afskär d på skalan, så har den utefter linialkanten
och i dess riktning blifvit flyttad afståndet d cos α = d — d sin² v.
Mekanismen är på följande sätt inrättad: Skalan l, som är
vridbar kring en axel a, står genom en häfstång i
förbindelse med en tapp b. När tuben vrides, glider denna tapp
ut efter en af de båda, enligt formeln cos α = cos² v
konstruerade styrplanerna p och tvingar derigenom skalan att
bilda den vinkel α med linialkanten, som svarar mot tubens
lutningsvinkel v mot linialens hvilplan. Den utefter skalan
flyttbara nonien n är genom en slid så förbunden med
slidlinialen c, att den på samma gång kan deltaga uti skalans
och linialens (de vid linialen fastade trycknålarnes t och t͵)
rörelser. Polöglorna ö, af hvilka blott en i sänder begagnas,
måste, såvida man ej vill fasta afseende vid det konstanta
tillskottet 0,7 meter (2,3 fot) vara så placerade, att
nålspetsarne komma exakt öfver dem, när noniens och skalans
nollpunkter stå midt för hvarandra. Vill man deremot införa
detta tillskott, så låter det sig göra genom att flytta nålarne
den i skalan motsvarande längden framåt.
Instrumentet begagnas sålunda: Man sticker polnålen
genom någon af öglorna (hvilkendera beror af punktens läge
på taflan) och stationspunkten, inställer tuben på stången
(midtkorset på instrumenthöjdens märke), för nonien på det
aflästa afstånds-talet och nedtrycker den polöglan
motsvarande nålen.
Vid distanssmätning är det i allmänhet förmånligt att
hafva långa stänger (4,5 meter eller 15 fot), isynnerhet om
instrumentet är inrättadt för och stången enligt 2) är
graderad för en liten konstant.
159. Noggrannhet. Vid en Teknologiska Institutets
distanstub
än de, som vanligen användas och att den (stämplad af Frauenhofer) är
synnerligen god. Konstanten 100 har användts. tro vi oss hafva funnit, att man vid omsorgsfull
mätning kan i medeltal påräkna, att felet uppgår till ¹⁄₄₀₀ af
afståndet
mycket kuperad terräng blott ¹⁄₁₀₀ af afståndet.. I kuperad terräng vinnes måhända ej denna
skärpa. Stångens lutning mot lodlinien får nämligen i så
fall större betydelse. Det är lätt att visa att felet blir större,
om i stigande terräng stången lutas bakåt, än då den lutas
framåt, och att i fallande terräng förhållandet är motsatt.
Det ligger stor vigt vid att stången, vare sig med tillhjelp
af pendel eller dosvattenpass, hålles lodrätt, då terrängen är
kuperad och långa afstånd förekomma. Om stångtoppen
afviker med 1/50 af stånglängden från lodlinien, så äro för
följande lutningsvinklar hos kollimationsaxeln felen i % af
afståndet
0° 5° 10° 20° 30°
0,02 0,18 0,35 0,73 1,15.
En omständighet, som i någon mån minskar
noggrannheten, är ögats akommodation, tillföljd af hvilken tuben ej
alltid blir så instäld på stången, att hårkorsen komma exakt
på det afstånd a͵ som enligt den allmänna formeln för
linsen svarar mot föremålets afstånd a, hvilket i härledningen af
distansformeln förutsattes. Man bör med anledning häraf en
gång för alla noggrannt försätta okularet på det för ögat
passande afståndet från hårkorset, och vid tubens inställning
på föremålet borttaga all parallax.
Noggrannheten vid afståndsafläsningen är, då parallax ej
förefinnes, omvändt proportionel mot konstanten. Med anled-
ning häraf torde 70 — mindre konstant bör i anseende till
abberrationens inflytande på långt i sär liggande distanskors
måhända ej användas — med hänsyn till noggrannhet vara
lämpligare än den af beqvämlighetsskäl oftast använda
konstanten 100.
Vid höjdmätning med horisontel tub erhålles naturligtvis
samma noggrannhet som vid afvägning. Vid höjdmätning;
med lutande tub tro vi oss hafva funnit, att man, då
mätbordet är stadigt och väl instäldt, kan i mån efter
afståndets och höjdskilnadens storlek i medeltal bestämma
punkter rätt på 30 à 80 m.m. (10 à 25 linier) när — en
noggrannhet, som i allmänhet vid nivåkartor torde vara tillfyllest.
Stampfers distans- och höjdmätare.
160. Ehuru många år förflutit sedan professor Stampfer
i Wien konstruerade ifrågavarande instrument, så har först
på senare tider i Sverige uppmärksamheten blifvit fästad vid
detsamma. Tvifvelsutan skulle det hafva betingat sig större
användning, om Stampfer, i stället för att kringgå det fel
hvarmed hans konstruktion är behäftad genom en
afskräckande formel, sökt göra konstruktionen principielt riktig,
något som ej synes vara förenadt med svårigheter.
Innan vi beskrifva Stampfers instrument, anse vi oss
böra redogöra för den teoretiska princip, hvilken man
visserligen ej lagt, men som man enligt vårt förmenande bort
lägga till grund för Stampfers distansmätare.
161. Teori. Stampfers instrument kan användas för
afståndsbestämning, afvägning och mätning af höjder.
Om man (fig. 163) har en kring en axel c vridbar tub,
vid tubens ena ände en mätinrättning, som på bestämdt
afstånd s från c möjliggör en ytterst skarp uppmätning af det
lodlinie-element b, som inneslutes mellan de två olika lägen
ö Ö och u U, kollimationsaxeln erhåller, då den riktas på två,
å en lodad stång fastsatta signalbrickor Ö och U så har man
vilkoren för en teoretiskt riktig afståndsmätare uppfylda; ty
emedan trianglarne u c ö och U c Ö äro likformiga, så är, om
Pl. 2.>
Fig. 164.
man betecknar det sökta afståndet med A och brickornas
afstånd med a, A b = a s. Emedan s och a äro kända, så
kan A bestämmas när b blifvit uppmätt.
Stampfer införde i och för uppmätning af b en
mikrometerskruf. Betecknas skrufvens stigning med t, det antal
hvarf, som afläses vid syftning på den öfre brickan med ö
samt på den nedre med u, så blir alldenstund b = t (ö − u)
hvarvid k = s∕t är en för hvarje instrument karakteristisk
konstant, hvars storlek beror af skrufvens stigning samt
afståndet från rörelseaxeln c till den linie, utefter hvilken
skrufven verkar. Denna konstant bestämmes på sätt som längre
fram skall visas.
Om tuben icke allenast riktats på brickorna Ö och U,
utan derjemte äfven med mikrometerskrufven instälts
horisontelt, och man för dessa tre lägen af kollimationsaxeln
afläst ö, u och h, så har har man tillräckligt många bekanta
storheter för att kunna beräkna höjdskilnaden mellan
instrumentets horisont och någon af brickorna. Betecknas
höjdskilnaden mellan denna horisont och den undre brickan med z,
så har man, alldenstund triangeln h c u är likformig med e c U
samt triangeln u c ö är likformig med U c Ö, följande relationer:
hvaraf
Om den rätliniga skalans besiffring går i sådan riktning,
att ö − u alltid är positiv, så är z positiv eller negativ (i fig.
163: z positiv och z͵, negativ) allt efter som u är större eller
mindre än h, d. v. s. allt efter som den nedre brickan
ligger öfver eller under instrumentets horisont.
Vill man veta höjdskilnaden H mellan punkterna p och
J, så måste man känna instrumenthöjden i och den undre
brickans afstånd r till stångens hvilände. Äro i och r
bekanta, så kan H beräknas ur den påtagligen för alla
lutningsförhållanden gällande formeln
hvarvid är att bemärka, att a∙(u − h)∕(ö − u) blir negativ för u < h.
H blir i öfverensstämmelse med det förut sagda positiv eller
negativ (i fig. 163: H positiv och H͵, negativ) allt efter
som den observerade punkten ligger högre eller lägre än
stationspunkten.
Om höjden F af ett föremål, t. ex. af en tornspira, skall
bestämmas och tör detta ändamål den med brickor försedda
stången uppställes bredvid tornspiran, samt tuben —
instrumentet förutsattes vara uppstäldt på lämpligt afstånd —
inställes på såväl brickorna som tornspetsen och härvid
afläses u, ö och v, så har man, om afståndet mellan den undre
brickan och tornspetsen betecknas med f,
hvaraf, om afståndet mellan nyssnämnde bricka och
stångändan betecknas som förut med r
162. Detaljbeskrifning. Fig. 164 (pl. 2) visar, ett
Geologiska Byrån tillhörigt afvägningsinstrument, på hvilket
Stampfers afstånds- och
höjdmätningsskruf etc.
blifvit enligt föreskrifter af
ingeniör Börtzell
anbringad
N:o 3..
Fig. 165.
Tuben är vridbar i
vertikalplanet kring en axel d,
bestämd genom två
dubbar, hvilka passa uti
motsvarande fördjupningar hos
det ined vertikaltappen fast
förbundna understycket u.
Mikrometerskrufven m
(fig. 165) är medelst en
noggrannt utarbetad
ledgång I förbunden med
tubklåfven. Denna ledgång
tillåter, endast att skrufven
svajar i tubens
längdriktning. Den med en
graderad ring m försedda
mutterhylsan är upptill sferiskt
afrundad och verkar uti
en motsvarande
fördjupning hos understycket u. Härigenom möjliggöres för hylsan
att deltaga uti skrufvens svajning. Mellan tuben och
understycket är (fig. 164) anbringad en fjeder, som sträfvar att
vrida tubens okularände uppåt kring axeln d och som får
sin vilja fram eller ytterligare spännes, allt efter som hylsan
vrides åt ena eller andra hållet. Denna fjeder verkar
påtagligen ock till att upphäfva den döda gången hos
skrufven. Hela hvarf afläsas vid en rätlinig skala; bråkdelar
vid skrufskifvan. Skifvan är graderad i 100-delar. Vid
afläsning uppskattar man tiondedelar af delningsafståndet.
För att underlätta skarp inställning af tuben har
ingeniör Börtzell anordnat med en skruf utan ände s som griper
in i en snäcktandning hos muttern M. Denna skruf kan
genom häfstången h och en dermed i förbindelse varande
excenterskifva göras overksam, när man vill direkt vrida
muttern.
Den Stampferska konstruktionen uppfyller ej de vilkor,
som föregående teoretiska betraktelse förutsätta. Dels skära
koilimationsaxeln och axeln d ej hvarandra, dels är
skrufven så fästad vid tuben att den måste svaja då tuben
vrides, och slutligen ligger ej skrufvens anbringspunkt midt för
utan under koilimationsaxeln. Vi skola längre fram belysa
i hvad mån dessa felaktigheter inverka menligt på
mätningsresultatet.
163. Bestämning af instrumentets konstant. Man
uppmäter med noggrannhet och helst under användning af
basstänger en linie om 300 meter eller mer och betecknar hvar
30:de eller hvar 50:de meter med en sticka; ställer sedan
upp instrumentet, så att (tuben värd åt de utsatta stickorna)
tubens ledaxel d, kring hvilken tuben kan vridas, kommer
lodrätt öfver utgångspunkten. För att härvid, hastigt kunna
ställa vertikaltappen lodrätt, bör man förut hafva instält
mikrometerskrufven för den afläsning, som svarar mot
vattenpassets och vertikaltappens mot hvarandra vinkelräta lägen.
När linien blifvit uppmätt och
instrumentet uppstäldt, återstår innan
mätinngsoperationerna begynna att så
fästa brickorna vid stången, att
afståndet a mellan deras syftränder
blir mycket noga bestämdt (dessa
äro (fig. 166) lämpligen svarta och
hvita och så målade, att en 10 m.m.
bred, hvit syftrand erhållits). Ju
större detta afstånd är, desto nogare
blir resultatet. Imellertid medgifver
Stampfers konstruktion ej större vridning af tuben, än att
man redan i plan terräng ej kan på afstånd under 60 meter
Fig. 166.
syfta på dessa brickor for a = 3 meter. Ehuru 3 meter
(10 fot) i allmänhet är lämplig, måste man derför vid
kortare afstånd åtnöja sig med 2 à 2,5 meter. Det kan
derför vara förmånligt att hafva tre brickor på stången.
Sedan ofvannämnde förberedelser blifvit gjorda, börjas de
egentliga operationerna i och för konstantbestämningen.
Stångföraren uppställer för detta ändamål stången vid
stickorna i den ordning de följa och gifver åt den medelst en
lodpendel eller ett dosvattenpass en lodrät ställning. Af vigt
är, att han under det observationerna pågå vid instrumentet
ej rubbar stången; skulle marken vara lös, är det
förmånligt om stången uppställes på en medförd tackjernssko. Vid
tubens inställning på brickorna bör man laga att detta alltid
eger rum under vridning åt samma håll på mutterhylsan och
om möjligt utan fram- och återvridning. Ehuru visserligen
fjedern skulle upphäfva död gång hos skrufven, hafva vi
dock funnit att bättre resultat erhållas, om ofvannämnde
regel iakttages. Dessutom bör man redan före den
egentliga inställnipgen hafva upphäft all parallax, så att någon
in- eller utskrufning af okulartuben ej förekommer mellan
de båda syftningarne. Vid afläsningen uppskattar man äfven
bråkdelen (i tiondedelar) af en skaldel.
Insattes de kända värdena på A, a och ö — u uti
formeln (170), så kan k beräknas ur
Upprepar man förfarandet vid hvarje sticka och söker
mediet, så har man naturligtvis utsigt att få ett skarpare
resultat. Tages slutligen mediet af samtlige de erhållna
resultaten, så erhålles den sökta konstanten, som föröfrigt med
hänsyn till skrufvens svajning och ofullkomliga gängning etc.
blir allmängiltigare i samma mån som mätningen jemnt
fördelats utefter hela skrufven. Med anledning häraf är det
förmånligt, om man haft såväl stigande som fallande terräng.
Vi hafva tyckt oss finna att konstanten ändras (ökas),
om ock obetydligt, efter rengöring af mikrometerinrättningen,
äfvensom att den ökas i den mån skrufven nötes.
Efterföljande tabell visar en af de många
observationsserier, som blifvit utförda af Teknologiska Institutets elever
med institutets Stampferska distansmätare
(afvägningsinstrument af vanlig storlek, hvarpå Stampfers skruf blifvit
anbringad). Den hör ej till de skarpaste, utan kan anses
uttrycka en medienoggrannhet. I den näst sista kolumnen
finnes afstånden beräknade med den erhållna
mediekonstanten, och i den sista felen, d. v. s. skilnaden mellan de med
basstänger noggrannt uppmätta och de med afståndsmätaren
bestämda afstånden. För afstånden 650 och 750 har tydligen
något gröfre mätningsfel blifvit begånget.
+============+========+========+=========+==========+===========+============+======+
⏐ Med basst. ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ k = ⏐ ⏐ Med konst. ⏐ ⏐
⏐ uppm. af- ⏐ ö ⏐ u ⏐ ö — u ⏐ A(ö — u) ⏐ Medel- ⏐ 325,82 be- ⏐ Fel. ⏐
⏐ stånd. ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ———————— ⏐ värde. ⏐ räknadt ⏐ ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ a ⏐ ⏐ avstånd. ⏐ ⏐
⏐————————————⏐————————⏐————————⏐—————————⏐——————————⏐———————————⏐————————————⏐——————⏐
⏐ Fot. ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ Fot. ⏐ Fot. ⏐
⏐ 200 ⏐ 23,087 ⏐ 6,813 ⏐ 16,274 ⏐ 325,48 ⏐ ⏐ 200,20 ⏐ 0,20 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐} 325,50 ⏐ ⏐ ⏐
⏐ » ⏐ 23,129 ⏐ 6,853 ⏐ 16,276 ⏐ 325,52 ⏐ ⏐ 200,18 ⏐ 0,18 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 250 ⏐ 22,786 ⏐ 9,744 ⏐ 13,042 ⏐ 326,05 ⏐ ⏐ 249,82 ⏐ 0,18 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐} 325,55 ⏐ ⏐ ⏐
⏐ » ⏐ 22,761 ⏐ 9,759 ⏐ 13,002 ⏐ 325,05 ⏐ ⏐ 258,58 ⏐ 0,42 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 300 ⏐ 18,140 ⏐ 9,443 ⏐ 8,697 ⏐ 326,14 ⏐ ⏐ 299.70 ⏐ 0.30 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐} 326,44 ⏐ ⏐ ⏐
⏐ » ⏐ 18,120 ⏐ 9,407 ⏐ 8,713 ⏐ 326,74 ⏐ ⏐ 299,15 ⏐ 0,85 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 350 ⏐ 15,174 ⏐ 7,719 ⏐ 7,455 ⏐ 326,16 ⏐ ⏐ 349,63 ⏐ 0,37 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐} 325,37 ⏐ ⏐ ⏐
⏐ » ⏐ 15,158 ⏐ 7,739 ⏐ 7,419 ⏐ 324,58 ⏐ ⏐ 351,06 ⏐ 1,06 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 400 ⏐ 15,165 ⏐ 8,623 ⏐ 6,542 ⏐ 327,10 ⏐ ⏐ 398,43 ⏐ 1,57 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐} 326,825 ⏐ ⏐ ⏐
⏐ » ⏐ 15,188 ⏐ 8,657 ⏐ 6,531 ⏐ 326,55 ⏐ ⏐ 399,10 ⏐ 0,90 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 450 ⏐ 15,134 ⏐ 7,902 ⏐ 7,232 ⏐ 325,445 ⏐ ⏐ 450,50 ⏐ 0,50 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐} 325,445 ⏐ ⏐ ⏐
⏐ » ⏐ » ⏐ » ⏐ » ⏐ » ⏐ ⏐ 450,50 ⏐ 0,50 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 500 ⏐ 15,163 ⏐ 8,642 ⏐ 6,521 ⏐ 326,05 ⏐ ⏐ 499,65 ⏐ 0,35 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐} 326,20 ⏐ ⏐ ⏐
⏐ » ⏐ 15,191 ⏐ 8,664 ⏐ 6,527 ⏐ 326,35 ⏐ ⏐ 499,20 ⏐ 0,80 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 550 ⏐ 15,197 ⏐ 9,268 ⏐ 5,929 ⏐ 326,09 ⏐ ⏐ 549,37 ⏐ 0,63 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐} 326,09 ⏐ ⏐ ⏐
⏐ » ⏐ 15,194 ⏐ 9,265 ⏐ 5,929 ⏐ 326,09 ⏐ ⏐ 549,37 ⏐ 0,63 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 600 ⏐ 15,539 ⏐ 10,117 ⏐ 5,422 ⏐ 325,32 ⏐ ⏐ 600,92 ⏐ 0,92 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐} 325,77 ⏐ ⏐ ⏐
⏐ » ⏐ 15,550 ⏐ 10,113 ⏐ 5,437 ⏐ 326,22 ⏐ ⏐ 598,66 ⏐ 1,34 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 650 ⏐ 15,752 ⏐ 10,719 ⏐ 5,033 ⏐ 327,145 ⏐ ⏐ 647,37 ⏐ 2,63 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐} 326,30 ⏐ ⏐ ⏐
⏐ » ⏐ 15,729 ⏐ 10,722 ⏐ 5,007 ⏐ 325,455 ⏐ ⏐ 650,71 ⏐ 0,73 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 700 ⏐ 15,968 ⏐ 11,309 ⏐ 4,659 ⏐ 326,13 ⏐ ⏐ 699,34 ⏐ 0,66 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐} 326,305 ⏐ ⏐ ⏐
⏐ » ⏐ 15,971 ⏐ 11,307 ⏐ 4,664 ⏐ 326,48 ⏐ ⏐ 698,59 ⏐ 1,41 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 750 ⏐ 16,419 ⏐ 12,090 ⏐ 4,329 ⏐ 324,675 ⏐ 324,675 ⏐ 752,64 ⏐ 2,64 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 800 ⏐ 16,792 ⏐ 12,711 ⏐ 4,031 ⏐ 326,48 ⏐ ⏐ 798,38 ⏐ 1,62 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐} 325,88 ⏐ ⏐ ⏐
⏐ » ⏐ 16,773 ⏐ 12,707 ⏐ 4,066 ⏐ 325,28 ⏐ ⏐ 801,33 ⏐ 1,33 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 850 ⏐ 16,146 ⏐ 12,331 ⏐ 3,815 ⏐ 324,275 ⏐ 324,275 ⏐ 851,42 ⏐ 1,42 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 900 ⏐ 15,988 ⏐ 12,364 ⏐ 3,624 ⏐ 326,16 ⏐ ⏐ 890,06 ⏐ 0,94 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐} 326,205 ⏐ ⏐ ⏐
⏐ » ⏐ 15,969 ⏐ 12,344 ⏐ 3,625 ⏐ 326,25 ⏐ ⏐ 898,81 ⏐ 1,19 ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ 950 ⏐ 96,036 ⏐ 12,599 ⏐ 3,435 ⏐ 326,325 ⏐ 326,325 ⏐ 948,53 ⏐ 1,47 ⏐
⏐ +——————————+———————————+————————————+——————⏐
⏐ k = 5213,155∕16 = 325,82 ⏐
164. Afståndsbestämning. Ehuru visserligen större
noggrannhet ernås med Stampfers än med Reichenbachs
afståndsmätare, så lämpar sig den förra mindre för grafisk
planmätning än den senare; deremot är det synnerligen förmånligt
att hafva Stampfers distansskruf anbringad på
afvägningsinstrument med anledning af dess förmåga att med ganska
stor skärpa angifva afstånd, att möjliggöra ett vid många
tillfällen förmånligt höjdmätningssätt samt att i egenskap af
skruf för partiel inställning af vattenpasset underlätta den
vanliga afvägningen.
Afståndsmätning mellan två punkter med ifrågavarande
instrument består uti att uppställa instrumentet (tubens
ledaxel d) öfver den ena punkten, att inställa tuben medelst
mikrometerskrufven på den vid andra punkten (med
dosvattenpass eller pendel) lodrätt uppstälda stångens båda
brickor samt att i formeln insätta de aflästa värdena ö och u
och derefter beräkna A. Afståndet a mellan brickorna är
under vanliga förhållanden lämpligast 3 meter (10 fot). I
händelse af 3 meter blir formeln för Tekn. Inst:s instrument.
Det säger sig sjelf, att stora afstånd bestämmas med större
skärpa ju längre i sär brickorna äro. Föröfrigt har man
sannolikhet för att erhålla resultatet skarpare i samma mån
som det framgår som medium af flera observationer.
Skola från samma punkt afstånden till flera punkter i
olika riktningar bestämmas, så ställes vertikaltappen lodrätt
öfver stationspunkten; och vill man vara noga, så adderas
afståndet (omkring 70 m.m.) mellan tappen och tubens
horisontela ledaxel till det erhållna värdet på A. Föröfrigt hafva
stångföräre och observator att iakttaga de föreskrifter, som
redan (i 163) äro gifna.
En olägenhet vid Stampfers konstruktion är, att det
endast behöfver ifrågakomma temligen obetydligt
kuperad terräng, för att instrumentet skall vara omöjligt att
använda
förekommer, måste man för afstånd under 200 fot äfven i plan terräng använda
ett mindre afstånd mellan brickorna än 10 fot..
Visserligen kan man, när mikrometerskrufven ej
räcker till, vrida tuben i riktning mot stången medelst någon
af fotskrutvarne och sedan företaga observationerna; men
det säger sig sjelf, aldenstund mikrometerskrufven då vikes
ur lodlinien, att detta endast kan tillåtas inom temligen
inskränkta gränser, såvida man något så när vill emotse den
noggrannhet, som instrumentet eljest lemnar.
Med ett godt instrument kunna vid klar luft, lämpliga
brickor och under i öfrigt gynsamma förhållanden afstånd
om 2000 à 3000 meter bestämmas.
165. Noggrannhet vid afståndsmätning. Föregående
tabell gifver ett begrepp om den noggrannhet som vid
Teknologiska institutets Stampferska afståndsmätare blifvit ernådd.
Såsom resultatet af flera sådane serieobservationer, företagna
på afstånd från 50 till 300 meter, framgår att felet i
medeltal uppgår till 1/100 af afståndet. Dessa serier antyda för
öfrigt att denna noggrannhet äfven kan påräknas då
afstånden öfverstiga 500 meter och att noggrannheten långsamt
aftager för tilltagande afstånd, så länge brickornas syftränder
synas tydligt — isynnerhet om brickafståndet ökas, t. ex.
till 4 à 5,5 meter. Betydligt skarpare resultat än de ofvan
uppgifna kunna erhållas, om medium tagas af flera
observationer och om särskildt afseende fästes vid de olika
gängornas stigning. Härför erfordras en noggrann undersökning
af skrufven.
Skulle man med Stampfer antaga, att fel endast
uppkomma af att ö − u är felaktig, så erhålles, om ö − u
betecknas med y och y = k∙a∕A differentieras, dy = (k a∙dA)∕A²,
hvaraf
Af denna formel framgår att felet ökas med qvadraten
på afståndet och att det minskas i samma mån som a ökas.
Antages med Stampfer dy = 0,003 af skrufvens stigning, så
erhålles, om felet dA ur ofvannämnde formel beräknas,
betydligt större noggrannhet än den ofvan antydda. För a = 12
fot skulle enligt en af Stampfer beräknad tabell felen vid
afstånden 100, 600, 1200 och 2400 fot blefvo 0,01, 0,27,
1,08 och 4,44 fot. Vi hafva ej funnit denna lag bekräftad,
och anse såsom orsak härtill, att dy vid konstant brickafstånd
påtagligen blir större vid korta än vid långa afstånd — ju
närmre stången flyttas, desto flera hvarf behöfver vridas och
desto mer inverkar skrufvens felaktighet samt svajning —
samt att, äfven för den bästa skruf, som kan åstadkommas,
det antagna värdet på dy är för litet. Bauernfeind antager
på grund af försök med ett i Wien tillverkadt instrument
dy = 0,005, af stigningen, ett resultat, som något så när
öfverensstämmer med de resultat, som profmätningar med
Teknologiska Institutets instrument lemnat.
Af vigt är att stången hålles lodrätt. Lutar den med
vinkeln v mot lodlinien, så fås felet ur
166. Höjdmätning. Skall man i öfverensstämmelse
med 161 höjdmäta med Stampfers instrument, så måste man
först öfvertyga sig att vattenpassets axel och syftlinien äro
parallela. För öfrigt söker man äfven nu inställa tuben på
de båda brickorna samt i horisonten under vridning åt
samma håll samt om möjligt utan fram och återvridning, och
beräknar sedan enligt formeln (172) höjdskilnaden H mellan
stationspunkten och den
punkt hvarpå stången
är uppstäld.
Fig. 167.
Om man under
användning af
ifrågavarande höjdmätningssätt
vill göra en
linieafvägning, så är det
lämpligast att använda
framåt- och bakåtsyftning.
Kallas som förut
instrumenthöjden för i, och den
och den undre brickans
afstånd från stångens
hvilande för r, så är
(fig. 167) enligt formeln
(172), om exponenten f antyder framåtsyftning och
exponenten b bakåtsyftning, höjdskilnaden
Emedan formeln gifver dessa höjdskilnader med olika
tecken (höjdskilnaden mellan 0 och J negativ, emedan 0
ligger lägre än J, deraf u − h negativ), men det enligt
fig. 167 påtagligen är genom addition af deras numeriska
värden, som höjdskilnaden H′ mellan 0 och 1 erhålles, så
måste − sättas mellan dem, således
eller
Om man på likartadt sätt fortsätter att resonera, så
skall man inse, att höjdskilnaden mellan den första och den
n:te punkten fås ur
Man finner alltså höjdskilnaden mellan två punkter,
hvilka som helst, om man från summan af alla
framåtsyftningarne subtraherar summan af alla bakåtsyftningarne, der-
vid iakttagande, att inom hvardera summan (u − h)∕(ö − u) sättes
negativ för alla de syftningar, vid hvilka u < h. För öfrigt
ligger slutpunkten högre eller lägre än utgångspunkten, allt
efter som Hn blir positiv eller negativ.
Enligt detta höjdmätningssätt kunna från en station
betydliga nivåskilnader bestämmas. Ingeniör Börtzell har på
ett afstånd af 11000 fot med en station höjt sig 1000 fot.
167. Noggrannhet vid detta höjdmätningssätt. Om man
för att undersöka i hvad mån felaktigheter hos u − h och
ö − u inverka på värdet af
differentierar denna eqvation och dervid betecknar u − h
med x och ö − u med y, så fås
dH = a∙(y dx − x dy)∕y²,
eller för det ofördelaktiga antagandet dx = −dy, om
värdena på x och y insättas
Af ofvanstående formel framgår, att felet dH ökas, när
h − ö, d. v. s. när höjden ökas, vidare att dH ökas, när
ö − u minskas, d. v. s. när afståndet ökas. Under
förutsättning af samma värde på h − ö ökas dH (A inverse
proportionel mot ö − u} med qvadraten på afståndet. Deremot
blir enligt samma formel dH mindre i samma mån som a
ökas, ty ö − u ökas i samma proportion som a, men dH
minskas med qvadraten på ö − u.
Antages a = 3 meter och dy som förut 0,005 af
skrufvens stigning, så befinnes för h − ö = 15, det största värde
som ö − h kan få vid Teknologiska Institutets instrument,
och för ö − u = l, 2, 3, etc. eller de häremot svarande
afstånden 977,46, 488,73, 244,36, etc. meter dH vara 225,
56, 25, etc. m.m.
Vi hafva kommit till dessa resultat under de
ofördelaktigaste antaganden. Verkstälda profmätningar vid
Teknologiska institutet hafva visat bättre resultat och att man när
medium tages af flera observationer kan med ett godt
instrument vid lika långa framåt- och bakåtsyftningar, åtminstone
då de ej öfverstiga 800 meter, nästan påräkna samma
noggrannhet som vid vanlig afvägning.
Om korrektionen för refraktionen och jordytans
buktighet, se mätningsläran.
168. Konstruktionsfelen vid Stampfers distansmätare.
Stampfer och alla författare som beskrifvit hans instrument
utveckla dess teori sålunda: Utan märkligt fel kan (fig. 163)
sättas a = A tang α; men som α, är en mycket liten vinkel,
så kan tang α anses vara proportionel mot ö − u eller
ö − u = k tang α. Häraf formeln (170). Denna formel säges
vara approximativ. Genom att uppställa Stampfers
konstruktion som högsta princip har man således åsidosatt den enkla
princip, för hvilken ofvannämnde formel enligt föregående är
ett riktigt uttryck. Häraf kan man ock förklara hvarför
Stampfer sökt finna en noggrannare, om ock mycket
komplicerad formel
obetydligt tabellverk upprättas för hvarje instrument, utesluta vi. Den är
äfven om man har ett sådant tabellverk besvärlig att använda. för sitt instrument, i stället för att
konstruera det enligt formeln (170). Detta är såvidt oss synes
ej förenadt med svårigheter. Man kan undvika skrufvens
svajning, om man, i stället för att med ledgång direkt
förbinda skrufven med tuben, på samma sätt förbinder den
med en liten klots, som, allt efter som skrufven
kommenderar, kan glida på tuben i kollimationsaxelns riktning.
Anbringar man derjemte mikrometerskrufven vid en hylsa, som
är flyttbar på och kan fastläsas vid en i skrufvens riktning
från tapptvärstycket parallelt med tappen utgående spindel,
så möjliggöres afståndsmätning i huru kuperad terräng som
helst, utan att skrufven behöfver vara längre än förut.
Om tubens ledaxel ej skär kollimationsaxeln, utan, som
oftast är fallet, är anbringad såsom i fig. 164, så uppkommer
ett fel — kollimationsaxeln kommer att svaja på en cirkel.
Detta konstruktionsfel utöfvar vid små lutningar ej något
märkbart inflytande, men torde vid nyss antydde
konstruktion — hvilket påtagligen lätt låter sig göra — böra undvikas.
Fig. 168.
Om slutligen skrufvens
ledaxel ej skär kollimationsaxeln
utan såom i fig. 165 ligger
under densamma, så är
instrumentet äfven felaktigt. Är
det lodräta afståndet (fig. 168)
mellan dessa axlar vid horisontel
tub r, så är det, när
tuben lutar med vinkeln vmot
horisonten, r∕cos v. Skrufven har således ej kommit att mäta
afståndet r∕cos v − r. Äfven detta fel kan undvikas.
*
Instrument för ytmätning.
169. Vid en karta, som blifvit genom grafisk
mätning upprättad, måste egovidders ytinnehåll uttagas på kartan.
Detta sker under användning af instrument, som antingen
direkt eller ock indirekt i förening med räkneoperationer
gifva ytinnehåll.
Poletten jemte hjelpmedel.
170. Poletten utgöres af en 6 m.m. tjock glasskifva,,
hvars ena sida är öfverdragen med ett rutnät. Detta
rutnät, som är åstadkommet genom etsning och sedermera
tydliggjordt genom ifyld färg eller svärta,
bör helst bestå af qvadratiska rutor;
och hvarje ruta skall vara
en ytenhet, vare sig l qv.-m.m.
(l qv.-linie) eller mätskalans
ytenhet, i hvilket senare fall all
reduktion undvikes.
Fig. 169 — 171
Fig. 169 visar en del af en
millimeterpolett (hvarje liten ruta
4 qv.-m.m., hvarje stor 100 qv.-m.m.);
fig. 170 en del af
landtmäteripoletten (hvarje liten ruta 25 qv.-st.,
hvarje stor 1 qv.-ref) och fig. 171
en del af den polett som
begagnas vid ekonomiska kartverket
(hvarje liten ruta 10 qv.-st., hvarje stor 1 qv.-ref); de båda
sista för skalan 1∶4000 (åkerskalan).
När poletten skall användas, så lägger man den etsade
sidan mot papperet, under aktgifvande på att så många hela
rutor som möjligt af figuren inneslutas och att poletten för
öfrigt får ett läge, som medför lättnad i de följande
operationerna och ett godt resultat. Man tager en penna, doppad
i tusch, och utmärker på sätt fig. 169 visar, i det man
samtidigt räknar hvarje större ruta med ett kors, räknar sedan
antalet enhetsytor, i det man "plumpar" för hvarje
medtagen ruta, och slumpar efter ögonmått tillsammans bråkdelar
af rutor. Har figuren sålunda blifvit en gång uppmätt,
gifver man poletten ett annat läge och verkställer en ny
uträkning. Öfverstiger ej skilnaden mellan de båda resultaten
det tillåtna gränsfelet, så tages deras aritmetiska medium
såsom den sökta arean.
"Plumpning", som är ett långsamt och tröttande
mätningssätt och som fordrar vana vid polettens placering, torde
numera få anses höra till en öfvervunnen ståndpunkt.
171. Ytmätning med passare och cirkel. Figurer med
rätliniga konturer indelas uti fyrhörningar och trianglar,
hvilkas areor beräknas sedan erforderliga höjder och baser
blifvit med passare och skala uppmätta.
Figurer med krokliniga konturer indelas på sätt fig. 172
visar uti parallela remsor af konstant bredd. Adderas dessa
remsors medelhöjder (i hvarje remsa
afståndet mellan de streck, som så
dela konturlinien att tillskottsfiguren
blir lika stor med afdragsfiguren) med
passaren och deras summa
multipliceras med den konstanta bredden, så
erhålles figurens area. Är bredden en
viss längdenhet, så angifves
medelhöjdernas summa arean uttryckt uti
motsvarande ytenhet. Additionen af
medelhöjderna verkställes med passaren
genom att man ökar föregående
passöppning med remshöjden i fråga, och så förfar undan för
undan tills öppningen innehåller summan af samtlige
remshöjderna.
Fig. 172.
Littmarcks polettcirkel och Liedbecks ytberäknare, båda
uppfunna i Sverige, ersätta passaren och skalan samt fordra ej,
alldenstund de begagnas i förening med poletten, att figuren
indelas i parallela remsor. Vi anse oss endast böra redogöra
för den sistnämnda, hvilken, ehuru den ej synes vara känd
utom Sverige, dock hos oss har funnit en temligen vidsträckt
användning.
Pl. 3.
Fig. 176-178.
Liedbecks ytberäknare.
172. Ytberäknaren (fig. 176, pl. 3) är sammansatt af
följande hufvuddelar: en ram a, fyra rullhjul h — två och
två fästade på samma axel — hvarigenom instrumentet kan
parallelt med sig sjelf föras närmare till eller längre bort
från den som använder det; en ändlös kedja k, spänd kring
två trissor t, hvaraf den till venster är försedd med visaren v;
en fast visartafla b; en mindre med tänder försedd tafla c,
hvilande på den fasta taflan och rörlig kring sin medelpunkt;
en mot ena rullhjulet släpande bromsklaff d och en längs
efter ramen rörlig samt med handtag försedd skifva,
löparen s, som uppbär en diopter e och två tangenter f, medelst
hvilka kedjan kan vexelvis på ena eller andra sidan
fastläsas vid löparen.
Den trissa t, på hvars axel visaren är fästad, är i och
för justering sammansatt af två skifvor: en konisk skifva,
kring hvilken kedjan är lagd, och en konisk eller cylindrisk
styrskifva för kedjan, hvaruti den förra skifvan är till en
del försänkt. Mellan skifvorna är en fjeder, som sträfvar
att i axiel led åtskilja dem, och på yttre sidan af den
förstnämnda skifvan finnes en justerskruf, medelst hvilken hon
kan mer eller mindre försänkas uti styrskifvan. Under
visa[ren] sitter en liten tagg, som genom en spärrhake ingriper uti
lilla taflans tänder, hvarigenom denna tafla ryckes fram med
en tand för hvarje hvarf hos visaren.
uppgraderade ytberäknaren har lilla taflan 20 tänder, och beteckna
på denna tafla talen 5, 10, etc. qvadratrefvar, samt på den stora taflan I, II,
etc. qvadratrefvar och 10, 20, etc. qvadratstänger. Hvarje delningsafstånd
motsvarar 2 qvadratstänger.
173. Användning. Instrumentets visare och lilla tafla c
ställas på följande sätt: Den ena tangenten nedtryckes och
löparen föres fram eller tillbaka tills visaren kommer ¹⁄₈ hvarf
framom 0. Med en blyerzpenna eller någon annan spets
vrides lilla taflan, tills hennes begynnelse- och slutpunkt står
midt för det på stora taflan pekande fingret. Medelst en
tangents nedtryckning och löparens skjutning bringas
visaren tillbaka till 0.
Nu lägges poletten på egofiguren och vrides tills
figurens gränser upp- och nedtill tangeras af två polettens linier
(är figuren mycket oregelbunden eller eljest sådan, att den
ej väl kan bringas i önskadt läge, så afdelas den med
blyerzlinier). Ytberäknaren ställes öfver poletten, så att längdriktningen
blir parallel med polettens linier, samt rullas
derefter upp eller ned, tills öfre raden af egofiguren synes genom
dioptern. Bromsklaffen nedtryckes då med ett af venstra
handens finger; handtaget gripes med högra handens tumme
och ringfinger; löparen föres till venstra gränsen af figuren,
så att dioptern skär denna gräns på det sätt, att de båda
små, på hvar sin sida om dioptern och mellan den,
gränslinien och den öfversta radens linier inneslutna figurerna
blifva lika stora. Man nedtrycker den öfre tangenten med
långfingret och drager löparen till höger tills figurens högra
gränslinie blir på samma sätt afskuren af dioptern; släpper
den nedtryckta tangenten, nedrullar instrumentet en rad och
fasthåller. det ånyo med bromsklaffen; bringar sedan dioptern
att på ofvannämnde sätt skära andra radens högra gränslinie
och skjuter löparen under nedtryckning af den nedre
tangenten till venstra gränsen. Nedrullande instrumentet en
rad för hvarje förflyttning af löparen fortsätter man sålunda
att fora den fram och åter så länge det återstår något af
figuren, och afläser slutligen figurens area.
Bäst är att begagna en polett utan rutor, med
hvarannan linie röd och hvarannan svart. Iakttager man då att
alltid föra dioptern åt höger under en röd och åt venster
under en svart linie eller tvärtom, så bör misstag om raderna
ej gerna kunna inträffa.
Ifrågavarande instrument mäter med ganska stor
noggrannhet och anses af mången mäta smärre ytor skarpare
än polarplanimetern. För vår del ha vi anledning att tro,
att polarplanimetern lemnar lika godt resultat, om papperet
ej är skrynkligt och den rätt användes.
174. Justering. Befinnes vid uträkning af känd yta
instrumentet angifva för stort resultat, så härrör felet af att
kedjan ligger på en för liten omkrets af venstra trissans
koniska skifva. I så fall åtdrages skrufmuttern på denna
trissa; i motsatt fall tillbakavrides muttern.
dioptern föres 3,125 linier = 1250 fot i åkerskalan.
Den skrufmutter, som befinnes på högra änden af ramen,
tjenar till att få kedjan lagom spänd.
Linearplanimetern.
175. Ehuru idén till detta instrument lär vara gifven
af en schweizisk ingeniör, Oppikofer, tillkommer det dock
ingeniören Wetli i Zürich och astronomen Hansen i Gotha
att genom vidtagna förbättringar hafva gjort denna
planimeter praktiskt användbar. General Wrede i Sverige har
äfven förbättrat densamma.
Fig.173.
Linearplanimetern, sådan den är af general Wrede
anordnad, finnes i fig. 173 genom en idéteckning (åtskilliga
tekniskt vigtiga
delar äro uteslutna)
antydd. På ett plant
bräde (c:ka 350 m.m.
långt och 120 m.m.
bredt) hvilar en
lättrörlig vagn v på tre
hjul. När vagnen
sättes i rörelse,
roterar det ena af dessa
hjul direkt på brädet
och de båda andra
h och h͵, med
insvarfvade kilformiga spår
försedda, på en längs
efter brädet fästad
och efter spåren
lämpad (rullfriktionen så
liten som möjligt)
skena. I
vagnklotsens midt är en
upprättstående vals w
så lagrad, att den blir så lättrörlig som möjligt, och vid
denna vals är fastad en med papper belagd tunn
metallskifva S. Valsen och således äfven skifvan kommer i
rotation, när linialen l föres i sin egen riktning, vare sig att
rörelsen öfverföres genom friktion eller såsom i fig. 173
genom en kring valsen lindad metalltråd, som under
lämplig spänning är fästad vid linialens båda ändar. Ofvanpå
skifvan hvilar en löprulle r, som på grund af friktionen
kommer i rotation, när skifvan roterar. Vid löprullens vinkelrätt
mot linialen förlagda och delvis gängade axel är fästad en
i 100 delar graderad skifva s. Förmedelst en indexlöpare
i vid den gängade delen af axeln jemte en skala med
stigningen såsom enhet samt nämnde graderade skifva kunna
hela och bråkdelar af hvarf, som löprullen roterat, afläsas.
Linialen är vid sin ena ände försedd med en i brädets
hvilplan inställbar glasskifva g, och vid glasskifvans undre sida är
ett märke (prick) anbringad. När denna prick föres ut efter
en figurs gränslinie, så resulterar dess rörelse af vagnens
och linialens rörelser; och emedan den båge som löprullen
afvecklat, när pricken återkommer till utgångspunkten (när
figuren blifvit kringfaren) kan bevisas vara proportionel med
figurens area, så afläses, om instrumentet är justeradt för
en viss ytenhet, figurens area vid indexlöparen och den
graderade skifvan uttryckt med denna ytenhet.
Fig 174.
176. Teori. Om (fig. 174) märket föres parallelt med
löprullens axel, så roterar ej löprullen. Den roterar ej heller,
då märket föres i linialens riktning och
löprullen tangerar skifvans
medelpunkt, d. v. s. när
märket föres ut efter
linien g l. Denna linie
har en viss betydelse
för instrumentet och må
benämnas grundlinien.
Tydligen roterar
löprullen — för samma
rörelseriktning hos
märket — åt olika håll, då
skifvans medelpunkt är
på olika sidor om
löprullens plan. För att
hafva en bestämd
utgångspunkt, må vi i
det följande antaga, att
den graderade skifvan
roterar positivt (med
besiffringen). när
märket är till höger om
grundlinien och
aflägsnas från vagnen eller när det är till venster om grundlinien
och föres till vagnen.
Betecknas valsens och löprullens radier med r och r͵
och deras samtidiga rotationsvinklar, uttryckta såsom
båglängder, med φ och ω, så blir, om (fig. I) märket föres ut
efter den på afståndet y från grundlinien befintliga linien a b,
hvars längd må betecknas med x, x = r φ och
y φ = r͵ ω͵
hvaraf, om φ elimineras,
Af vidstående formel framgår, om märket föres i tur
och ordning ut efter med grundlinien parallela linier, att
löprullens rotationsvinklar äro proportionela med areorna på
de rektanglar, som inneslutas af grundlinien, nämnde linier
och de från dem vinkelrätt utgående linierna, och att areorna
således direkt afläsas vid planimetern, om märket förts i
positiv led och valsens samt löprullens radier äro så bestämda,
att rotationsvinkeln för en skaldel svarar mot ytenheten.
Föres märket från a medsols ut efter den slutna, af
grundlinien skurna trapplinien a b c d e f, hvars afsatser äro
parallela med eller vinkelräta mot grundlinien, så roterar
löprullen endast, men roterar positivt, då det föres parallelt
med grundlinien. Man afläser alltså vid återkomsten till a
arean på fig. I.
Föres märket medsols ut efter en dylik trapplinie, som
ej skäres af grundlinien (fig. II eller III), så framrycker den
graderade skifvan under rörelsen från a till c med ett antal
skaldelar, som svarar mot arean på figuren m a b c n och
tillbakarycker under rörelsen från c till a med ett antal
skaldelar som svarar mot arean på figuren m e d n. Man afläser
således vid återkomsten till utgångspunkten arean på
figuren a b c d e.
Hvad som blifvit sagdt om ofvannämnde figurer gäller
oberoende af afsatsernas storlek, således äfven om afsatserna
äro oändligt små, d. v. s. om trapplinien öfvergår i en
kroklinie. För ifrågavarande instrument gäller alltså: Om
märket får medsols beskrifva en sluten kroklinie utan öglor, så
afläses vid återkomsten till utgångspunkten arean på den
af kroklinien inneslutna figuren.
Får märket kringfara en kroklinie, som förslingrar sig
(fig. IV) så att den bildar öglor, så blir arean på hvarje
medsols kringfaren ögla adderad till, men arean på hvarje
mötsols kringfaren ögla subtraherad från grundfigurens area.
Arean på en inåtböjd och medsols kringfaren ögla kominer
påtagligen två gånger att medtagas. Huru man i
öfverensstämmelse med det ofvan sagda skall föra märket för att få
veta skilnaden mellan gräfnings- och fyllningsareorna vid
banksektioner i en sidosluttning visar fig. V.
För att bestämma valsens och löprullens radier har man
formeln x y = r r͵ w. Är den graderade skifvan indelad i
100-delar och man vill, att en skaldel skall motsvara en
ytenhet, så har man att i denna formel insätta värdena x y = 1
och ω = 2π/100 och får då 1 = r r͵ 2π/100, hvaraf
r och r͵ fås naturligtvis härvid uttryckta med den ytenheten
motsvarande längdenheten.
Kommissionslandtmätaren J. P. Ljungström har
konstruerat en linearplanimeter, hvars linial kan inställas under
hvilken vinkel som helst med löprullens axel. Instrumentet
kan härigenom anordnas för olika ytenheter.
Bildar (fig. 175) linialen (grundlinien) en vinkel v med
löprullens axel, och föres märket kring en parallelogram,
som bestämmes af grundlinien, en dermed
parallel linie x och två från denna linies
ändpunkter parallelt med löprullens axel
utgående linier y, så erhålles som förut
löprullens rotationsvinkel ur x y = r r͵ ω; men
den kringfarna figurens area är ej x y utan
x cos v∙y. Den skalenheten motsvarande
ytenheten minskas alltså proportionelt med
cosinus för vinkeln v.
177. Pröfning. För att pröfva linearplanimetern ritar
man upp cirklar och rektanglar med fina och skarpa linier,
låter märket kringfara dessa figurer och jemför deras
beräknade areor med de af planimetern angifna. Visar det
sig härvid, att differenserna ej öfverstiga ¹⁄₁₀₀₀ af arean
och att de blifva än positiva än negativa, så är
instrumentet i ordning. Visar det sig åter att planimetern
angifver oupphörligt för stora eller oupphörligt för små areor, så
måste antingen löprullens eller valsens diameter ökas eller
minskas, ty ju mindre radier ju större rotations vinkel
Äro felen ej stora, så kan man genom att använda gröfre
eller finare tråd möjligen få instrumentet korrekt. Eljest
måste antingen valsen eller löprullen omgöras eller
afsvarfvas, såvida ej, såsom på Ljungströms konstruktion, linialen
kan vridas i förhållande till löprullens axel. I så fall göres
vinkeln v spetsigare eller trubbigare, allt efter som
instrumentet gifver för stora eller för små areor.
Huru man afhjelper öfriga felaktigheter som kunna
inverka menligt, såsom att det mot skifvan vinkelräta plan,
uti hvilket löprullens axel ligger, ej skär skifvan utefter en
dess diameter, att skifvan har ojemnheter, att löprullen på
grund af för stor tappfriktion eller af att indexlöparen tager
för stor kraft i anspråk, ej är tillräckligt lättrörlig o. s. v.,
öfverlemnas åt läsarens bepröfvande.
178. Noggrannhet. För att utröna när
linearplanimetern mäter noggrannast hafva vi att undersöka, huru man
lämpligast bör ställa den relativt till figuren, på det att
planimeterns ofullkomligheter må minst menligt inverka. Vi må
i detta afseende endast lästa oss vid ojemnheter hos skifvan
och öfriga omständigheter som föranleda oegentligheter i
löprullens rörelser.
Antaga vi med hänsyn till skifvans ojemnheter m. m.,
att den ställning af planimetern i förhållande till en figur,
som skall mätas, är den bästa, för hvilken löprullen minst
roterar, d. v. s. för hvilken de negativa rörelserna reduceras
till ett minimum, så framgår fördelen af att så ställa
planimetern, att grundlinien delar figuren (fig. 174: I) i två hälfter.
Man torde i allmänhet ock böra så ställa planimetern; dock
aktgifvande på att konturlinien ej bildar allt för spetsiga
vinklar med löprullens axelriktning eller allt för nära
smyger sig efter grundlinien; ty, om detta är händelsen,
kommer kraftkomposanten för löprullens vridning att vid sådane
ställen blifva så liten, att den ej förmår sätta löprullen i
rörelse, oaktadt teoretiskt sedt rörelse fordras. Fördelen af
att hafva löprullen så lättrörlig som möjligt framgår i
samband härmed.
Alldenstund rörelsen hos löprullen för samma figur blir
större i den mån linialens vinkel med löprullens axel är
spetsig, så följer med stöd af ofvannämnde antagande, att
linearplanimetern mäter skarpast, när linialen bildar rät
vinkel med löprullens axel.
Linearplanimetern lemnar, när den är i godt skick,
synnerligen skarpa resultat. En person med vana att föra
märket kan då, om figurerna ej äro allt för små, påräkna, att
felet i medeltal ej öfverstiger ¹⁄₁₀₀₀ af arean som mätes.
Imellertid förebrås linearplanimetern icke utan skäl att lätt
komma i olag och att på grund häraf vara opålitlig. Detta
i förening med att den är ganska dyr torde vara anledningen
till, att den blifvit mycket undanträngd af polarplanimetern.
179. Detta ytmätningsinstrument förekommer under
många modifikationer. Fig. 177, pl. 3, visar en i Teknol.
Institutets samlingar befintlig polarplanimeter, som i
detaljanordningen något afviker från Amslers ursprungliga
konstruktion. Instrumentet består af två armar, A P och A M,
förenade genom en vridningsaxel i A. Armen A P har i P
ett med sistnämnde axel parallelt stift, afsedt att nedtryckas
uti papperet. Detta stift utgör den pol, kring hvilken hela
instrumentet vrides; häraf namnet polarplanimeter. Armen
A M har i M en rund glasskifva, försedd med ett märke
(en svart prick), som vid mätningen med tillhjelp af
händtaget k föres utefter konturlinien till den figur, hvars area
sökes. Förutom på punkterna P och M hvilar instrumentet
på flänsen till ett graderadt hjul H, hvars vridningsaxel är
inpassad vid sidan af och parallelt med armen A M. Detta
hjul kommer på grund af friktionen mellan flänsen och
papperet i rotation, då armen A M vrides. Hjulets skifva är
graderad i 100 lika delar, och den vid armen A M fästade
bågformiga nonien i 10 delar. Noniens utslag ar alltså
tiondedelen af en skaldel eller tusendedelen af ett hvarf. För att
man, om så påfordras, må lätt kunna hålla reda på antalet
hela hvarf, har hjulets axel en skruf r utan ände, som
ingriper uti ett dref med 10 tänder. Detta dref är fästadt
vid axeln till en skifva s, som är försedd med 10
delningsstreck. Skifvan framrycker följaktligen med ett
delningsstreck för hvarje hvarf hos hjulet. Vigten v har till
ändamål att hindra stiftet från att hoppa ur centrum och att
gifva erforderligt tryck mellan hjulflänsen och papperet.
Återkommande till instrumentets användning, vilja vi
i det följande endast förutskicka hvad som för uppfattningen
af dess teori är nödigt att på förhand veta.
På det plant lagda papperet, som innehåller den figur
hvars area sökes, väljes polpunkten i eller utom figuren.
Stiftet nedtryckes vertikalt, så att glasskifvan och
hjulflänsen ligga an mot papperet. En punkt på figurens
omkrets utsattes och sedan man fört märket öfver punkten och afläst
hjulets ställning eller under upplyftning af detsamma inställt
dess nollpunkt midt för noniens, föres märket noggrannt
kring hela omkretsen tillbaka till utgångspunkten. Man
afläser nu hjulets nya ställning. Om polen tagits utanför
figuren angifver det antal delningsstreck, hvarmed hjulet
framryckt, dennas yta i någon, af instrumentets
dimensionsförhållande beroende enhet; har den tagits inom figuren, så måste
en för hvarje instrument karakteristisk konstant adderas till
det af hjulet angifna talet, för att figurens ytinnehåll må
erhållas.
180. Teori. Emedan hjulet ej roterar, när märket
föres i dess axels riktning, så kan det ej heller rotera, när
man, efter att så hafva fastläst armen A₁ M₁ vid A₁ p
(fig. 179, pl. 4), att hjulflänsens plan går genom polen p,
låter märket alstra cirkeln M₁ u v O. Denna cirkel, som
må benämnas grundcirkeln, har en viss betydelse för
instrumentet. Betecknas med R͵ grundcirkelns radie, med l
längden af armen A₁ M₁ med R längden af armen A₁ p samt
Pl. 4
Fig. 179-182.
med h hjulflänsens afstånd
plan sammanfölle med ledgångsaxeln. Att så anordna möter tekniska
svårigheter. Man finner, vid en del instrument hjulet utanför
ledgångsaxeln. till ledgångsaxeln A₁, så
fås i trianglarna A₁ H₁ p och p H₁ M₁
hvaraf
Omedelbart torde inses, att hjulet ej roterar åt samma
håll, när märket föres inom och när det föres utom
grundcirkeln (i båda fallen tör märket samma rotationsled i
förhållande till polen). I det följande må en gång för alla
antagas, alt hjulet roterar med besiffringen till hjulets
gradering, när märket föres medsols och utom grundcirkeln,
och att denna rotationsled hos hjulet således är den positiva.
För ifrågavarande instrument gäller alltså: hjulet gifver positiv
afvecklingsbåge, när märket föres medsols utom eller motsols inom
grundcirkeln, samt negativ afvecklingsbåge, när märket föres medsols
inom eller motsols utom grundcirkeln.
Om märket föres i hjulaxelns riktning, så roterar ej
hjulet. Vrides det kring A₁ så afvecklar hjulet en båge
af samma längd som den cirkelbåge, hvilken dess medelpunkt
alstrat; och föres slutligen märket (läget p A₂ M₂) så, att
hjulets medelpunkt alstrar en rät linie H₂ s = x, som bildar
vinkeln 90° − α med hjulaxeln, så afvecklar hjulet en
båge b = H₂ t, hvars längd erhålles ur eqvationen
Riktigheten af denna formel torde lättast inses, om man
föreställer sig hjulet roterande i riktningen H₂ t, under det
att papperet drages i hjulaxelns riktning. Har på detta sätt
och under samma tid hjulets medelpunkt gått stycket H₂t
och papperet stycket t s, så är hjulet i s, men det har,
alldenstund förflyttningen af papperet i riktningen t s ej
åstadkommer någon rotation, endast afvecklat båglängden H₂ t.
Formeln (180) eger äfven giltighet, när hjulets medelpunkt
beskrifver en cirkelbåge x kring p ty för en oändligt liten
förflyttning af hjulets medelpunkt från H₂ i tangentens
riktning sammanfaller tangentelementet med bågelementet.
Således gäller formeln för ett oändligt litet element af bågen x;
men gäller den för ett, så gäller den ock för alla följande
oändligt små bågelement och alltså, alldenstund α förblir
konstant, för hela bågen x.
Om märket under vridningen kring p öfverfarit bågen
M₂ M₃, svarande mot bågen e i enhetscirkeln, så har hjulets
medelpunkt alstrat H₂ H₃, äfvenledes svarande mot e.
Längden af bågen H₂ H₃ fås således, om radien
p H₂ betecknas med z, ur x = z e, och den af hjulet afvecklade
bågen ur b = z e cos α, hvaraf, emedan z cos α = R cos β + h och
____²
p M₂ = ρ² = ρ² = l² + R² + 2 l R cos β,
eller, alldenstund enligt eqv. (179) R͵² = l² + R² − 2 l h,
Denna formel gäller påtagligen äfven, när märket föres
på en polcirkelbåge (M₄ M₅), hvilken ligger inom
grundcirkeln. Skärskåda vi formeln närmare, så finna vi, att I b
angifver skilnaden mellan de båda sektorsareorna p M₂ M₃
(p M₄ M₅) och p u v (p u₅ v₅), d. v. s., l b angifver arean af
den streckade figuren u M₂ M₃ v (u₅ M₄ M₅ v₅). Man kan
alltså säga: Om märket föres utefter en cirkelbåge med polen
till medelpunkt, så gifver produkten af hjulets
afvecklingsbåge b och armlängden l arean på den mellan
grundcirkeln, cirkelbågen och dess båda ändradier inneslutna figuren.
I b (arean) blir i öfverensstämmelse med förut gifven regel
positiv, då märket föres medsols utom eller motsols inom
grundcirkeln, i annat fall negativ.
Låta vi nu märket följa den af polcirkel bågar och radiela
afsatser bestående brutna linien m n (fig. I), hvars
ändpunkter m och n ligga på samma afstånd från p (från
grundcirkeln), så gäller ofvanstående sats för hvar och en af nämnde
bågar. Om derför de afvecklingsbågar hos hjulet som svara
mot dem, äro ▵b, ▵b₁ ▵b₂ etc., så gifver l ∑▵b = l b påtagligen arean I. Märket har imellertid äfven måst föras
utefter de radiela afsatserna, och hjulet har då äfven roterat;
men som m och n äro på samma afstånd från p, så hafva
de af hjulet afvecklade båglängder som svara mot dessa
afsatser, tydligen upphäft hvarandra. Hjulet har alltså, när
märket förts utefter m n, afvecklat en båglängd ∑▵b = b,
som multiplicerad med l gifver arean I.
I öfverensstämmelse härmed erhållas äfven areorna II
och III, om märket förts efter den brutna linien, utaf
produkten af hjulets afvecklingsbåge och armlängden l (som för
de båda sista bågarne i fig. III hjulet roterar negativt, så
blifva areorna a och a₁ subtraherade från v u m o z, och det
återstår arean III). Då detta nu måste gälla, äfven om
polcirkelbågarne och de radiela afsatserna äro oändligt små,
så kan man säga: när märket förts utefter en kroklinie,
hvars båda ändpunkter ligga på samma afstånd från polen,
så gifver produkten af hjulets afvecklingsbåge b och
armlängden l arean å den mellan grundcirkeln, kroklinien och
«de båda ändradierna inneslutna figuren, åtminstone om
kroklinien ej bildar öglor.
Då vi nu gå att tillämpa det ofvan sagda, så är det
nödvändigt att hvar för sig behandla följande fall: 1:o) polen
befinner sig utom figuren; 2:o) polen befinner sig inom figuren.
Dessförinnan torde det för vinnande af förenkling redan nu
vara på sin plats att påpeka, att man mäter den afvecklade
båglängden med antalet framryckta skaldeiar hos hjulet.
Betecknas detta antal med n och delningsafståndet med a,
så är b = n a och I b = I n a = n, om, såsom alltid är fallet,
armens och hjulets dimensioner äro så bestämda, att
produkten l a representerar en viss ytenhet. Vi kunna alltså i
nyss anförda sats i stället för produkten af hjulets
afvecklingsbåge b och armlängden l sätta: antalet framryckta
skaldelar, eller
1:o) Polpunkten utom figuren. Ehuru genom att
påpeka, det ofvannämnde sats äfven förklarats giltig, då de
båda ändpunkterna sammanfalla, och att i så fall hjulets
utslag gifver arean på den slutna krokliniens figur, vi hafva
generelt bevisat, hvad som skulle bevisas, anse vi oss dock
för att kunna åskådliggöra instrumentets sätt att verka, böra
tillämpa denna sats på några särskilda figurer.
Låta vi märket i pilarnes riktning följa kroklinien till
fig. IV från m till den på samma polcirkel liggande
punkten n, så framrycker hjulet med antalet skaldelar som
angifver den positiva arean u m t n v; låta vi det sedan gå från
n till m, så tillbakarycker hjulet med antalet skaldelar som
angifver den negativa arean u m s n v. Man afläser således
vid återkomsten i m den positiva arean IV.
Låta vi vidare märket följa kroklinien till fig. V i
pilarnes riktning från m till n och sedan från n till m, så
tillbakarycker hjulet i förra fallet med antalet skaldelar som
svarar mot den negativa arean m u v n s och framrycker i
senare fallet med antalet skaldelar som svarar mot den
positiva arean n t m u v. Man afläser således vid
återkomsten i m den positiva arean V.
Låta vi slutligen märket i pilarnes riktning följa
kroklinien till fig. VI från m till n och sedan från n till m, så
framrycker hjulet i förra fallet med antalet skaldelar som
svarar mot den utanför, och i senare fallet med antalet
skaldelar som svarar mot den innanför grundcirkeln varande
arean. Man afläser vid återkomsten i m den positiva arean VI.
Då vid kringfarandet af en figur hjulet påtagligen gifver
samma utslag, hvilken utgångspunkt man än må välja, så
kunna vi på grund af det föregående för det ifrågavarande
instrumentet uppställa följande sats: Då man har polen
utanför en figur utan öglor och låter märket medsols (i
förhållande till figurens centrum) kringfara densamma, så afläses
vid återkomsten i utgångspunkten figurens area. Kringfares
figuren i motsatt led, så blir afvecklingsbågen negativ och
man måste afläsa mot besiffringen. Betecknas figurens area
med A, så är alltså, när polen befinner sig utom figuren
A = l a n = n
Får märket medsols kringfara en kroklinie (fig. 180,
pl. 4), som förslingrar sig, så blir i öfverensstämmelse med
det förut sagda, arean af hvarje medsols kringfaren ögla
adderad till och arean af hvarje motsols kringfaren ögla
subtraherad från grundfigurens area (arean a b c d när öglorna
borttagas). I fig. 180 komma alltså areorna af öglorna vid
a och b att adderas till grundfigurens area, och areorna af
öglorna vid c och d att subtraheras från grundfigurens area.
Arean af öglan vid b blir således medtagen två gånger, arean
af öglan vid d ej medtagen.
2:o) Polpunkten inom figuren. Är (fig. 181, pl. 4)
u v s grundcirkeln, och kringfares medsols kroklinien u t v s,
innanför hvilken polen är belägen, så framrycker hjulet
för bågen u t v med antalet skaldelar som svarar mot den
utanför grundcirkeln liggande arean a, och tillbakarycker för
bågen v s u med antalet skaldelar som svarar mot den
innanför grundcirkeln liggande arean a͵ Hjulet gifver alltså vid
återkomsten till utgångspunkten utslaget n͵, för a − a͵ (för
grundcirkeln helt och hållet inom figuren är a͵ = 0, för
figuren helt och hållet inom grundcirkeln är a = 0). Adderas
grundcirkelns area till a − a͵, så erhålles påtagligen arean
af figuren s u t v. Om en figurs area betecknas med A͵ så
gäller alltså, när polen är inom figuren, följande formel
A = l a n͵ + π R͵² = l a n͵ + π (l² + R² − 2 l h) = n͵ + K . . (184).
Grundcirkelns area K är således en för hvarje
polarplanimeter karakteristisk konstant, som, när polen är inom
figuren, måste adderas till utslaget för att figurens area må
erhållas, Som hjulets afvecklingsbåge blir negativ när A < K,
och detta kan föranleda förvillelse, så må påpekas fördelen
af att ställa in hjulet, så att konstanten afläses i
utgångspunkten, när märket skall kringfara en figur, som har polen
inom sig. Instrumentet utför då sjelf additionen eller
subtraktionen, och man afläser, likasom då polen är utom
figuren, vid återkomsten i utgångspunkten den sökta arean.
För att utröna, under hvilka förhållanden instrumentet
mäter skarpast, hafva vi att undersöka hvarest med hänsyn
till figuren polen bör väljas för att hjulet må gifva det bästa
utslaget samt för att ett fel i armlängden må minst menligt
inverka. Vi måste behandla dessa båda frågor hvar för sig.
Hvad beträffar den första, så är det med hänsyn till
papperets ojemnheter och öfriga omständigheter, som
föranleda oegentliga rörelser hos hjulet, berättigadt att antaga
den pol såsom den bästa, för hvilken rörelsen hos hjulet är
minst. Fasthålla vi tillsvidare denna sats såsom riktig, så
är det lätt afgöra, för hvilken af de fyra lika stora cirklarne
i fig. 179 resultatet bör blifva bäst, då polen är i p.
Hjulet afvecklar för cirkeln med polen till medelpunkt
en negativ båge, som svarar mot arean på ringformiga
figuren mellan bågen och grundcirkeln; för cirkeln m₁ s₁ n₁ t₁
en positiv båge, som svarar mot n₁ t₁ m₁ v₁ u₁ samt en
negativ båge, som svarar mot m₁ v₁ u₁ n₁ s₁; för cirkeln med
medelpunkten på grundcirkeln en positiv båge, svarande mot
cirkelns area; för cirkeln m₂ s₂ u₂ t₂ en positiv båge, som
svarar mot u₂ m₂ s₂ n₂ v₂ samt en negativ båge, som svarar
mot u₂ m₂ t₂ n₂ v₂. Jemföra vi dessa bågar med hvarandra,
så finna vi, alldenstud de äro proportionela mot areorna, att
hjulet roterat minst för den cirkel som har medelpunkten
på grundcirkeln, och mest för den som har polen till
medelpunkt, samt att, om de båda andra cirklarne förutsättas på
samma afstånd från grundcirkeln, förhållandet är
gynnsammare för den yttre än för den inre cirkeln.
Vore ofvan anförde sats riktig, så kunde man alltså
säga: polarplanimetern mäter smärre figurer (i allmänhet sådane,
för hvilka arean är mindre än grundcirkelns halfva area, ty
i så fall är n < n͵) säkrast, om polen är utom samt
grundcirkeln symmetriskt skär figuren, och sämst, när polen är
inom figuren eller i närheten af dess konturlinie; för öfrigt
i allmänhet bättre, när figuren är utanför, än när den är
innanför grundcirkeln.
Imellertid kan häremot invändas, när små, smala och
af grundcirkeln längs efter skurna figurer mätas, att
kraftkomposanten i hjulflänsens plan kan blifva så liten, att den
ej förmår sätta hjulet i rörelse. Denna invändning är
tvifvelsutan fullt berättigad och modifierar i någon mån det ofvan
sagda, i det den påpekar, att polen bör väljas så, att
grundcirkeln ej delvis sammanfaller med eller allt för nära smyger
sig efter figurens konturlinie
sätta hjulet i rörelse.. För öfrigt ligger häri en
påminnelse om att göra hjulet så lättrörligt som möjligt.
Mot den vanliga konstruktionen af polarplanimetern kan med
skäl anmärkas, att mekanismen i och för afläsning af hela
hvarf tager allt för mycket kraft i anspråk. Vid herr
Ljungströms cirkelplanimeter (184) är hjulet, med anledning af det
sätt hvarpå han inrättat denna mekanism, vida lättrörligare,
Det återstår att undersöka när ett fel i armlängden l
verkar menligast. För detta ändamål hafva vi att
differentiera formlerna (183) och (184), och erhålla då
hvaraf, emedan
och
Man finner häraf, att för, l = R͵ justerfelet utöfvar
samma inflytande, vare sig att polen är utom eller inom
figuren, att dess inflytande i senare fallet får större
betydelse, i den mån den ena armen är längre än den andra,
samt slutligen, att det relativa felet dA₂∕A blir större, ju mindre figuren är.
Vid Teknologiska Institutets polarplanimeter är
ungefärligen R = 113 m.m. och l = 116 m.m. Insättas dessa
värden i formlerna (185) och (186), så erhålles
samt
Om justerfelet dl antages vara ± 0,1 m.m., så svara
mot A = 1000 qv.m.m.: dA₁ = ± 0,86 qv.m.m. och dA₂ = ± 0,86 ± 1,9 = ± 2,76 qv.m.m.
181. Polarplanimeters pröfning och justering bestå,
uti att efterse, om produkten l a är lika med den för
instrumentet bestämda ytenheten (den ytenhet, som svarar mot
en skaldel på hjulet), och att i motsatt fall söka bringa detta
vilkor att uppfyllas. Som hjulets dimensioner ej kunna
ändras, så måste justeringen göras genom armens förlängning
eller förkortning (med justerskrufvarne j). För att undersöka
om ifrågavarande vilkor är uppfyldt, slår man upp cirklar,
med till sin längd noga bestämda radier. Man låter märket
kringfara dessa cirklar, hvilka, emedan K förändras med l,
i händelse af förutsedd justering ej böra hafva polen inom sig,
samt efterser, om hjulets utslag n angifver deras beräknande
med ofvannämnde ytenhet uttryckta areor. I
öfvensstämmelse med hvad framdeles kommer att visas äro de cirklar
att föredraga, som hafva medelpunkten på grundcirkeln.
Som A − l a n och l således är omvändt proportionel mot n,
så bör l förlängas eller förkortas i samma proportion som
utslaget n varit för stort eller för litet. Förmånligt är, om
konstruktionen medgifver så stor förändring af armlängden,
att instrumentet kan inställas för olika ytenheter
säger sig sjelf, att man bör, såvidt möjligt är, göra sig
oberoende af tillfälliga oegentligheter genom att bestämma felet
ur flera undersökningar.
Konstantens bestämning företages, alldenstund K beror af
l, först sedan instrumentet blifvit justeradt. Ehuru K kan
beräknas ur K = π (l² + R² − 2 l h), kommer man i
anseende till svårigheten att noggrannt uppmäta l, R och h bäst
till målet på följande sätt: Man uppslår med noggrannt
bestämda radier koncentriska cirklar — helst sådana som
ligga utanför grundcirkeln och på så stort afstånd från den,
att kraftkomposanten för hjulets vridning ej må blifva för
liten — väljer medelpunkten till pol och låter märket sedan
kringfara dessa cirklar. Betecknar A den beräknade
cirkelarean och n͵ såsom förut utslaget, så kan K sökas ur
Alldenstund n͵ förekommer med olika tecken (positivt
för cirklar som äro större, negativt för cirklar som äro
mindre än grundcirkeln), påpeka vi fördelen af att i
utgångspunkten ställa in hjulet, så att den kända arean A afläses,
och att i så fall låta märket gå motsols kring figuren.
Instrumentet utför då sjelf subtraktionen eller additionen, och
man afläser vid återkomsten K. Genom att på lämpligt sätt,
t. ex. medelst en trästicka fastläsa de båda armarne vid
hvarandra kan man få märket att noggrannare, än då det
föres på fri hand, följa cirkeln. Det säger sig sjelf, att
konstanten bör bestämmas ur ett medium af vid flera
operationer erhållna resultat.
182. Instrumentets användning. På grund af det
föregående må följande reglor anföras till ledning för ett rätt
bruk af polarplanimetern. Ehuru det från teoretisk synpunkt
är likgiltigt hvar polen befinner sig, så bör man i
allmänhet, när figurens area är mindre än grundcirkelns halfva
area, helst välja polen utom figuren och så, att figuren
symmetriskt skäres af grundcirkeln; dock under aktgifvande på,
att grundcirkeln ej smyger sig för nära efter eller under
mycket spetsig vinkel skär figurens konturlinie. När polen skall
tagas utom figuren, sätter man alltså märket i dess centrum,
vrider sedan polarmen, tills polnålen kommer i hjulflänsens
plan (läget p A₁ M₁ i fig. 179) och nedtrycker nålen. Då ofvan nämnde operation ej behöfver utföras med noggrannhet, så
föranleder ett sådant val af lämplig pol ingen tidspillan.
Den bästa polen inom en figur är i allmänhet dess centrum.
För att undvika förvillelse rörande tecknet för n₁ då polen
befinner sig inom figuren, är det lämpligast att i
utgångspunkten inställa hjulet, så att konstanten afläses. Man
afläser då vid återkomsten till utgångspunkten omedelbart
figurens area. Vid samma konstruktion som den
ifrågavarande skall, om sistnämnde regel alltid följes, hvarje figur
kringfaras medsols i förhållande till figurens centrum; eljest
får man afläsa mot besiffringen.
183. Noggrannhet. En god polarplanimeter lemnar vid
jemnt och lämpligt papper och ej för små figurer i medeltal
arean riktig på ¹⁄₅₀₀ à ¹⁄₆₀₀ när. Vid mycket små figurer blir
den relativa noggrannheten betydligt mindre. Dock synes
påståendet, att polarplarplanimetern är oduglig för smärre
ytor, hafva sin grund i, att man i allmänhet ej beaktat
nödvändigheten af att välja lämplig polpunkt. Gör man detta
enligt ofvan gifna föreskrifter, och kringfar figurer om 10 à
20 qv.m.m. (1 à 2 qv.lin.) 4 gånger, så erhålles med all
säkerhet arean på ¹⁄₄₀ när. Det sannolika felet är betydligt
mindre.
Vid 6 seriemätningar af arean på en cirkel, om 2,36
lin. i diameter, hvarvid för hvarje serie ny polpunkt valdes
och figuren kringfors 10 gånger, lemnade 4 serier exakt
samma slutsumma 7 skaldelar (figurens area alltså 0,7
skaldel = 7 qv.st. i åkerskalan), de båda andra 6,9 och 7,05.
Likartade försök med en god planimeter torde öfvertyga hvar
och en huru skarpt polarplanimetern, rätt använd, mäter och
att orsaken till att instrumentet ej lemnar samma relativa
noggrannhet för små som stora figurer hufvudsakligen får
tillskrifvas afläsningsfel med anledning af för litet
delningsafstånd. Som l∙a = 1, så är med anledning häraf lämpligt,
att för små figurer använda planimetrar med kort arm
märkets arm) och stort hjul.
184. Detta af kommissionslandtmätaren
J. P. Ljungström uppfunna instrument är teoretiskt sedt en
polarplanimeter, hvars grundcirkel har oändligt stor radie, d. v. s.
öfvergår i en rät linie.
Instrumentet är på följande sätt inrättadt: Vid en
cirkelrund glasskifva A (fig. 178, pl. 3) är fästad en med två
handtag h och h͵ försedd metallbygel B, som medelst en
horisontel ledaxel v a uppbär en metallskifva C. Denna
kring nyssnämnde axel vridbara skifva hvilar vid sin andra
ände på mäthjulet H. Detta, som har sin axel H a₁ lagrad
uti metallskifvan förmedelst två spetsar vid H och a₁, har
ett sådant läge i förhållande till glasskifvan, att hjulflänsens
lägsta punkt (beröringspunkten med papperet) sammanfaller
med glasskifvans medelpunkt, när instrumentet är uppstäldt.
Sistnämnde axel är plattgängad, och i gängans spår ligger
en liten trådbygel, som, då hjulet vrides, åker fram eller
tillbaka och vid skalan indikerar antalet hela hvarf, som
hjulet roterar. Hjulet är graderadt i 100 delar, och
bråkdelar af skaldelen afläses medelst den vid metallskifvan
fästade, bågformiga nonien N. Märket M, som är
betecknadt genom en svart prick på glasskifvans hvilplan, måste
likasom skifvans medelpunkt vara beläget på den förlängda
hjulaxelns projektion på nämnde plan. Då instrumentet för
öfrigt kan, såvidt dess dimensioner medgifva, mäta i hvilken
skala (med hvilken enhet) som helst, blott märket förlägges
på ett motsvarande afstånd från glasskifvans medelpunkt, så
har herr Ljungström utsatt prickar för vanligen förekommande
skalor. För att underlätta utsättandet af sådana märken,
för den händelse man önskar mäta i andra skalor än dem,
hvarför märken finnas, äfvensom för att underlätta
instrumentets pröfning och justering, äro i glasskifvans hvilplan
två mot hvarandra vinkelräta diameterspår inristade, af hvilka
det ena sammanfaller med hjulaxelns projektion på nämnde
plan. D är en linial (fig. 182, pl. 4), som medelst två à tre
nålspetsar fästes vid papperet, och hvilken glasskifvans
periferi alltid måste beröra under mätningen.
Instrumentet användes på följande sätt: Efter att hafva
valt ett lämpligt läge för linialen, nedtryckt dess spetsar uti
papperet, fört märket på figurens konturlinie samt instält
hjulets nollpunkt midt för noniens — hvilket underlättas
genom en enkel mekanism m — låter man, förande
instrumentet med en hand vid hvardera handtaget, märket
medsols kringfara figuren, under aktgifvande på att glasskifvan
alltid tangerar linialen. Vid återkomsten i utgångspunkten
afläses figurens area.
185. Teori. Har man fattat den i det föregående
framstälda teorien för polarplanimetern, så finner man
cirkelplanimeterns teori såsom ett korolarium häraf. På grund af
ifrågavarande instruments konstruktion följer, att hjulet alltid
berör papperet på den med linialen parallela och genom
glasskifvans medelpunkt gående linien G L (fig. 182), och att
det ej kommer att rotera, då märket föres utefter denna
linie. Linien G L, som i alla afseenden motsvarar
grundcirkeln hos polarplanimetern, må benämnas cirkelplanimeterns
grundlinie. Antaga vi den led, h var åt hjulet roterar, då
märket föres från venster till höger ofvanför grundlinien för
positiv, så följer i öfverensstämmelse med hvad pilarne
indikera, att hjulet afvecklar positiva bågar, när märket föres
från venster till höger öfver eller från höger till venster
under grundlinien, och negativa bågar, då märket föres från
höger till venster öfver eller från venster till höger under
grundlinien.
Om märket M föres utefter en med grundlinien parallel
linie M M₁ = x, så flyttar sig hjulet stycket H H₁ = x, och
afvecklar dervid en båge b, som, om vinkeln mellan
hjulaxeln och grundlinien betecknas med α, fås ur b = x sin α.
För öfrigt synes af figuren, att
Man kan alltså säga: Om afståndet l mellan märket och
skifvans medelpunkt multipliceras med den båge, som hjulet
afvecklar, då märket föres utefter en med grundlinien parallel
linie, så erhålles arean af den rektangel, som inneslutes
mellan grundlinien, den gifna linien och de från dess
ändpunkter vinkelrätt utgående linierna; arean blir positiv, då
märket föres från venster till höger öfver eller från höger till
venster under grundlinien, eljest negativ.
Sambandet mellan cirkelplanimetern och
polarplanimetern torde nu utan svårighet inses. Cirkelplanimetern är
tydligen en polarplanimeter, hvars grundcirkel har oändligt
stor radie. Det torde derför ej behöfvas någon speciel
utredning af dess teori. Det må endast påpekas, att hvad
som bevisats om polarplanimetern för fig. 179: I—II äfven
kan på samma sätt bevisas om cirkelplanimetern för fig.
182: I—II, i hvilka polcirkelbågarne öfvergått i med
grundlinien parallela linieelement, och de radiela afsatserna i mot
grundlinien vinkelräta afsatser; och att med anledning häraf
allt som blifvit sagdt om polarplanimetern rörande fig. 179:
VI—IV och fig. 180, då polen ej ligger inom figuren
(cirkelplanimetern har polen oändligt långt bort och kan således
aldrig hafva den inom figuren), äfven måste gälla för
cirkelplanimetern.
186. Cirkelplanimeterns pröfning och justering bestå
uti att efterse om hjulaxelns projektion på glasskifvans undre
plan sammanfaller med den linie (spår), som glasskifvans
medelpunkt och märket bestämma, samt om märket är på
riktigt afstånd från glasskifvans medelpunkt. Justeringen i
och för det första vilkoret är ej lätt att med erforderlig
noggrannhet utföra. Densamma verkställes, sedan
befästningsskrufvarne S och S͵ blifvit lösgjorda, genom förflyttning af
metallskifvan C. Då denna justering, en gång väl utförd
af instrumentmakaren, i allmänhet torde stå vid lag, och i
motsatt fall det ej bör vara svårt för hvar och en att
uttänka, huru man lämpligen bör gå till väga, så inskränka
vi oss till att jemte det ofvan sagda framhålla
nödvändigheten af, att detta vilkor noga uppfylles.
För att pröfva, om märket har riktig plats, kan man
gå till väga på samma sätt som vid polarplanimetern; dock
torde för cirkelplanimetern rektanglar (de längre sidorna
parallela med, de andra itudelade af grundlinien) vara
förmånligare än cirklar. Justeringen sker genom att flytta märket
uti det spår, som är parallelt med hjulaxeln. Skall ett nytt
märke utsättas, torde vara lämpligast att först beräkna
afståndet l, och sedan på grund af ofvan anförde
profningssätt göra erforderlig justering. Justeringsfelets inflytande
angifves af formeln.
187. Användning. I öfverensstämmelse med hvad som
blifvit sagdt vid polarplanimetern, rörande val af lämplig pol,
är det i allmänhet förmånligt, om man lägger limalen så,
att grundlinien symmetriskt delar figuren; dock under
aktgifvande på, att grundlinien ej smyger sig nära utefter och
under mycket spetsig vinkel skär konturlinien.
För en större långsträckt figur, hvilken har en sådan
bredd, att konturlinien hvarken på ena eller andra sidan
behöfver smyga sig mycket nära intill och utefter
grundlinien, är det förmånligt att hafva linialen i figurens
längdriktning; ty förutsatt att kraftkomposanten för hjulets
vridning är tillräckligt stor, är det med hänsyn till fördelen af
liten rörelse hos hjulet riktigt att så mycket som möjligt
föra märket i närheten af och parallelt med grundlinien,
detta så mycket mera som det i denna riktning är lättast
att föra. En uppmärksam iakttagare af instrumentet torde
för öfrigt lätt inse, när ofvan antydda föreskrifter böra
modifieras eller ej följas. För öfrigt kringfares hvarje figur
medsols i förhållande till sitt centrum.
Det torde ännu vara för tidigt att fälla någon slutdom
om detta instrument. Under en serie försök vid
Ekonomiska Kartverket lär cirkelplanimetern hafva visat sig mäta
skarpare och något fortare än polarplanimetern. Emedan
glasskifvan slätar ut papperet är cirkelplanimetern
förmånligare än polarplanimetern på skrynkladt papper. Äfven kan
man såsom fördelar hos den förra anföra: att den utan att
ändras kan användas för hvilket ytmåttsystem som helst
och att dess hjul i allmänhet har mindre rörelse än
polarplanimeterns. Vid den förra rör det sig endast på
grundlinien; vid den senare på en sluten kroklinie. Mycket beror
på hvilkendera planimetern är lättast och minst tröttsam att
föra. Ehuru man vid första påseende torde vara benägen
att föredraga polarplanimetern, torde det ännu vara förhastadt
att obetingadt tillerkänna honom företräde i dessa afseenden
framför cirkelplanimetern, åtminstone så länge märket ej
ligger för nära glasskifvans medelpunkt (cirkelplanimetern
är svårare att föra ju närmare märket ligger denna punkt).
Att den senare måste skötas med två händer tyckes ej göra
den tröttsam att använda; och linialen lemnar, på samma
gång den styr, ett visst stöd mot handens darrningar.
Polarplanimetern beherrskar större cirkelartade,
cirkelplanimetern större rektangelartade figurer.
Herr Ljungström lemnar för öfrigt sin planimeter försedd
med ett armsystem, som, om det tillkopplas, låter
cirkelplanimetern förvandlas till en polarplanimeter.
Pantografen.
188. Pantografen är ett instrument, afsedt för
kopiering af kartor eller teckningar uti hvilken skala som helst.
Om (fig. 184) e a f d b s är ett genom ledgångar vid
a, f, d och b förbundet armsystem, som bildar parallelogrammen
a f d b och uti hvilket punkterna f, p och s ligga i rät linie, så kommer, när systemet försättes i rörelse kring punkten
f, p och s att beskrifva likformiga figurer, som derjemte
förhålla sig som d b och d s; ty emedan d b sammanfaller
med d s, och för hvilket läge än armsystemet kan få
vinklarne b och d äro lika stora, samt emedan relationen f d∶d s = p b : b s ständigt eger rum, så måste för hvilket läge än
armsystemet kan få, punkterna f, p och s ligga på samma
räta linie och således f p : f s = d b∶d s. Men sammanfaller
alltid f p med f s och förblir förhållandet mellan dem alltid
konstant, så kommer påtagligen p och s att beskrifva
likformiga figurer, som förhålla sig som d b till d s. Låter man
derför ett i s fästadt stift kringfara en figur, så uppritar en
i p fästad penna en härmed likformig figur uti skalan d b∶d s.
Fig. 183.
En nyare pantograf-konstruktion af Ott & Conradi i
Kempten finnes afbildad i fig. 183. Vi återfinna der
armsystemet e a f d b s, uti hvilket a b kan hvar som helst fastläsas parallelt med f d vid e f och d s, hvilka för detta ändamål äro erforderligt graderade. Ledgångsaxeln f är fästad vid
en på bordet uppstäld vigt; i punkten s är fästadt ett stift
och i linie med f och s är i p en penna fästad vid en på a b
flyttbar slid. För att uppbära armsystemet är i h en med
skruf ställbar kula anbringad, samt utgå från armen g tvenne
trådar från e och d. Dessa trådar ersätta de hittills
brukliga löprullarne vid a och b och möjliggöra användandet af
en betydligt mindre bordskifva än
hvad eljest
fordras. I och för
noggrann
inställning uti
bordskifvans plan
kunna trådarne
spännas med skrufvar.
För att pennan
må beqvämt
kunna försättas ur
verksamhet, då
stiftet föres i en bana som ej skall af pennan uppritas, löper
från s öfver snörhjulet i ett snöre hvarmed pennan kan
upplyftas. Stiftet och pennan, som äro inskjutna uti hylsor,
hvila blott med egen tyngd mot papperet.
Fig. 184.
189. Användning. Instrumentet uppställes på ett för
ändamålet afsedt plant ritbord; och egnar man härvid
särskild omsorg åt att så spänna upphängningssnörena och
inställa kulan h, att armsystemet blir parallelt med skifvans
plan. Armen a b flyttas sedan utefter e f och s d till de
märken, som svara mot den skala (d b∶d s), i hvilken
kopieringen skall försiggå, och slutligen förskjutes pennslidea till
det motsvarande märket på a b (f, p och s komma då i linie
med hvarandra). Pennan bör vara väl centrerad och rundt
formerad, så att den håller sig på samma punkt, då den
vrides i hylsan. Tid efter annan pröfvar man huruvida
någon rubbning egt rum.
Är originalet så stort, att det ej kan på en gång
kopieras, får man kopiera det afdelningsvis. I så fall egnas
synnerlig omsorg åt originalets inpassning.
Då pantografen skall användas för förstoring, låter man
stiftet och pennan byta platser.
*
ANDRA AVDELNINGEN.
MÄTNINGSLÄRA.
Tionde kapitlet.
Horisontalmätning.
Bestämning af en orts meridian.
190. För att kunna angifva läget af en kartlagd trakt
med hänsyn till väderstrecken, måste man känna
meridianriktningen i en eller flera punkter på kartan. Meridianens
riktning angifves omedelbart vid hvarje observatorium af
det för observationer uti meridianplanet en gång för alla i
detta plan instälda meridianinstrumentet och kan, om
observatoriet — såsom vanligen är fallet — utgör en punkt uti
landets geodetiska triangelnät, på grund häraf genom räkning
bestämmas och angifvas för samtlige nätets triangelpunkter.
Som det imellertid vid många slags mätningar för praktiska
ändamål sällan inträffar att dessa punkter komma att
upptagas eller att man har tillfälle till att få nödiga uppgifter
för att kunna genom räkning för dem bestämma
meridianriktningarne, så må vi här nedan sysselsätta oss med några
mer eller mindre approximativa sätt att bestämma meridianen.
1) Man uppställer (fig. 185) en solskensdag, några
timmar före middagen, en justerad teodolit (alhidadaxeln skarpt
lodrätt), förser tubens okular med ett
solglas och inställer under samtidig vridning
på alhidadens och vertikalcirkelns
inställningsskrufvar tuben på solen, så att det
horisontela håret tangerar solskifvans
öfverkant när det vertikala håret delar
skifvan midt itu. När man lyckats få
denna inställning, som försvåras genom
jordens rörelse, erforderligt skarp, afläser
man vid horisontalcirkelns nonier och låter derpå instrumentet
stå orubbadt och betäckt tills ej fullt lika lång tid efter
Fig. 185.
middagen förflutit. Man lösgör då varsamt alhidaden j,
följer — samma lutning hos tuben som vid föregående
observation — solen, söker med alhidadens inställningsskruf fixera
det tubens läge, för hvilket såsom förut det horisontela håret
tangerar solskifvan och det vertikala delar den midt itu samt
afläser ånyo. Hafva de båda afläsningarne vid en nonie
varit v och v͵, så utvisar α = (v͵ − v)∕2 påtagligen det vinkelvärde,
hvarpå nonien bör inställas för att kollimationsaxeln
skall angifva meridianriktningen. Man utsätter, sedan detta
är gjordt, en signal s — och har denna riktning fixerad.
Det torde väl knapt behöfva påpekas, att en tublinial
kan ersätta teodoliten och att man med den kan direkt på
taflan inlägga meridianriktningen.
I stället för solen kan äfven en stjerna användas.
Genom blott enkel syftning på polstjernan blir maximifelet i
i meridianbestämningen 1° 40′.
2) Man förskaffar sig genom telegrafen noga reda på
middagstiden vid något observatorium, gör tidskilnadsreduktion
(± 15 minuter för hvarje longitudgrad) för den ort
hvars meridian sökes och inriktar ett syftinstrument på solen
vid ortens middagstid.
3) Om man omedelbart vill fixera meridianriktningen
på ett mätbord, så kan detta låta sig göra under användning
af en orienteringskompass. Som imellertid kompassnålen
är underkastad såväl sekulärafvikelser som daglig afvikelse
(se 173), måste vid dessa afvikelser — egentligen vid den
förstnämnda — fästas behörigt afseende.
4) Ifrågavarande problem kan äfven lösas på följande
sätt, som för fullständighetens skull må anföras. Man fäster
(fig. 186) vid mätbordet en upprättstånde nål, som slutar
upptill med en liten af ett fint hål
genombruten platta, bestämmer så
skarpt som möjligt detta håls lodräta
projektion p på taflan och uppslår med
denna punkt till medelpunkt
koncentriska cirklar. Man utmärker sedan
på för- och eftermiddagen den af hålet
föranledda solbildens skärningspunkter
med cirklarne, delar midt itu de af
solbanans kurva (hyperbel) afskurna
cirkelbågarne och får sålunda punkter, som likasom punkten
p tillhöra meridianlinien. Om operationen är med omsorg
verkstäld, ligga dessa punkter exakt på samma linie; i motsatt
fall får man välja den linie som bäst ansluter sig till dem.
Fig. 186.
191. När ett helt land eller ett större fält skall
uppmätas, måste man, enligt hvad i inledningen är sagdt, först
genom särskildt mätning bestämma ett antal lämpligt
förlagda hufvudpunkter, från hvilka detaljmätningarne kunna
utgå och genom hvilka de kunna kontrolleras. Lemnande
åsido de mätnings- och räkneoperationer som höra till den
sferiska geodesien, må vi i det följande endast sysselsätta
oss med de olika stommätningssätt, som — vare sig att de
ansluta sig eller ej till triangelnät af högre ordning — stå i
närmare samband med detaljmätningarne. Dessa
stommätningssätt kunna vara: Bruten liniemätning, trigonometrisk
triangelmätning af 4:de ordningen, rutmätning,
triangelsidomätning och grafisk triangelmätning, m. fl.
Af dessa stommätningssätt torde de båda förstnämnda
böra behandlas särskildt; de öfriga lämpligast i samband
med detaljmätningarne.
Bruten liniemätning.
192. Om (fig. 187) ett antal punkter på jordytan
sammanbindas i den ordning de följa på hvarandra med räta
linier, så uppstår ett brutet
linietåg. Detta tågs horisontalprojektion kan fullständigt
bestämmas, när de horisontela
afstånden mellan på hvarandra
följande brytningspunkter och
och de horisontela
brytningsvinklarne äro kända. Den
brutna liniemätningen består uti
att direkt mäta afstånden
mellan brytningspunkterna och att i hvarje brytningspunkt mäta
horisontalvinkeln mellan de två sammanstötande linierna.
Punkternas kartläggning sker förmedelst deras på grund
häraf beräknade koordinater.
Fig. 187.
Hvad beträffar val af lämpliga brytningspunkter, måste
man fästa afseende vid terrängförhållanden och
utsträckningen af den trakt som skall mätas. Är det fråga om att
mäta långsträckta trakter, såsom floddalar, kanalområden etc.,
så kommer ock det brutna linietåget af 1:sta ordningen att
få en utsträckt karakter; är det åter fråga om att mäta
fält, så kommer det vanligen (fig. 188) att bilda en sluten
månghörning. Såväl i ena som andra fallet utgå från en
och annan brytningspunkt i hufvudtåget linietåg af 2:dra
ordningen för att underlätta upptagandet af från hufvudtåget
aflägsna detaljpunkter. Förmånligt är med hänsyn till
kontroll att linietåget af 2:dra ordningen sammanknyter två
punkter i hufvudtåget.
Brytningspunkterna måste väljas med omtanke. Man
bemödar sig att få dem på så stort afstånd från hvarandra,
som utan olägenhet för detaljmätningarne är möjligt —
härigenom mätning af färre vinklar, mindre vidlyftiga
räkneoperationer och större skärpa — och förlägger dem så, att
linietåget smyger sig så nära som möjligt till — dock heldre
utanför än innanför — gränslinjerna för den eller de figurer
som skola mätas. Lämpar det sig så, att befintliga
triangelpunkter kunna i linietåget intagas, så har man ett
tillförlitligt sätt att kontrollera mätningen. Att man måste fästa
afseende vid det längdmätningarne låta beqvämt utföra sig,
torde knapt behöfva påpekas. Afstånden mellan
brytningspunkterna vexla allt efter terrängens och gränsliniernas
beskaffenhet i allmänhet mellan 100 à 500 meter.
Brytningspunkterna utmärkas antingen genom kors på
nedslagna träpålar eller på i marken nedfälda stenar — det
senare om man vill äfven för framtida detaljmätningar fixera
linietåget.
Vinkelmätningen verkställes vid noggrann
polygonmätning med enkel teodolit — horisontalcirkel-diameter om
100—200 m.m. och nonieutslag från 10″—30″. Vinklarne
mätes en gång i hvardera tubläget och protokollet föres
enligt 67 fallet 2). Man bor taga för regel att först ställa in
tuben på den föregående brytningspunktens signal och att
alltid mäta medsols. Härigenom blir (teodoliten graderad
medsols), då man är vänd åt det håll hvartåt mätningen
fortgår, alltid vinkeln till venster uppmätt och, allt efter som
man går medsols eller motsols kring en sluten tågpolygon,
antingen blott utanvinklar (fig. 187) eller blott innanvinklar
antecknade — och all förvexling af vinklar är förebygd.
Längdmätningen verkställes antingen med kedja eller
med enkla träbasstänger. Mätning med basstänger lemnar
skarpare resultat, men blir dyrare och långsammare än
mätning med kedja.
Vid mindre noggrann mätning kan man mäta vinklarne
dels med kedja, dels med vinkelmätningskompassen (73).
I förra fallet utsättes en kedjelängd l i hvarje linie och
mätes afståndet s mellan de så bestämda punkterna. Vinkeln
kan påtagligen beräknas ur sin (v∕2) = s∕(2 l). Dock beräknas den sällan, utan konstrueras den vanligen direkt på grund af
kännedomen om storleken af de tre sidorna i
mätningstriangeln.
Med vinkelmätningskompassen kan mätas fortare än med
teodoliten; ty man behöfver ej stationera mer än i
hvarannan punkt.
Då vinkelmätningar med kedja och fältmätningskompass
endast hafva approximativ karakter, så kartlägges på detta
sätt uppmätta polygoner ej med koordinater, utan
omedelbart genom vinklarnes och liniernas afsättning på papperet.
193. Beräkning af brytningspunkternas koordinater. För
att brytningspunkterna må kunna noga kartläggas, måste
deras koordinater i förhållande till ett genom någon af dem
(helst en triangelpunkt) förlagdt rätvinkligt axelsystem
bestämmas. Detta axelsystem förlägges vanligen så, att den
ena axeln sammanfaller med origos meridian. För att kunna
välja ett så beskaffadt axelsystem, måste man känna någon
polygonsidas azimutvinkel, d. v. s. dess vinkel med
meridianriktningen. Som i hvarje triangelpunkt de der
sammanstötande triangelsidornas vinklar med meridianriktningen äro
kända, behöfver man, när en triangelpunkt är inlänkad i
linietåget, blott mäta vinkeln mellan en triangelsida och en
polygonsida för att med kännedom om triangelsidans
azimutvinkel kunna beräkna polygonsidans azimutvinkel.
Finnes ej någon triangelpunkt i linietåget, kan man enligt 190
bestämma meridianriktningen, såvida man ej såsom vid
smärre fristående mätningar åtnöjer sig med att efter
godtycke välja axelsystem, i hvilket fall för förenklings
vinnande det är lämpligt att taga en af polygonsidorna till
abskissaxel.
I det följande må i öfverensstämmelse med vedertaget
bruk antagas, att x-axeln är förlagd i meridianens riktning,
att abskisserna (x) räknas positiva i sydlig, ordinaterna (y}
i vestlig riktning, samt att en linies azimutvinkel, med
hänsyn till linietågets riktning har sin spets i liniens eftersta ände
och alltid räknas medsols från x-axelns sydriktning till linien.
Innan vi direkt öfvergå till formlerna för
koordinaternas beräkning, torde det vara lämpligt att visa huru man,
när brytningsvinkeln v₂ mellan två linier och den ena liniens azimutvinkel α₁ äro kända, beräknar den andra liniens azimutvinkel α₂. I öfverensstämmelse med det nyss gjorda
antagandet är, om sifferordningen antyder riktning, i fig. 188
α₁ azimutvinkeln för linien 1 — 2 och β₁ azimutvinkeln för
linien 2 — 1
med 180° eller β = α ± 180. Det är påtagligen likgiltigt
huruvida man i denna formel använder + eller —, ty
värdet i ena fallet skiljer sig med 360° från värdet i andra
fallet, d. v. s. de båda värdena äro trigonometriskt identiska.
Vi må i det följande alltid taga för regel att använda
tecknet —. Det är vidare lätt att öfvertyga sig, det den
efterföljande liniens azimutvinkel alltid är lika med summan af
brytningsvinkeln (alltid räknad medsols från den föregående
till den efterföljande linien) och azimutvinkeln för den
föregående liniens omvända riktning, d. v. s. att α₂ = β₁ + v₂,
om denna summa minskas med 360°, när den öfverstiger
360°. Insättes uti den sista eqvationen β₁ = α₁ — 180, så
erhålles
Fig. 188.
Denna formel är allmängiltig och gör all användning af
figur öfverflödig, om man i öfverensstämmelse med hvad
förut är sagdt alltid låter beräkningen fortgå i sådan
riktning, att brytningsvinklarne äro till venster samt föröfrigt,
när värdet på α₁ + v₂ — 180 blir negativt eller större än
360°, ökar eller minskar med 360°.
Koordinatberäkningen sker efter löpande nummer och
enligt följande formler, hvilkas allmängiltighet utan vidare
förklaring torde af fig. 188 framgå. Slutsumman medgifver
ett lätt sätt att kontrollera räkneoperationerna. Erinras må
att a sin α blir negativ för a > 180 och att a cos α blir
negativ för α mellan 90° och 270°.
För att underlätta räkneoperationerna och förebygga
misstag kan man föra dem schematiskt enligt följande schema,.
hvilket vi taga oss friheten
citera ur "Taschenbuch der
prachtischen Geometri von
Wilh. Jordan". De uppmätta
storheterna äro skrifna med
kursiv stil. Räkningen är
utförd med två decimaler på
metern och med enstaka
sekunder. Två decimaler på
metern kan väl knapt
undvikas, men det torde i
allmänhet vara tillfyllest om
vinklarne uttryckas på 10 à 30
sekunder när — till och med
understundom på l minut när.
Grunderna för schemats
uppställning torde föröfrigt utan
vidare förklaring fattas. Till ledning visar fig. 189 en efter
ögonmått gjord teckning af linietåget, som schemat upptager.
Fig. 189.
+———+——————————+—————————+——————+——————————+————————————+————————————+——————-+—————————————+————————+
| | | | |log sin α |log a sin α | a sin α | y | a cos α | x |
|No.| v | α | a | log a | | | | | | | |
| | | | |log cos α |log a cos α | + | — | | + | — | |
+———+——————————+—————————+——————+——————————+————————————+—————+——————+——————-+——————+——————+————————+
| | ° "" "| ° "" "| m | | | m | m | +m | m | m | +m |
| | | | |9.57143 n |1.77446 n | | | | | | |
|(1)| 201 53 10| |159,60|2.20303 | | | 59,49|7853,19| |148,09|54686,79|
| | | | |9.96751 n |2.17054 n | | | | | | |
|———+——————————+—————————+——————+——————————+————————————+—————+——————+———————+——————+——————+————————|
| | | | |9.98735 n |2.11999 n | | | | | | |
|(2)| 261 52 37|283 45 47|135,72|2.13264 | | |131,82|7793,70| 32,29| |54538,70|
| | | | |9.37641 |1.50905 | | | | | | |
|———+——————————+—————————+——————+——————————=————————————+—————+——————+———————+——————+——————+————————|
| | | | |9.93508 n |1.75757 | | | | | | |
|(3)| 196 47 26|300 33 13| 66,45|1.82249 | | | 57,22|7661,88| 33,78| |54570,99|
| | | | |9.70616 |1.52865 | | | | | | |
|———+——————————+—————————+——————+——————————+————————————+—————+——————+———————+——————+——————+————————|
| | | | |9.88557 n |1.95498 n | | | | | | |
|(4)| 189 14 17|309 47 30|177,33|2.06941 | | | 90,15|7604,66| 75,09| |54604,77|
| | | | |9.80618 |1.87559 | | | | | | |
|———+——————————+—————————+——————+——————————+————————————+—————+——————+———————+——————+——————+————————+
| | | | |9.87025 n |2.27479 n | | | | | | |
|(5)| 98 5 17|227 52 47|253,83|2.40454 | | |188,27|7514,51| |170,24|54679,86|
| | | | |9.82652 n |2.23106 n | | | | | | |
|———+——————————|—————————|——————|——————————|————————————|—————|——————|———————|——————|——————|————————|
| | | | |9.94219 n |2,05989 n | | | | | | |
|(6)| 251 1 57|298 54 44|131,13|2.11770 | | |114,79|7326,24| 63,40| |54509,62|
| | | | |9.68437 |1.80207 | | | | | | |
|———+——————————+—————————+——————+——————————+————————————+—————+——————+———————+——————+——————+————————|
| | | | |9.36903 n |1.93158 n | | | | | | |
|(7)| 74 36 52 |193 31 36|305,22|2.56255 | | | 85,42|7211,45| |355,08|54573,02|
| | | | |9.98778 n |2.55033 n | | | | | | |
|———+——————————+—————————+——————+——————————+————————————+—————+——————+———————+——————+——————+————————|
| | | | |9.33121 n |1.68310 n | | | | | | |
|(8)| 178 51 12|192 22 48|224,85|2.35189 | | | 48,21|7126,03| |219,62|54217,94|
| | | | |9.98978 |2.34167 | | | | | | |
|———+——————————+—————————+——————+——————————+————————————+—————+——————+———————+——————+——————+————————+
| | | | | | | 0 |775,37| |204,56|893,03| |
|(9)|1250 29 38| | | | |============|7077,82|=============|53998,32|
| | | | | | | — 775,37 | | — 688,47 | |
Understundom kan det blifva fråga om att beräkna en
sidas längd och azimutvinkel, då koordinaterna för dess
ändpunkter äro gifna. Om x₁ y₁ och x y äro dessa
koordinater, så sker beräkningen (se fig. 188), under förutsättning
att koordinaterna införas med sina respektive tecken,
påtagligen ur formlerna:
och
α ligger i 1:sta, 2:dra, 3:dje eller 4:de qvadranten, allt
efter som tecknen i täljaren och nämnaren för bråket (y₁ − y)∕(x₁ − x)
äro +/+, +/−, −/−, eller −/+. Af de tre formlerna för
beräkning af a bör den väljas, som för tillfället medgifver de
beqvämaste räkneoperationerna.
194. Anslutning af ett linietåg till ett gifvet
koordinatsystem. För att ett linietåg skall kunna anslutas till ett
gifvet koordinatsystem, t. ex. landets triangelsystem, så måste
en sida i detta system vara i linietåget inlänkad och
dessutom antingen koordinaterna för sidans båda ändpunkter
eller ock dess azimutvinkel och koordinaterna för dess ena
ändpunkt vara gifna. Om så låter sig göra, söker man
för att vinna nödig kontroll och för att kunna utjemna
mätningsfelen att på detta sätt vid tågets båda ändar
anknyta detsamma till det gifna koordinatsystemet. Vi vilja
i följande, med föregående schema i samband varande
exempel (fig. 189) visa huru man i så fall utjemnar
mätningsfelen.
Gifna äro koordinaterna:
häraf enligt formeln (192) azimutvinklarne
Mätna äro vinklarne:
l = 16° 8′ 14″
2 = 261 52 20
3 = 196 47 10
4 = 189 14 0
5 = 98 5 0
6 = 251 1 40
7 = 74 36 35
8 = 178 50 55
9 = 86 32 40
_______________________________
∑v = 1353° 8′34″= 273° 8′34″.
Enligt den sista formeln (189) måste denna summa vara
∑v = α₉ − αC + 9∙180 = 273° 11′8″, om 4∙360° bortkastas.
Då den genom mätning bestämda vinkelsumman alltså
är för liten med 2′34″, så har man före koordinatberäkningen
att öka hvar och en af de nio vinklarne v med 2′34″∕9 = 17″,
och får då de i föregående schema upptagna vinkelvärdena.
Verkställer man nu (utgående från 1) enligt formlerna
(190) och (191) och på sätt som i schemat är angifvet
beräkningen för punkterna i den ordning de följa, så befinnes
koordinaterna för punkten 9 vara:
y₉ = y₁+ ∑ a sin α = 7853,19 − 775,37 = 7077,82
x₉ = x₁+ ∑ a cos α = 54686,79 − 688,47 = 53998,32.
under det att deras gifna och riktiga värden äro
De beräknade koordinaterna äro alltså felaktiga med
fy = + 0,28 och fx = + 0,42. Denna motsägelse, möjlig att erhålla deraf, att man har bekant en sida mer än hvad för
linietågets bestämning är nödigt, visar, att längdmätningen
ej är felfri. Man brukar fördela fy på de särskilda värdena
af a sin α och fx på de särskilda värdena af a cos α – och
vanligen proportionelt mot dessa värden
fy och fx alla positiva a sin α och a cos α minskas och alla negativa ökas;
att vid negativa värden på fy och fx förhållandet blir omvändt.. Genom denna
felfördelning få de sex sista kolumnerna i schemat på sid.
256 följande utseende
+=====+==============+=========+================+==========+
| N:o | a sin a | y | a cos a | x |
| | + | — | | + | — | |
|-----+-----+--------+---------+-------+--------+----------+
| | | m. | + m. | m. | m. | + m. |
| 1 | | 59,51 | 7853,19 | —— | 148,15 | 54686,79 |
| 2 | | 131,87 | 7793,68 | 32,28 | —— | 54538,64 |
| 3 | | 57,24 | 7661,81 | 33,77 | —— | 54570,92 |
| 4 | | 90,18 | 7604,57 | 75,06 | —— | 54604,69 |
| 5 | | 188,34 | 7514,39 | —— | 170,31 | 54679,75 |
| 6 | | 114,83 | 7326,05 | 63,38 | —— | 54509,44 |
| 7 | | 85,45 | 7211,22 | —— | 355,22 | 54572,82 |
| 8 | | 48,23 | 7125,77 | —— | 219,70 | 54217,60 |
| 9 | | —— | 7077,54 | —— | —— | 53997,90 |
Härmed är beräkningsschemat utan motsägelser och
felutjemningen afslutad. Densamma utföres äfven enligt minsta
qvadratmetoden, men fordrar då vida längre tid, utan att
motsvarande fördelar vinnas.
195. Slutna polygoner. Om linietåget bildar en sluten
polygon med n hörn, så är, allt efter som utanvinklar eller
innanvinklar blifvit uppmätta, vinkelsumman (n + 2) 180 eller
(n − 2) 180. Visar sig den uppmätta vinkelsumman
öfverskjuta eller understiga med felet f, så har man att
subtrahera f∕n från eller addera f∕n till hvar och en af de n vinklarne, innan koordinatberäkningen företages. Då vanligen
alla n sidorna äro uppmätta, men endast n−1 sidor fordras
bekanta för polygonens bestämning, så kan man äfven
kontrollera längdmätningen och på sätt som i föregående fall
proportionelt fördela skilnaderna mellan de gifna och de
beräknade koordinaterna för utgångspunkten på de särskilda
värdena af a sin α och a cos α och derefter korrigera de först
erhållna koordinatvärdena.
196. Noggrannhet vid bruten liniemätning. Lemnande
för öfrigt åsido de fel, hvartill man vid längdmätningen (se
68, 95 och 97) och vinkelmätningen gör sig skyldig — fel
som man har i sin makt att minska i den mån man har
tillfälle att åt dessa mätningsoperationer egna tid och
omsorger — må här blott påpekas nödvändigheten af att såvidt
möjligt är undvika små sidor. Centreringsfelet vid
teodolitens uppställning får nämligen i så fall ett farligt inflytande.
Det behöfves vid en sida om 100 meter blott att teodoliten
står excentriskt med 5 m.m. för att vinkelfelet skall blifva 10″.
Mindre sidor än 60 à 70 meter böra derför ej finnas i
linietåget, och bör man isynnerhet bemöda sig om att få
teodoliten väl centrerad öfver alla brytningspunkter, i hvilka små
sidor sammanstöta. Vid felutjemningen borde man
egentligen göra en större korrektion för de vinklar som bildas af
små, än för de som bildas af stora sidor, emedan det med
all sannolikhet är vid de förra vinklarne som de större
mätningsfelen uppkommit.
Antages, allt efter som mätningarne verkstälts mer eller
mindre noga, att medievinkelfelet är 15″ à 1′, så torde
för n brytningspunkter felsumman ungefärligen fås ur
För n = 4, 16 och 25, blir i sista fallet felsumman 2′, 4′ och 5′.
Hvad beträffar koordinatfelen kan ej någon bestämd
formel härför uppsättas. I Preussen fordras, allt efter
mätningens olika karakter, att afståndet mellan linietågets
begynnelse- och slutpunkt är riktigt på ¹⁄₁₀₀₀ à ³⁄₁₀₀₀ när.
Trigonometrisk triangelmätning af 3:dje eller
4:de ordningen.
197. Om flera punkter äro så förlagda på jordytan,
att de kunna sammanbindas till ett nät af trianglar, så är
det möjligt att genom mätning bestämma hela nätets
projektion, d. v. s. samtlige punkternas projektioner, på ett ideelt
jordklot eller, om nätet har obetydlig utsträckning, på ett
klotet tangerande plan. Denna mätning, som benämnes
triangelmätning, består uti mätning af en nätets sida och af
erforderligt antal vinklar, och punkternas projektioner
bestämmas genom koordinater, som på grund af dessa
mätningar beräknas och hänföras till ett förut antaget axelsystem.
I händelse af projektion på klotet består axelsystemet af
en klotets meridianbåge och en dermed rät vinkel bildande
cirkelbåge — och koordinaterna äro cirkelbågar; i händelse
af projektion på horisontalplanet, af två med hvarandra rät
vinkel bildande linier i detta plan — och koordinaterna äro
rätliniga. Lemnande åsido den sferiska triangelmätningen,
hvilken, enligt hvad uti inledningen är antydt, hör till den
högre geodesien, komma vi i det följande att sysselsätta oss
med den i omedelbart samband med detaljmätningarne
stående triangelmätningen af 3:dje eller 4:de ordningen — och
företrädesvis med de senare.
Skall detaljmätningen öfver en trakt grundas på en
trigonometrisk triangelmätning af 4:de ordningen, så förlägges
öfver trakten ett triangelnät, hvars sidor i medeltal äro 500
à 1000 meter. Är det fråga om detaljmätning af ett helt land
eller af en större trakt, så anslutes detta nät till befintliga
triangelpunkter af högre ordning
i Sverige ersätter den trigonometriska detaljtriangelmätningen med en
grafisk triangelmätning. Den trigonometriska triangelmätningen af 4:de
ordningen torde i vårt vidsträckta land endast få betydelse vid
upprättandet af noggranna specialkartor i stora skalor.; är det åter fråga om
en fristående mätning af en mindre trakt, så är en sådan
anslutning, ehuru alltid förmånlig, ej nödvändig. I
hvilketdera fallet inmätes från triangelpunkterna af 4:de ordningen
sådane bipunkter, som kunna underlätta detaljmätningarne.
I fig. 190 utvisa de grofva linierna ett nät af 3:dje
ordningen (sidor om 3000 à 6000 meter), de fina ett nät af
4:de ordningen och de streckade
enstaka trianglar för bestämning af
bipunkter.
Fig. 190.
Hvad utval af lämpliga
triangelpunkter beträffar, så sker detta efter
en föregången rekognosering och med
ledning af de kartor som öfver
trakten redan finnas. Man bemödar sig
att finna dominerande punkter, som
på samma gång bilda knutpunkter i
ett nät af trianglar, hvilka ej hafva allt för spetsiga vinklar.
Liksidiga trianglar äro i allmänhet de förmånligaste med
hänsyn till mätningens skärpa. Vigtiga triangelnät af 4:de
ordningen söker man understundom att utmärka så, att de
blifva beståndande, vanligen genom ett kors på en uti berg
eller jordfast sten nedslagen jerndubb, och uppreser häröfver
en enkel pyramidsignal, exempelvis en sådan som den
hvilken i fig. 36 finnes afbildad; men i allmänhet får man
åtnöja sig med kors på stenar eller på i marken neddrifna
träpålar. I så fall användes skodda och stadiga
flaggstänger såsom signaler (se 38).
Är ej triangelnätet anslutet till ett nät af högre
ordning, så måste en baslinie uppmätas. Man utväljer härför,
såvidt möjligt är, plan terräng (på isen öfver vattendrag eller
utefter raka jernvägslinier kan basmätning med lätthet
verkställas) och förlägger basliniens ändpunkter så, att de på ett
förmånligt sätt — genom goda afskärningstrianglar — kunna
anknytas till nätet. Mätningen verkställes med
träbasstänger (91), vare sig att dessa läggas direkt på marken eller
att de föras efter spända snören. Baslinien behöfver ej
hafva så stor längd som nätets sidor i allmänhet hafva.
Erfarenheten har visat, att äfven med en betydligt mindre
bas ett godt resultat kan vinnas, blott man under noggrann
mätning så småningom från baslinien öfvergår till större och
större trianglar. Fig. 191 visar en kombination som, när
den är möjlig, väsendtligt underlättar en
sådan öfvergång. För nät af 4:de
ordningen torde baslinier om 200 à 500 meter —
i nödfall ännu mindre sådane, om
öfvergångsmätningen verkställes noggrannt —
vara tillfyllest.
Fig. 191.
Vinkelmätningen verkställes i punkter
af 4:de ordningen med teodoliter, som hafva
100 à 200 millimeters horisontalcirkel och
10 à 30 sekunders utslag vid nonierna.
Man använder vanligen riktningsmätning och mycket sällan
repetitionsmätning. Allt efter nätets utsträckning och den
skärpa som eftersträfvas mätes i hvarje hufvudpunkt med
4 eller 2 gyris, d. v. s. 2 eller 1 korresponderande
gyruspar är tillfyllest. I hvarje hufvudtriangel blir i
öfverensstämmelse med det förut sagda alla vinklarne uppmätta.
Bipunkter bestämmas blott genom mätning af vinklarne vid
basen och med enkelt gyruspar. För protokollföring m. m.
hänvisas till sid. 97.
198. Beräkning af triangelpunkternas koordinater. Till
origo väljes alltid en triangelpunkt i landets triangelnät, när
någon sådan är till nätet af 4:de ordningen anknuten, eljest
en centralt belägen punkt i detta nät. Axelsystemet
förlägges vanligen så, att abskissaxeln sammanfaller med origos
meridian. För att kunna välja ett så beskaffadt axelsystem
måste man känna någon triangelsidas azimutvinkel. Som i
hvarje punkt af landets triangelnät de der sammanstötande
triangelsidornas vinklar med meridianriktningen äro kända
eller enligt formlerna (189) och (192) kunna beräknas, så
behöfver man, när en sådan punkt är inlänkad i nätet af 4:de
ordningen, blott mäta vinkeln mellan två sammanstötande
sidor i det stora och det lilla nätet för att kunna beräkna
azimutvinkeln för den det lilla nätet tillhörande sidan.
Finnes ej någon triangelpunkt af högre ordning, får
meridianriktningen på förut (190) anfördt sätt bestämmas, såvida
man ej, såsom understundom vid smärre fristående
mätningar, oberoende af riktningsförhållanden tager en af
triangelsidorna till abskissaxel.
Förutsatt att vinkelmätningsfelen äro på sätt, hvarför
längre fram skall redogöras, utjemnade, börjar man med att
beräkna triangelsidorna. Man utgår dervid från baslinien
eller från en triangelsida af högre ordning, om nätet blifvit
anknutet till en sådan. I sistnämnde fall beräknas denna
sidas azimutvinkel och längd — dess koordinater, äro
— ur formlerna (192) och (193).
Betecknas de tre hörnpunkterna i en triangel med a,
b och c, och sidan a b är bekant, vare sig att den är en
baslinie eller att dess storlek blifvit bestämd i en föregående
triangel, så fås sidorna a c och b c ur
hvarvid a b∕sin c är en för båda formlerna gemensam faktor.
Vid beräkningen med logaritmer har man alltså att skrifva:
log a b =
log sin c =
—————————————————————————————————————————————————————————
log a b − log sin c = . . . . . . . . . . . = . . . . . .
log sin b = . . . . . | log sin a = . . . . . .
——————————————————————|————————————————————————
log a c = . . . . . | log b c = . . . . . .
a c = . . . . . | b c = . . . . . .
Som nu en närgränsande triangel har någon af dessa
sidor gemensam med ifrågavarande triangel, så kunna äfven
dess båda öfriga sidor på samma sätt beräknas — och så undan
för undan hela nätet igenom. Anmärkas bör, att man,
alldenstund den kända sidans logaritm alltid återfinnes i den
föregående triangelberäkningen, i hvarje triangel (med
undantag af den första) blott har att slå upp logaritmerna för
vinklarne. Eör att underlätta beräkningen och förekomma
misstag är det förmånligt att företaga operationerna i en
bestämd ordning.
Koordinatberäkningen kan nu ske på två sätt.
Antingen tillvägagår man som vid bruten liniemätning (193) i det
man bestämmer sig för ett visst linietåg och, utgående från
den sida hvars azimutvinkel är känd, beräknar i tur och
ordning sidornas azimutvinklar enligt formlerna (189) och
punkternas koordinater enligt formlerna (190) och (191);
eller ock beräknas koordinaterna för en punkt i hvarje
triangel (de två öfriga punkternas koordinater blifva
påtagligen beräknade i föregående trianglar), och i så fall kan man
för hvarje punkt kontrollera räkningen; ty om a, b och c
beteckna de tre hörnpunkterna i en triangel, och
koordinaterna för a och b blifvit bestämda i föregående trianglar samt
azimutvinklarne (a c) och (b o) blifvit på förut kändt sätt
ur formeln (189) härledda, så fås koordinaterna för c ur
Beräkningen bör föras schematiskt och på likartadt sätt som
i schemat på sid. 256.
199. Vinkelfelens utjemning. Vi hafva hittills förutsatt
att vinkelfelens utjemning redan vore verkstäld eller att
någon sådan, såsom vid en del praktiska mätningar, ej varit
nödig. Det må i det följande visas huru denna utjemning
verkställes. I triangelnät af högre ordning sker
felutjemningen med tillhjelp af minsta qvadratmetoden. Ehuru på
detta sätt det bästa resultatet erhålles, så har man i
allmänhet ej tillfälle att åt felutjemningen vid ett nät af 4:de
ordningen egna den tid, som minsta qvadratmetoden skulle
taga i anspråk; och äfven om så vore, torde det vara
lämpligare att egna denna tid åt förökad noggrannhet vid
mätningen. Vi anse oss derför endast böra meddela en enkel
felutjemningsmetod, hvarvid läsaren ej torde förvexla den
något invecklade bevisföringen med den enkla användningen.
Om vinkelmätningen vore absolut riktig, så skulle
vinkelsumman i hvarje triangelpunkt vara lika med fyra räta
vinklar, och vinkelsumman i hvarje triangel vara lika med
två räta vinklar. På grund af mätningsfelen får man
imellertid vid hopsummeringen (fig. 192):
Fig. 192.
Vinklarne c͵, c₂, c₃, c₄ och c₅
förekomma såväl i
poleqvationen som i hvar sin
tillhörande triangeleqvation.
Betecknas det korrektionselement, som i
triangeln I tillkommer hvardera
af de tre vinklarne med m͵, och
det korrektionselement, som i
och för polvilkorets uppfyllande
dessutom särskildt tillkommer
hvardera af polvinklarne med p,
så bör i triangeln I vinklarne a͵, och b͵, hvardera korrigeras
med m͵ och vinkeln c͵ korrigeras med v͵ = m͵, + p. Under
motsvarande beteckning följer, att korrektionselementen äro
vid de öfriga trianglarne för de yttre vinklarne m₂, m₃, m₄
och m₅ samt för polvinklarne v₂ = m₂ + p, v₃ = m₃ + p o. s. v.
Emedan enligt föregående
c͵ + v͵ + c₂ + v₂ + c₃ + v₃ + c₄ + v₄ + c₅ + v₅ − 360 = 0,
så är
och emedan
och
så är
En identisk eqvation kan för hvardera af de följande
trianglarne uppställas. Man erhåller genom sammanställning
af dessa och föregående eqvationer följande eqvationsschema:
v͵ + v₂ + v₃ + v₄ + v₅ = m͵ + m₂ + m₃ + m₄ + m₅ + 5p = − k
v͵ + 2m͵ = 3m͵ . . . . . . . . . . + p = − △͵
v₂ + 2m₂ = 3m₂ . . . . . . . . + p = − △₂
v₃ + 2m₃ = 3m₃ . . . . . . + p = − △₃
v₄ + 2m₄ = 3m₄ . . . . + p = − △₄
v₅ + 2m₅ = 3m₅ . . + p = − △₅.
Om de 5 sista eqvationerna adderas, så erhålles
3m͵ + 3m₂ + 3m₃ + 3m₄ + 3m₅ + 5p = − △͵ − △₂ − △₃ − △₄ − △₅,
och om den första multipliceras med 3 på ömse sidor om likhetstecknet, så fås
Tager man skilnaden mellan dessa båda eqvationer, så fås
hvaraf
Om man granskar huru denna formel tillkommit, så
finner man, att den, när n trianglar sammanstöta i polpunkten,
får följande utseende
Detta värde på p hafva vi enligt föregående
eqvationsschema att i följande eqvationer insätta för att i hvardera
triangeln erhålla de respektive korrektionstalen m och v för
hörnvinklar och polygonvinkeln
m͵ = −(p + △͵ )∕3
m₂ = −(p + △₂)∕3
. . . . . . . . . . . . . . . . . }
mn = −(p + △n)∕3
Användningen af formlerna (195) och (196) i och för
vinkelfelens utjemning torde lämpligen belysas genom ett exempel.
Antag att 5 trianglar (n = 5) sammanstöta, att summan
af vinklarne vid polen öfverskjuter 360° med k = +20″,
och att vinkelsummorna i de respektive trianglarne afvika
från 180° med △͵ = +20″, △₂ = −60″, △₃ = +40″,
△₄ = −100″ och △₅ = +20″, så är
och
Korrektionstalen blifva alltså:
för de båda hörnvinklarne m͵ −(−2 + 20)∕3 = −6″
och för polvinkeln v͵ = −6 − 2 = −8″.
för de båda hörnvinklarne m₂ = −(−2 − 60)∕3 = + 20²⁄₃″
och för polvinkeln v₂ = + 20²⁄₃ − 2 = +18²⁄₃″
Korrigeras vinklarne i de öfriga trianglarne enligt samma
grunder, så blir polsumman lika med 360° och
vinkelsumman i hvarje triangel lika med 180°. Det är imellertid ej
nog med att dessa vilkor äro uppfylda, för att triangelnätet
skall vara matematiskt möjligt. De förutsätta ej att
triangelsidorna sammanstöta i hörnpunkterna 1, 2, 3, 4 och 5
(man kan vrida på en gränssida och utdraga motsvarande
polsida, utan att rubba de ofvannämnde vinkelsummorna), och,
om de ej göra detta, så erhålles ej samma koordinatvärden
för en punkt, när man på olika linietåg kommer till
densamma. Vilkorseqvationen för att triangelsidorna skola
sammanstöta i hörnpunkterna kan erhållas sålunda: Af fig. 192
framgår att polsidorna
Multipliceras på ömse sidor om likhetstecknen, så fås
Detta är den sökta vilkorseqvationen, som för att beqvämt
kunna användas transformeras till
log sin a͵ + log sin a₂ + log sin a₃ + log sin a₄ + log sin a₅ − log sin b͵ + log sin b₂ + log sin b₃ + log sin b₄ + log sin b₅ = 0
eller, om summan af logaritmerna för vinklarne till venster
i trianglarne (man tänkes stå i polen) betecknas med ∑ log sin a
och summan af logaritmerna för vinklarna till höger med
∑ log sin b, till
Insättas de genom föregående korrektion funna
vinkelvärdena uti sistnämnde eqvation, så finner man i allmänhet
att skilnaden mellan logaritmsummorna ej blir 0 utan
Vi hafva alltså att så ändra samtliga hörnvinklarne
(polvinklarne lemnar eqvationen oberörd), att eqvationen (197)
uppfylles, utan att förorsaka ändring i trianglarnes
vinkelsumma. Detta låter sig endast göra, om i hvarje triangel
den ena hörnvinkeln lika mycket ökas som den andra
minskas. Är l positiv, så måste påtagligen vinkeln till venster
(a) minskas och den till höger (b) ökas; är l negativ blir
förhållandet motsatt. Då alla hörnvinklarne blifvit uppmätta
med samma noggrannhet, så är det i öfverensstämmelse med
sannolikhetsprincipens fordringar riktigt att korrigera dem
med samma tal. Är det sökta gemensamma korrektionstalet
x sekunder, så kommer log sin a͵, att ändras med x∙z͵, om
z͵ är logaritmdifferensen för en sekund i sinustabellen för
nämnde vinkel; och om motsvarande logaritmdifferenser för de
öfriga hörnvinklarna betecknas med z₂, z₃, … z₁₀, så måste
x(z͵ + z₂ + z₃ + z₄ + z₅ + z₆ + z₇ + z₈ + z₉ + z₁₀) = −l,
ty endast i så fall blir vid denna och föregående eqvations
summering summan till venster om likhetstecknet lika med 0,
x fås efter denna summering ur
Exempel. Är ∑ log sin a − ∑ log sin b = −960 samt ∑ z = +60, så är x = −960∕60 = +16″.
Vi hafva alltså i detta fall att öka hvarje a-vinkel (venstervinkel) med 16″ och att minska hvarje
b-vinkel (högervinkel) med 16″. Imellertid brukar man, såsom nedanstående schema utvisar, blott
anteckna den korrigerade hörnvinkelns logaritm. Denna erhålles omedelbart ur redan kända tal sålunda:
Är en vinkel 58°20′ 24″ så är log sin diff. för 1″ = +12,98. Skall denna vinkel ökas eller minskas med 16″,
så kommer dess logaritm att ökas eller minskas med 16×12,98 = 208. Det torde väl knapt behöfva påpekas,
att log sin diff för 1″ är negativ för vinklar i 2:dra och 4:de qvadranten.
+====+====+============+=================+=============+=============+=============+=============+===========+=============+==========+
| T | | Uppmätt | Korrektionstal | Vinklar | log.diff. z | log sin a | log sin b | log sin | De mot- | Sidornas |
| r | | vinkel. | för hörnvinklar | korrig. med | för 1″ . | samt än- | samt än- | b korrig. | stående | längder |
| i | | | och polvinkeln. | föreg. tal. | | dringstalet | dringstalet | c | triangel- | i meter. |
| a | | | | | | t = x∙z. | t = x∙z. | a korrig. | sidornas | |
| n | | | | | | | | | logaritmer. | |
| g | | | | | | | | | | |
| e | | | | | | | | | | |
| l | | | | | | | | | | |
|————+————+————————————+—————————————————+—————————————+—————————————+—————————————+—————————————+———————————+—————————————+——————————|
| | | | | | | | −251 | | | |
| | b, | 53° 19′ 00″ | −6″ | 53° 18′ 54″ | +15,70 | | 9,9041376 | 9,9041125 | 3,1148736 | 1302,89 |
| I | c, | 68 20 50 | −8 | 68 20 42 | x = +16 | +208 | | 9,9682132 | 3,1789743 | 1510,00 |
| | a, | 58 20 30 | −6 | 58 20 24 | +12,98 | 9,9300203 | | 9,9300411 | 3,1408022 | 1382,93 |
| | |————————————| | | | | | | | |
| | |180 0 20 | | | | | | | | |
| | | △, = +20 | | | | | −370 | | | |
| | b₂ | 42° 20′ 20″ | +21 | 42 20 41 | +23,12 | | 9,8283954 | 9,8283584 | 3,1408022 | 1382,93 |
| II | c₂ | 39 9 30 | +18 | 39 9 48 | x = +16 | −51 | | 9,8002721 | 3,1127159 | 1296,33 |
| | a₂ | 98 29 10 | +21 | 98 29 31 | −3,2 | 9,9952130 | | 9,9952079 | 3,3076517 | 2030,73 |
| | |————————————| | | | | | | | |
| | |179 59 00 | | | | | | | | |
| | | △₂ = −60 | | | | | | | | |
o. s. v.
Ofvanstående schema torde för ifrågavarande sätt att
utjemna mätningsfelen lämpligen böra användas vid
triangelsidornas beräkning.
Har på detta sätt felutjemning och sidoberäkning blifvit
gjorda för en hufvudgrupp, så utföres motsvarande
operationer vid anslutningsgrupperna enligt samma grunder. En af
hörnpunkterna i föregående grupp tages då till polpunkt och
föröfrigt förfares som vid hufvudgruppen, blott med den
skilnad att de sidor och vinklar, som gruppen har gemensamt
med den föregående gruppen, ej få ändras. I
anslutningsgruppen Ⅵ, Ⅶ, Ⅷ, Ⅸ (fig. 192) blir 5 polpunkt; men
vinklarne a₄, b₄, c₄, a₅, b₅, c₅ få ej ändras. Man har alltså
för denna grupp att i formeln (195) sätta n = 4 och att i
formeln (198) ej medtaga logaritmdifferenserna z₄ och z₅ för
dessa vinklar.
Ehuru ofvan afhandlade felutjemningssätt ej kräfver
mycken tid, kan man understundom, t. ex. när mätningen
blifvit verkstäld med en fin teodolit och nätet ej har stor
utsträckning, vinna tid genom att göra en felutjemning efter
smak. För att på detta sätt lyckas, fordras dock vana och
skarpsinne.
För att få öfverskådlighet af triangelnätet brukar man
upprätta en öfversiktskarta i någon af skalorna ¹⁄₁₀₀₀₀ till
¹⁄₂₀₀₀₀. Detta sker enligt längre fram angifna grunder.
200. Excentrisk vinkelmätning. En del
triangelpunkter, såsom tornspiror m. fl., äro af den beskaffenhet, att
teodoliten ej kan öfver dem centreras. Man får derför ställa
teodoliten vid sidan af sådane punkter och genom mätning
af den excentriska vinkeln, excentricitetslinien och dess
vinkel med en af de excentriska sidorna bestämma den
centrerade vinkeln. Ehuru detta
mätningssätt egentligen förekommer
inom den högre geodesien och
blott sällan vid triangelnät af 4:de
ordningen, så torde det likväl
vara på sin plats att derför i
korthet redogöra.
Antag (fig. 193) s vara
triangelpunkten och s͵ den station
i hvilken man har uppstält
teodoliten, φ och γ vara de
uppmätta vinklarne (alltid räknade
från venster till höger relativt till s͵ s), e vara
exentricitetsliniens längd samt a och b de genom en approximativ
beräkning (i triangeln s p p͵ äro vinklarne vid p och p͵ samt
sidan p p͵ kända från föregående mätningar) kända
triangelsidorna. Alldenstund i trianglarne s i p och s͵ i p vinklarne
vid i äro lika stora, så är
Nu kan imellertid, emedan α och β äro mycket små, sättas
hvaraf den sökta vinkeln
c = γ + (e∕sin 1″)(sin (φ + γ)∕a − sin φ∕b) . . . (199).
Af denna formel får man äfven veta det vinkelfel
δ = c − γ δ, som en excentrisk uppställning af teodoliten
förorsakar. δ blir lika med 0 när s͵ ligger på den s p p͵
omskrifna cirkeln; δ får vid oföränderliga värden på a, b och e
sina maximivärden för φ = 0 och γ = 90° eller för φ = γ = 90,
d. v. s. när man (fig. 194) stationerar på någon af de förlängda triangelsidorna. I förra fallet är δ = e∕a sin 1″ sek. i
senare fallet δ = −e∕a sin 1″ sek. Är a = b = 206,26 meter
e = 0,01 meter, så blir alldenstund sin 1″ = ¹⁄₂₀₆₂₆₅
δmax = ± 206265∙0,01∕206,26 = ± 10 sek.
201. Pothenots problem. Det har
i 151 blifvit redogjort för huru man
på grafisk väg löser problemet: att
bestämma stationspunkten genom syftning
till tre kända punkter. Vi vilja i det
följande (fig. 195) visa huru man, då
de tre punkternas koordinater äro gifna
och de två vinklarne φ′ och φ″ äro
uppmätta, kan bestämma
stationspunktens koordinater. Beteckna x͵ y͵, x₂ y₂
och x₃ y₃ de gifna koordinaterna till
punkterna p͵, p₂ och p₃ samt x och y de
sökta koordinaterna till stationspunkten s, så är enligt
formlerna (192) och (193)
tang β = (y₃ − y͵)∕(x₃ − x͵),
b = (y₃ − y͵)∕sin β och c = (y₂ − y͵)∕sin γ.
Fig. 195.
Emedan vidare x = x͵ + d cos δ och y = y͵ + d sin δ, så kunde
x och y bestämmas, om d och δ voro bekanta. Vi hafva
alltså att söka d och δ.
Emedan trianglarne s p͵ p₂ och s p p₃ hafva sidan d
gemensam, så är
och om hjelpvinkeln μ beräknas ur
och man sätter β − φ = ε och γ − φ′ = ε′
eller efter en bekant trigonometrisk transformation
hvaraf, om man sätter δ − ⅟₂ (ε + ε′) följer
Är ρ beräknad, så fås
δ = ρ + ⅟₂(ε + ε′)
och härmed ur trianglarne s p͵ p₂ och s p͵ p₃,
Insättas de funna värdena på d och δ (värdena på b
och c beräknade enligt föregående formler) uti ofvan anförde
koordinateqvationer, så erhålles värdena på x och y. Oftast
kan man syfta på mer än tre punkter och kan då låta en
felutjemning föregå den egentliga koordinatberäkningen. För
huru en sådan felutjemning verkställes, anse vi oss ej här
böra redogöra, utan hänvisa till större geodetiska arbeten.
Som bekant är problemet olösligt, när punkten ligger
på samma cirkel som de gifna punkterna.
202. Hansens problem. Det har i 150 blifvit visadt
huru man på grafisk väg löser problemet: att under
stationering i två punkter bestämma dessa punkter genom
syftning till två kända punkter. Vi vilja i korthet antyda huru
man, då två punkters koordinater äro gifna, kan genom
vinkelmätning i två andra punkter bestämma de sistnämnde
punkternas koordinater.
Beteckna xp yp och xr yr de gifna koordinaterna för
punkterna p och r, samt x y och x͵ y͵ de sökta koordinaterna
till stationspunkterna s och s͵, så kunna (fig. 196) följande
analogier uppställas:
Fig. 196.
a sin ψ = c sin (ψ + γ − α)
b sin φ = c sin (φ + β − γ)
a sin ψ′ = b sin (φ′)
β − α = 180° − (φ′ + ψ′)
c = (xr − xp)∕cos γ = (yr − yp)∕sin γ
tang γ = (yr − yp)∕(xp − xp).
Häraf kunna de fyra obekanta
storheterna a, b, α och β bestämmas. Känner
man åter dessa storheter, så fås de sökta
koordinaterna för s och s͵, ur
x = xp + b cos β, y = yp + b sin β
x͵ = xp a cos α, y͵= yp + a sin α.
Sätter man den bekanta differensen β − α = 2δ, och
den ännu obekanta summan β + α = 2σ, så fås α = σ − δ
och β = σ + δ; sätter man vidare de bekanta vinklarne
ψ + γ + δ = ρ och φ − γ + δ = η, så få de tre första
eqvationerna följande utseeende
a sin ψ = c sin (ρ − σ)
b sin φ = c sin (η + σ)
a sin ψ′ = b sin φ′.
Dividerar man den första med den andra och insätter
a∶b från den tredje, så erhålles
och, om hjelpvinkeln μ införes och man sätter
ur hvilken eqvation σ kan erhållas; ty sätter man
och beräknar ω ur föregående eqvation, så är
Man kan alltså nu (se det föregående) beräkna α, β, a
och b ur
a = c sin (ρ − σ)∕sin ψ, b = c sin (η + σ)∕sin φ,
och, om dessa värden införas i koordinateqvationerna, de
sökta koordinaterna x y och x͵ y͵
203. Noggrannhet vid triangelmätning af 4:de ordningen.
På grund af åtskilliga under öfningarne med Teknol.
Institutets elever verkstälda mätningar i det af topografiska kåren
upprättade triangelnätet för kartläggning af Stockholms stad,
hafva vi vid resultatens Jemförande trott oss finna, att nian
med 12 à 15 centimeters teodolit, med nonieutslag om 20 à
10 sekunder, kan vid tvåfaldig mätning (en gyrus i
hvardera läget) påräkna, att det sannolika felet, hvarmed en
punkt blir bestämd i förhållande till någon af sina
grannpunkter, är ¹/₁₀₀₀₀ à ¹/₁₅₀₀₀ af punkternas afstånd
(triangelsidans längd).
Jordan angifver det sannolika felet i sidornas längder
vid nät af 4:de ordningen till 5 à 10 centimeter; Franke har
vid undersökningsmätningar med en 12 centimeters teodolit
med 20″ nonieutslag (2 gyrusmätningar i ena och 1
gyrusmätning i det andra läget) fått det sannolika felet att vara
0,000081 meter för 1 meter.
Detaljmätning.
204. Det har uti inledningen blifvit talat om två olika
slags detalj mätning: koordinatmätning och grafisk mätning. Då
vi nu gå att behandla koordinatmätningen och den grafiska
mätningen hvar för sig, torde det vara på sin plats att
påpeka, det den systematisering, som ansetts nödig i det
följande, ingalunda angifver, att de, under hvardera behandlade
olika metoderna i praktiken äro af hvarandra oberoende.
Terrängförhållanden och för handen varande omständigheter
kräfva nämligen i allmänhet, att olika metoder användas i
samband med hvarandra; men för att kunna göra detta på
bästa sätt, måste man känna hvarje metods karakter, dess
fördelar och olägenheter.
Såväl med anledning af ändamålet med detta arbete,
som med anledning af den principiela indelningsgrund,
hvilken författaren ansett sig böra fasthålla, har han i det
följande företrädesvis tänkt sig definitiva mätningar i större
skalor. De approximativa mätningssätten hvila på samma
principer som de definitiva. Skilnaden består i allmänhet
blott uti, att man, lämpande sig vid de förra efter den mindre
skalans förmåga att uttrycka och det speciela ändamålet,
begagnar sig af de förenklingar och de genvägar som
minskade anspråk på noggrannhet möjliggöra.
Planmätning med kedja och korstafla
(koordinatmätning). Pl. 5.
205. Mätning på ömse sidor af en linie. Skall ett
fält af obetydlig bredd, eller gränslinien till ett större fält
kartläggas, så kan kartläggningen grundas på mätning af
detaljpunkternas koordinater relativt till en genom fältet eller ut
efter gränslinien stakad baslinie.
Denna baslinie förlägger man (Pl. 5, fig. 197), för att
få mäta korta ordinater, så nära som möjligt de punkter
(hörnpunkter till hus, brytningspunkter i vägar, gränslinier,
etc.) som skola bestämmas. Sedan den blifvit utstakad —
i kuperad terräng med teodolit — så mätes den med
basstänger eller kedja, och på hvar eller hvarannan
kedjelängd utsättas stickor I, II, III, o. s. v., hvilkas
besiffrade, åt utgångspunkten A vända sida angifver afståndet
till denna punkt
nummer på hvarannan sticka för att utmärka antalet hundra fot från
utgångspunkten.. Är basmätningen verkstäld, och hafva på
ömse sidor om linien de punkter som skola upptagas blifvit,
der så är nödigt, särskildt utmärkta, så bestämmas med
korstafla, prisma eller vinkelspegel ordinaternas fotpunkter
(abskisspunkter) i baslinien. Dessa punkter utmärkas
lämpligast med stakar. Hafva ett antal sådane stakar blifvit i
baslinien utsatta (man aktar sig for att utsätta fler i sänder,
än man kan hålla reda på), så mätes hvarje stakes afstånd
från föregående nummersticka, men antecknas dess afstånd
från utgångspunkten A (som nummerstickorna äro på jemna
50 eller 100 fot (meter) från A, kan den härför erforderliga
additionen lätt verkställas i hufvudet); derpå mätes ordinaterna.
På detta sätt fortgår mätning af abskisser och ordinater, tills
samtlige punkterna äro bestämda. Man bör, så snart en
abskiss-stake är använd, antingen rycka upp den eller vika den
ur linien, på det att inriktning af följande stakar må ske efter
de ursprungligen utsatta, baslinien bestämmande stakarne.
Vid abskissmätningen är det synnerligen vigtigt att
man endast utgår från den föregående basmätningens
nummerstickor samt att man, då afstånden mellan dessa är större
än en kedjelängd, endast flyttar kedjan med hel kedjelängd.
Man kontrollerar härigenom basmätningen och behöfver ej
addera två ojemna tal såsom fallet blir, om man lägger till
med kedjan vid en förut bestämd abskisspunkt och mäter
afståndet till en följande.
Pl. 5.
Fig. 197-201
För öfrigt har man att vinnlägga sig om en bestämd
ordningsföljd i operationernas gång samt att ej mer än
nödigt är draga kedjan fram och tillbaka, d. v. s. med andra
ord, man bör draga kedjan minsta möjliga väg. I och för
kontrolls skull brukar man ofta mäta afstånd mellan
närliggande ordinatpunkter.
Af synnerlig vigt är att mätningsprotokollet föres enligt
ett system, som, på samma gång enkelt och tydligt, ej kan
leda till förvillelse. Flera sådane system kunna uppgöras.
Vi föredraga det i fig. 197 angifna. Alla abskisslängder,
hänförda till utgångspunkten A, äro skrifna vinkelrätt mot
baslinien och på motsatt sida om ordinatan. Härigenom
komma ej siffertalen att gå i hvarandra, när ordinaterna ligga
tätt, och ej heller förvexling att ega rum mellan siffrorna
för närliggande venster- och höger-ordinater.
Ordinatlängderna skrifvas i ordinatans riktning och vid dess ändpunkt.
Förekomma flera punkter vid samma ordinatlinie, såsom
fallet blir då linien skär en väg etc., så uppskrifves
ordinatafståndet för hvarje punkt, ej afståndet mellan de respektive
punkterna. Siffertalen för de kontroll-linier, som man här och
der kan finna förmånligt att mäta, äfven som för dimensioner
af hus etc., kunna skrifvas i liniens riktning och vid dess
midt. Med undantag för sistnämnde siffertal böra alla andra
i protokollet förekommande tal antingen beteckna
abskiss- eller ordinatlängder. Att mäta hvilka afstånd som helst, att
skrifva siffrorna hur som helst och genom pilar etc. antyda
för hvilka längder de gälla är helt och hållet att förkasta.
Siffertalet för basliniens längd kan man understryka med två
streck. Man bör för öfrigt alltid förlägga utgångspunkten A
vid bladets nedre ände. Härigenom kommer
protokollföringen att fortgå i samma riktning som mätningen.
Skulle man vilja bestämma punkter, hvars ordinater till
följd af ett hinder, t. ex. en flod, ej kunna direkt mätas, så
kan man dock med tillhjelp af en 45 graders korstafla lätt
nå målet. Man bestämmer då på vanligt sätt
ordinatliniernas skärningspunkter med baslinien, söker sedan för hvarje
punkt basliniens skärningspunkt med en 45 graders linie och
får på detta sätt ordinater utlagda på baslinien. Detta sätt
kan understundom användas med fördel, när mätning i
ordinatriktningen af en eller annan anledning är svår att
verkställa eller bör undvikas.
206. Mätning af ett fält på grund af dess indelning i
trianglar och triangelsidornas mätning. Om ett större fält
skall kartläggas, så kan man ansluta detaljmätningen till
lämpligt förlagda trianglars sidor. I pl. 5, fig. 198 finnas
två hufvudtrianglar A B C och A C D, hvilka hafva den
gemensamma baslinien A C och bitrianglarne A E F, A E H
och E G C, uppkomna tillföljd af att linierna E F, E H och
E G blifvit förlagda ut efter de inre gränslinierna.
Vid valet af stomlinier bör man tillse, att ej flera
trianglar erhållas än hvad för säker kontroll och lätta
mätningsoperationer äro nödiga, att triangelsidorna smyga sig så nära
som möjligt intill figurens gränslinier, på det att korta
ordinater må erhållas, och att ej för spetsiga afskärningsvinklar
(isynnerhet vigtigt vid hufvudtrianglar) erhållas. Dessa
vilkor komma ofta i strid med hvarandra, och då återstår att
söka det fördelaktigaste jemkningssättet.
Sedan grundstommen blifvit utstakad, mätes samt
utsättes på hvarje eller hvarannan kedjelängd nummerstickor i
samtlige stomlinierna, hvarvid alla skärningspunkter mellan
stomlinierna äfven noggrannt bestämmas. Öfver denna
stommätning föres ett särskildt protokoll (pl. 5, fig. 199), i hvilket
man genom pilar antyder mätningens riktning i hvarje linie
och uppskrifver afstånden vinkelrätt mot linien. Man mäter
för kontrolls skull äfven sådane afstånd som ej äro teoretiskt
nödvändiga för stomfigurens uppritning. Sålunda böra äfven
afstånden F E, E H och E G mätas. Att
mätningsresultatet uti förevarande fall i väsendtlig mån kommer att bero
på den noggrannhet, hvarmed baslinien A C mätes, säger
sig sjelf.
Detaljmätningen verkställes för hvarje linie på sätt som
i föregående är visadt. Då fältet har större utsträckning, är,
för att undvika ett oredigt protokoll, lämpligt att föra ett
särskildt sådant för hvarje linie. Man har då att benämna
linien med samma bokstäfver som i stomprotokollet (se i
fig. 200, protokollet för A D). Under mätningen af
abskisslängderna bör man äfven kontrollera den föregående
stom-mätningen.
Fig. 201, pl. 5 visar stomlinierna till ett stort fält. Två
eller om man så vill fyra hufvudtrianglar (båda
diagonalerna anses uppmätta) finnas, och till dessa äro anslutna de
stomlinier af 2:dra ordningen (streckade) hvartill detaljerna
hufvudsakligen komma att anknytas. Sistnämnde linier äro
i allmänhet så utdragna, att kontrolltrianglar erhållas. För
att upptaga åkrar etc. i fältets inre, förläggas dessa linier
ungefärligen vinkelrätt mot åkrarne och företrädesvis der,
hvarest brytningar ega rum. Vid stommätningen böra
hvarje linies skärningspunkter med andra stomlinier noga
bestämmas.
Detta mätningssätt användes mycket i England. Dock
betjenar man sig ofta af teodoliten, såväl för stomliniernas
stakning som för mätning af vigtigare vinklar.
207. Mätning af en trakt på grund af dess inrutning.
Detta mätningssätt består uti att staka öfver trakten ett
nät af qvadratiska rutor, att från detaljpunkterna fälla
ordinater mot nätets sidor och att mäta dessa ordinater och deras
motsvarande abskisser.
Fig 203.
Rutsidans storlek beror i väsendtlig mån på
beskaffenheten hos den trakt som skall mätas. Har (fig. 203) ett
visst afstånd blifvit antaget, så
utsättas i baslinien a b stakar på detta
afstånd från hvarandra, och sedan
detta är gjordt, stakas vinkelrätt
mot baslinien de båda linierna c d
och e f. Utsättas i dessa linier från
a b räknadt stakar på rutafståndet
och sedermera från dem stakar på
samma afstånd i linien g h, så har
man tillräckligt många stakar för
att sedan utan mätning kunna staka
ut rutnätet så långt man behagar.
Det torde väl för öfrigt knapt behöfva påpekas, att många
andra sätt finnas för rutnätets utstakning. Stakas med
teodolit, så ökas noggrannheten i väsendtlig mån.
Har rutnätet blifvit stakadt, så hänföras
detaljpunkterna till stomlinierna (rutsidorna) på förut anfördt sätt.
Såsom en olägenhet vid rutmätning må anföras, att, alldenstund
rutsidorna ej komma att förläggas ut efter gränslinierna, man
i allmänhet får mäta för långa ordinater; dock kan denna
olägenhet afhjelpas genom att man använder hjelplinier
(i k och l m i fig. 203).
208. Mätning af en trakt på grund af bruten
liniemätning. Den brutna liniemätningen (192) torde för
detaljmätning af större trakter med korstafla och kedja i allmänhet
lemna den bästa grundstommen, och detta isynnerhet, om
den brutna linien anslutes till triangelpunkter af 3:dje eller
4:de ordningen (fig. 206) och felutjemning enligt (194)
företages. För enstaka fält lemna slutna polygoner i allmänhet
erforderlig kontroll.
Som polygonlinierna vanligen förläggas vid
yttergränserna till ett fält, får man (fig. 204), när i fältets inre
punkter förekomma som skola bestämmas, betjena sig af
hjelplinier. Dessa linier kan man benämna hjelplinier af 1:sta,
2:dra eller 3:dje ordningen, allt efter som de sammanbinda
polygonpunkter eller punkter på polygonsidor (a b), en punkt
på en polygonsida med en punkt på en hjelplinie (c d och e f), eller
två punkter på hvar sin hjelplinie
(i k). Då koordinaterna för
ändpunkterna till en hjelplinie af 1:sta
ordningen antingen äro gifna eller
lätta att erhålla [man mäter
ändpunkternas afstånd till föregående
polygonpunkter och beräknar enligt
formlerna (190) och (191)], så kan
man i allmänhet enligt formlerna (192)
och (193) beräkna hjelpliniens längd och azimutvinkel,
således äfven dess vinklar med polygonsidorna. Hjelpliniens
längd kan vara förmånligt att på förhand känna i och för
kontrollering af abskissmätningen i hjelplinien-, sistnämnde
vinklar åter, när hjelpliniens ändpunkter ej äro synliga från
hvarandra, ty i så fall kan man med kännedom om dem
angifva hjelpliniens riktning från båda ändpunkterna. Det
möter påtagligen intet hinder att äfven beräkna hjelplinien
af 2:dra och 3:dje ordningen; dock torde detta sällan behöfvas.
Detaljerna anknytas till stomlinierna (polygonsidor och
hjelplinier) på förut anfördt sätt. Man kontrollerar äfven
här stomliniernas längder under abskissmätningen.
Fig. 204
Detaljmätning med kedja och korstafla, grundad på
bruten liniemätning, synes allt mer och mer vinna insteg i
Tyskland.
209. Mätning af en trakt på grund af triangelmätning.
Ehuru man i vissa delar af Tyskland ifrar för att
omedelbart med kedja och korstafla anknyta detaljerna till ett
triangelnät af 4:de ordningen (197) kunna vi ej inse annat
än att detta mätningssätt endast under vissa, i vårt land
sällsynta förhållanden är förmånligt att använda. Först och
främst måste ett nät af synnerligen små trianglar härför
användas och således triangelmätningen blifva tidsödande
och besvärlig, och för det andra lämpa sig af flera skäl ej
triangelsidor som stomlinier för detaljmätning med kedja och
korstafla, bland annat derför, att de i allmänhet ej komma
att smyga sig utefter gränslinier etc. Deremot torde, såsom
i det föregående blifvit antydt, ett triangelnät böra läggas
till grund för en vidsträckt bruten liniemätning (se fig. 206);
och i så fall är ett nät af 3:dje ordningen tillfyllest. Skall
detaljerna omedelbart anknytas till ett triangelnät, torde detta
på sätt som längre fram kommer att visas, lämpligast ske
genom grafisk mätning.
210. Kartläggning af genom koordinatmätning bestämda
punkter. Är det endast fråga om att kartlägga hvad som
blifvit uppmätt på ömse sidor af en rät linie, så har man,
sedan liniens läge blifvit på papperet bestämdt, att förlägga
en rak linial i liniens riktning, att med passare afsätta
abskisserna ut efter linialkanten och att efter den,
abskisspunkten berörande kanten till en af föregående linial styrd
vinkellinial afsätta ordinaterna. De båda linialerna böra för
hithörande ändamål helst vara af stål, och styrlinialen bör
hafva en sådan belastning, att den utan vidare
fastläsning ligger stilla, när vinkellinialen med varsamhet föres
ut efter den. Om båda linialkanterna förses med skalor, och
vinkellinialen vid den, styrlinialen berörande kanten med en
fast nonie och vid ordinatkanten med en löpande nonie, som
uppbär en trycknål, så äro passare och särskild skala
öfverflödiga.
I öfverensstämmelse med mätningsprotokollet böra
samtlige abskisslängder afsättas från liniens utgångspunkt. Ett
begånget afsättningsfel vid en punkt kommer då ej att
inverka på läget af följande punkter, såsom förhållandet blefve,
om en abskisspunkt bestämdes från en föregående abskisspunkt.
1) Har detaljmätningen verkstälts enligt 206, så får man
först konstruera trianglarne. Man uppslår (fig. 198), sedan
baslinien A C blifvit till läge och längd uppritad, med A till
medelpunkt och A B samt A D såsom radier samt med C
till medelpunkt och C B och C D såsom radier cirkelbågar,
och får på detta sätt läget af punkterna B och D bestämda.
Man bestämmer sedan hjelpliniernas skärningspunkter och
utritar hjelplinierna, härvid görande de jemkningar som gjorda
kontrollmätningar möjligen komma att föreskrifva. Man bör
sålunda, sedan punkterna F, E, H och G blifvit utsatta,
undersöka om motsvarande hjelplinier hafva sina riktiga
längder. I allmänhet bör såsom i föregående figur hvarje
hufvudtriangel kunna kontrolleras, och detta i synnerhet, om
afskärningsvinkeln i den tredje (sökta) punkten är
mycket spetsig.
2) Har detaljmätningen grundats på inrutning (207), så
har man först att konstruera rutnätet. Som ritbräden ofta
äro opålitliga, kan man gå till väga sålunda: Man slår upp
cirkelbågar (fig. 205) från ändpunkterna af och på ömse sidor
om den gifna axeln a b, hvarigenom c d blir bestämd, afsätter
från 0 åt ömse sidor på hvardera axeln halfva hufvudrutans
längd, bestämmer från de så erhållna punkterna genom
cirkelbågar hörnpunkterna, hvilka sedan kontrolleras genom
uppritandet af den cirkel hvarpå de skola ligga, indelar hvarje
rutkant i sitt bestämda antal delar och sammanbinder motsvarande
punkter. Härefter inläggas
hjelplinierna och slutligen detaljerna på
förut anfördt sätt.
Fig. 205.
3) Har detaljmätningen
grundats på triangelmätning eller på
bruten liniemätning (192), så har
man först att kartlägga
triangelpunkterna eller polygonpunkterna.
År mätningen verkstäld med
teodolit, af enstaka natur och får den
rum på ett enda kartblad, så
uppritas först axelsystemet och
sedermera rutkanterna på (fig. 205) nyss anfördt sätt. Är detta
gjordt, så inläggas ofvannämnde punkter, i det man på
rutkanterna g e och h f från a och b afsätter abskisserna och
på rutkanterna g h och e f från c och d afsätter ordinaterna
och sedan med passarspetsen ut efter en motsvarande
punkter berörande stållinial ritar för hvarje punkt ett fint kors.
Dessa punkter kunna äfven inläggas genom att man med
stångcirkel och rutkantafstånden (lätta att beräkna, då
koordinaterna äro kända) till radier slår upp cirkelbågar från
motsvarande rutkanter. Sedan på ena eller andra sättet samtlige
polygonpunkterna blifvit kartlagda,
inläggas hjelplinierna och
slutligen detaljerna.
Fig. 206.
Har den uppmätta trakten så stor utsträckning, att
flera kartblad måste
användas, så kan man förfara
enligt något af följande sätt:
Man konstruerar på hvarje
kartblad den ruta som skall
innesluta hvad på bladet
kommer att kartläggas, Låt
i fig. 206, som innehåller
några sammanstälda rutor,
hvarje ruta — dimensionerna bero på kartbladets storlek
och den skala hvari man ritar — vara qvadratisk och hvarje
rutkant motsvara 1000 meter. Det är då lätt att på hvarje
blad inlägga dithörande triangel- och polygonpunkter. Så
finna vi t. ex. att på kartbladet B₁ komma alla de punkter,
hvilkas koordinater äro mellan +500 och +1500 och på
bladet B¹ alla de punkter, hvilkas abskisser äro mellan
−500 och −1500 samt ordinater mellan +500 och +1500,
o. s. v. Punkterna kunna med tillhjelp af stångcirkel på
ofvan anfördt sätt bestämmas från norra och östra
rutkanterna — man kan taga för regel att alltid använda dessa
rutkanter. I förevarande exempel har man för bladet B͵
att förut minska samtlige ordinater och abskisser med 500
och att för bladet D₂ — man tänker sig den i fig. 206
antydda beteckningen af rutorna konseqvent genomförd —
minska abskisserna med 1500 och ordinaterna med 2500,
o. s. v. Hafva i hvarje blad samtlige hufvudpunkter sålunda,
blifvit kartlagda, inläggas hjelplinier och detaljer. Imellertid
får en och annan polygonsida sina ändpunkter i olika
kartblad. För att kunna upprita en sådan sida, blir det nödigt
att beräkna läget af hennes skärningspunkt med rutkanten.
Betecknas koordinaterna för den sökta skärningspunkten med
x och y och koordinaterna för polygonsidans ändpunkter med
xa ya och xb yb så är (se linien a b i rutorna A¹ och B¹)
hvaraf
eller
Af dessa formler användes den första för de östra och vestra
rutkanterna (för dessa äro alltid y bekant), och den senare
för de norra och södra rutkanterna (för dessa äro alltid
x bekant). Har den sökta abskissan eller ordinatan blifvit
funnen, så kan man, sedan den blifvit ut efter rutkanten
afsatt, upprita polygonsidan.
Fig. 207.
Skall en bruten linie, hvars
vinklar blifvit uppmätta med kedja
kartläggas, så sker detta på sätt fig.
207 antyder genom att
bestämma skärningspunkten mellan
cirkelbågar, som med punkterna c och e
till medelpunkter hafva kedjelängden
och den uppmätta tredje sidan s till radien. Vinkeln blir
skarpare uppritad i samma mån som triangeln konstrueras i
stor skala. Mätningsskalan är nästan alltid för liten för att
erforderlig skärpa må erhållas.
Vinklar, som blifvit uppmätta med
vinkelmätningskompass, afsättas med vanlig transportör. Transportören, som i
noggrannhet fullt motsvarar kompassen, bör ej användas, då
man vill skarpt afsätta vinklar. Ett bättre resultat
erhålles, om vinklarne afsättas med tillhjelp af tangenter eller
korder.
211. Ytberäkning på grund af koordinatmätning. För
att få veta ytan af ett med kedja och korstafla uppmätt fält,
får man först beräkna stomfigurens area och sedan
arealinnehållen på de mellan stomlinierna och fältets gränslinier
inneslutna tillskotts- och afdragsfigurerna.
Stomfigurernas ytberäkning. Har detaljmätningen
grundats på fältets indelning i trianglar enligt 206, så fås
stomfigurens area ur summan af stomtrianglarnes areor. Som
trianglarnes sidor äro kända, så kan för dem ytberäkningen
ske enligt den kända formeln
i hvilken s betyder ( a + b + c)∕2 .
Slutna polygoners areor kunna, då man känner
polygonpunkternas koordinater, beräknas. Om i fig. 202, pl. 5
ordinater nedfällas mot abskiss-axeln, så fås polygonens area,
om areorna af paralleltrapezierna 1 — 5 och 5 — 4
subtraheras från areorna af paralleltrapezierna 1 — 2, 2 — 3 och
3 — 4, eller
Uti ofvanstående formel blir, när figuren ej skäres af
abskissaxeln, en trapeziiarea positiv eller negativ, allt efter
som abskiss-skilnadsfaktorn är positiv eller negativ. Vi finna
ock i full öfverensstämmelse med hvad figuren fordrar, att
de båda sista areorna blifva subtraherade från de öfriga, ty
både (x5 − x4) och (x1 − x5) hafva olika tecken mot de
öfriga abskissfaktorerna.
Hyfsas ofvanstående formel, så framgår följande
generela formler för beräkning af arean A hos en polygon med
n hörn
2A = y₁ (x₂ − xn) + y₂ (x₃ − x₁) + y₃ (x₄ − x₂) … yn (x₁ − xn−1) (203)
2A = x₁ (y₂ − yn) + x₂ (y₃ − y₁) + x₃ (y₄ − y₂) … xn (y₁ − yn−1) (204)
Af dessa formler kan hvilkendera som helst användas
och utan att någon figur behöfver uppritas. Endast i det
fall, att polygonen skäres af någon af koordinataxlarne,
behöfver man fästa något afseende vid koordinaternas tecken.
Skäres den af abskissaxeln, förekomma ordinater med olika
tecken; skäres den af ordinataxeln förekomma abskisser med
olika tecken. Såsom en kontroll har man att summan af
parentesvärdena måste vara lika med 0.
Beräkning af skilnaden mellan tillskotts- och
afdragsfigurerna vid en stomlinie. När en stompolygon smyger
sig ut efter gränslinien till ett fält, så fås fältets area, om
polygonens area ökas med arean af alla utanför och
minskas med arean af alla innanför stomlinierna liggande
småfigurer. Vi vilja i det följande visa huru man för hvarje
stomlinie får skilnaden mellan de förra och de senare
figurernas areor.
Om i (fig. 198) protokollet till en detaljmätning på
ömse sidor om stomlinien A D är gifvet, så kan skilnaden S
mellan tillskotts- och afdragsfigurernas areor beräknas enligt
formeln
2S = y₁ (x₂ − x₁) + y₂ (x₃ − x₁) + y₃ (x₄ − x₂) … yn−1 (xn − xn−2) + yn (xn − xn−1)
Denna formel har blifvit härledd på samma sätt som
formeln (203), d. v. s. man har sammanfört alla de
parallel-trapezier, som kunna bildas mellan på hvarandra följande
ordinater, stomlinien samt gränslinien. Dess afvikelse i
första och sista termen från formeln (203) härleder sig af, att
den första och sista ordinatan ej sammanfalla, hvilket är
händelsen vid den slutna polygonen. I de flesta fall äro
dessa ordinater lika med 0, och då försvinna första och sista
termen. Vid användandet af formeln (205) har man att
besinna, det ordinaterna äro positiva eller negativa, allt efter
som de gå till utanför eller innanför stomlinien liggande
punkter. Vi vilja belysa användandet af denna formel genom
ett exempel.
Om i fig. 198 ändpunkterna A och D sammanbindas
med de närmast liggande hörnpunkterna 2 och 7, så blir
1 2 3 4 5 6 7 8 den förslingrade figur som hör till
stomlinien A D. Insättas de uppmätta koordinatvärdena
+15(90 − 40) + 14(106 − 65) − 19(110 − 90)
+ 0(110 − 106) = −1221,
hvaraf
Vid stomlinien A D öfverskjuta alltså afdragsfigurerna
l 2 3 4 s och s͵ 7 8 tillskottsfiguren s 5 6 s͵ med 615,5 ytenheter.
212. Under förutsättning att det är bekant hvad i
sjunde kapitlet förekommer rörande de grafiska
mätningsinstrumentens användning m. m., hafva vi i det följande att
sysselsätta oss med de praktiska företeelserna vid grafiska
mätningar. De olika mätningssätten äro i verkligheten ej så
skarpt åtskilda som de här nedan i och för en principiel
öfverskådlighet förekomma. Ofta användes olika
mätningssätt i förening.
213. Kartläggning af punkter på ömse sidor om en
linie. Skall ett fält af obetydlig bredd kartläggas, så kan
detta ske enligt 147 genom afskärning från en längs efter
faltet stakad och uppmätt baslinie.
Vid val af baslinie har man först och främst att tillse,
det goda afskärningar (ej för spetsiga afskärningsvinklar
mellan diagonaler och afskärningslinier) erhållas; ty härpå
beror huruvida baslinien bör förläggas utom eller inom fältet.
Är baslinien utstakad, så mätes densamma, i det pålar
utsättas på hvarannan eller hvar fjerde kedjelängd. Sedan
(fig. 208, pl. 6) mätbordet blifvit på sätt, som i 145 är
närmare anfördt, uppstäldt och orienteradt i en af basliniens
ändpunkter (a), tager man handtlangaren med sig och låter
honom efter löpande nummer sätta stickor — i
nummerordning uppträdda på ett snöre — i alla de punkter
(gränsliniers brytningspunkter, etc.) som skola kartläggas. På
samma gång man tillser, att dessa stickor blifva lämpligt
Pl. 6.
Fig. 208 — 210 b, II, I, a
placerade, gör man efter ögonmått en handritning (fig. 209)
och antecknar stickornas nummer. När stickutsättningen är
afslutad, går man till taflan och drager diagonaler till
stickorna. Handtlangaren går härför och uppställer efter löpande
nummer lodrätt sin flaggstång vid hvarje sticka, i det han
ropar stickans nummer. Sedan diagonalen är dragen (med
passarspetsen eller en hård och spetsig blyerzpenna), gifver
man honom ett tecken att gå till nästa sticka, och antecknar
under tiden diagonalens nummer, i det man skrifver siffran
omedelbart under en på diagonalen gjord punkt. Denna
punkt ditsättes för att förebygga förvexling af siffror på
hvarandra närliggande diagonaler. För att undvika allt
ropande från handtlangaren kan man bedja honom vifta med
stången för hvar tionde sticka. Eger då öfverensstämmelse
rum med den siffra man antecknar, så kan man vara säker
på att ingen sticka blifvit öfverhoppad. När samtlige
diagonaler blifvit dragna, uppställes och orienteras mätbordet i
en annan punkt (b) på den öfver hela taflan utdragna
baslinien, och dragas afskärningslinier (korta snitt) till samtlige
stickorna, vid hvilka stångföraren ännu en gång efter
nummerordning får uppställa stången. Man har nu att tillse det
hvarje snitt göres på riktig diagonal, och kontrollerar sig
härför, dels genom handritningen, dels genom den viftning
på stången som stångföraren gör för hvar tionde sticka.
Samtidigt med och i den mån mätningen fortgår
uppritas kartan, i det sammanhörande punkter sammanbindas
och gränsliniers och egodelars etc. beskaffenhet efter
antaget beteckningssätt utmärkas. Detta försiggår i allmänhet
på fri hand med en spetsig blyerzpenna. Den definitiva
uppritningen sker sedermera under ledning häraf med tusch.
Hafva alla de punkter som genom, afskärningar kunna
bestämmas, blifvit bestämda, så har man att kartlägga sådane
punkter som af en eller annan anledning måste på annat
sätt bestämmas. De punkter, som ligga så nära baslinien,
att allt för dåliga afskärningar skulle erhållas, bestämmas
genom mätning af deras ordinater till baslinien och af dessas
motsvarande abskisser. En punkt, som ej synes mer än
från en station, bestämmes antingen genom polarmätning
(149), d. v. s. genom att man mäter dess afstånd till
stationspunkten och på diagonalen afsätter motsvarande afstånd,
eller ock genom att man mäter afståndet till närmaste sticka
och med motsvarande öppning i passaren och motsvarande
punkt på taflan till medelpunkt slår upp en cirkelbåge, som
pä diagonalen afskär den sökta punkten. En punkt, som ej
synes från någon station, kan bestämmas genom att man
mäter dess afstånd till två närbelägna stickor och sedan
med motsvarande passöppningar och motsvarande punkter på
taflan till medelpunkter slår upp cirkelbågar, som skära
hvarandra. Det säger sig sjelf, att man såväl i sista som
i närmast föregående fallet bör välja sådane stickor som
lemna goda afskärningar. Under inmätning på dessa sätt af
felande punkter bör man föra taflan med sig och omedelbart
kartlägga dem.
Har sålunda alla punkter som kunna bestämmas från
stationerna A och B blifvit kartlagda, och skall mätningen i
samma baslinie fortsättas, så har man att kartlägga de
punkter som kunna bestämmas från B och C. För detta
ändamål uppryckas de stickor som blifvit inskurna, uppträdas i
omvänd ordning mot numreringen på snöret och utsättas
sedan efter förut gifna regler i följande detaljpunkter.
Härefter dragas diagonaler från B och afskärningslinier från C
till dessa stickor och inmätas felande punkter i
öfverensstämmelse med hvad i det föregående är sagdt.
Har en baslinie så stor utsträckning, att många
stationeringar får i den företagas, så är det vid noggranna
mätningar förmånligt — i synnerhet om terrängen är kuperad —
att dess utstakning sker med teodolit. Visserligen låter
stakning i kuperad terräng ganska väl utföra sig med tublinialen
eller diopterlinialen, om de förläggas utefter två fina, i den
öfver hela taflan utdragna baslinien så långt i sär som
möjligt stälda orienteringsnålar; men detta sätt att staka kan
lätt föranleda förvridningar och lemna på långt när ej
samma skärpa som stakning med teodolit. I alla händelser bör
deremot orienteringen företagas efter två så stälda nålar,
Fig. 211.
likasom ock inriktning af nästa stationspåle och de
mellanstakar, som för längdmätningen dit äro erforderliga. Innan
man börjar draga afskärningar i en ny station, bör man
genom "profsnitt" kontrollera orienteringen och
kedjemätningen, i det man syftar på och drager en afskärningslinie till
en från de båda föregående stationerna redan bestämd och
för skarp afskärning belägen punkt; råkar denna
afskärningslinie punkten på taflan, så är allt riktigt. Fig. 211 visar
huru ett profsnitt på punkten p blifvit företaget.
Orienteringen bör tid efter annan pröfvas i hvarje station och alltid
innan man lemnar den.
Yid grafisk mätning bör man för öfrigt iakttaga, att
stationerna alltid väljas, så att goda afskärningar erhållas,
att stickorna ej sättas tätare än mätningens noggrannhet fordrar
och att, när i svår terräng stickorna komma mycket tätt,
endast de vigtigaste punkterna bestämmas genom afskärning,
de öfriga enligt något af de andra sätt, som i det
föregående blifvit anförda. Vidare bör man med försigtighet —
under rörelseriktningar i mycket spetsiga vinklar med
linialen — bringa linialkanten att beröra stationsnålen.
Slutligen bör man ej draga längre diagonaler än nödigt är —
alltid undvika att draga dem för korta — samt bemöda sig
att skrifva hvarje siffra, så vidt möjligt är, i närheten af
den sökta punkten. Härför erfordras någon vana att
omedelbart uppskatta afstånden på terrängen i mätskalan. Det
är endast, när man af en eller annan anledning vill
förebygga misstag, nödigt att draga diagonalerna ända till
stationspunkten.
En öfvad planmätare kan med diopterlinial och i gynnsam
terräng vid diagonaldragningen sköta två stångförare
samtidigt. Tublinialen medgifver ej samma snabbhet som
diopterlinialen.
Vid mindre noggrann mätning i liten skala, hvarvid
endast det hufvudsakliga på terrängen kommer att upptagas,
äro stickor öfverflödiga.
214. Detaljmätning, grundad på bruten liniemätning.
Detta mätningssätt får vanligen användas, då slingrande
hålvägar eller vattendrag etc. skola kartläggas.
Ehuru det från teoretisk synpunkt ej möter något
hinder att välja hvilken station som helst, som lemnar goda
afskärningar, så undviker man dock vid noggrann mätning
så mycket som möjligt att stationera i en bruten linie,
såvida ej stationspunkterna äro trigonometriskt bestämda (193)
och genom koordinater (210) inlagda på taflan; detta af den
anledning, att mätningen eljest efter några brytningar af
baslinien i allmänhet ej blir tillförlitlig. Man är imellertid
ofta nödgad att bryta baslinien. Det är då af vigt att
genom profsnitt (fig. 211 från c på p) kontrollera orienteringen.
Fig 212.
Bildar den brutna linien en sluten polygon (fig. 212),
så har man ett godt tillfälle att kontrollera mätningen vid
återkomsten till
utgångspunkten a, i det man
från den sista stationen e
gör ett profsnitt till denna
punkt. Visar det sig då,
att passarspetsen löper i
stationshålet a — att det
"knäpper" — så har man
sannolikhet för, men ej
visshet om, att
mätningen är riktig. För att
vara riktigt säker, kan
man mäta afståndet
mellan första och sista
stationen och efterse om
öfverensstämmelse eger
rum med motsvarande
afstånd på taflan.
Finnes i polygonen en från alla stationer synlig punkt
p, t. ex. ett kyrktorn, så kan man från den första baslinien
A B bestämma denna punkt och sedermera i de följande
stastionerna genom profsnitt på den kontrollera orienteringen.
Fig. 223.
Visar det sig att polygonen ej sluter sig, så kan man,
när mätningen blott varit en enkel omfångsmätning, göra
en grafisk felutjemning. Fig. 213 angifver huru man härvid
förfar. Sammanfaller ej
såsom sig borde f och f͵,
så halfveras f f͵ (för
tydlighet i figuren är felet
onaturligt stort) och punkterna
f, f͵ och f͵͵ sammanbindas
med en motstående
polygonpunkt p. Derpå nedfällas
från polygonpunkterna a och
b linier vinkelrätt mot p f, och från punkterna e och d linier
vinkelrätt mot p f͵. Från skärningspunkterna a͵ b͵ c͵ och d͵
dragas linier parallelt med f f͵ till linien p f͵͵, och från de
då erhållna skärningspunkterna dragas vinkelrätt mot p f͵͵
linier, på hvilka från p f͵͵ de motsvarande afstånden a a͵, b b͵
c c͵ och d d͵ afsättas. Sammanbindas de så erhållna ändpunkterna,
så fås den sökta polygonen. Det torde ej
behöfva särskildt förklaras, huru man i full öfverensstämmelse
med förevarande fall går till väga, då de båda sista
polygonsidorna korsa hvarandra.
215. Detaljmätning genom paralleler. Detta
mätningssätt användes mest i plan terräng. Man utstakar genom
trakten och längs efter densamma en hufvudbaslinie, och
sedermera från och vinkelrätt mot den på bestämda afstånd
parallela linier (paralleler). Afståndet mellan parallelerna
— i medeltal 200 à 300 meter — beror dels på skalan, i
hvilken man mäter, dels på terrängförhållanden, men bör i
vanliga fall ej vara större, än att midt imellan två
närgränsande paralleler belägna punkter kunna från någon af dem
genom erforderligt goda afskärningar bestämmas.
Utstakningen af parallelernas, mot baslinien vinkelräta riktningar sker
lämpligast med teodolit, men i brist deraf med korstafla eller
genom att de utkonstrueras vinkelrätt mot baslinien på
taflan och sedan förmedelst syftlinialen utstakas på terrängen.
Användes korstafla, bör man gå till väga på sätt i 102 är
angifvet för att stakningen må blifva oberoende af att
spåren ej bilda rät vinkel med hvarandra, och för öfrigt, när
ej stakningen är verkstäld med teodolit, genom
kontrollmätning i en med baslinien parallel linie, förvissa sig om deras
parallelism samt i motsatt fall göra erforderliga korrektioner.
Detaljmätningen verkställes från och på ömse sidor om
parallelerna på samma sätt som vid hufvudbaslinien i
enlighet med hvad i 213 är anfördt.
I fig. 210, pl. 6, visar sig nedtill huru mätningen
blifvit verkstäld med paralleler relativt till baslinien. Ofta får
man jemte parallelerna äfven använda efter gränslinier etc.
förlagda hjelplinier, hvilkas lägen kontrolleras af deras
skärningspunkter med parallelerna och baslinien.
216. Detaljmätning på grund af grafisk triangelmätning.
Detta mätningssätt användes i synnerhet, när
detaljmätningarne skola utföras i liten skala. För mätning i större
skalor (¹⁄₁₀₀₀ à ¹⁄₄₀₀₀) användes det, när kuperad terräng eller
sjöar etc. försvåra all längdmätning, äfven som då man fäster
mer afseende vid en skyndsamt än vid en noggrannt
verkstäld mätning.
I stället för att såsom i föregående fall genom
basernas direkta längdmätning bestämma stationspunkterna, kan
man äfven helt och hållet grafiskt bestämma dem. Härför
fordras blott, att en baslinie längdmätes. Längden af denna
baslinie beror på, huruvida man omedelbart och samtidigt
med detaljmätningen vill bestämma stationspunkterna, eller
om man först vill kartlägga ett nät af stora trianglar och
från hithörande punkter bestämma det nät af mindre
trianglar, hvars punkter skola blifva stationspunkter för
detaljmätningarne. Vi må till en början antaga det förra.
Om (fig. 214) a b är den uppmätta basen, så utsätter
man förutom de nummerstickor i alla detaljpunkter, som
skola från a b bestämmas, äfven
signaler till de punkter, hvilkas
lägen göra dem till lämpliga
stationspunkter och inlägger
sedan genom afskärning såväl
detaljpunkterna som de
stationspunkter f och h, för hvilka från
a b goda afskärningar erhållas.
Från a och b dragas derjemte
äfven diagonaler till de
detaljpunkter och de stationspunkter
(c, d och g), som sedermera skola genom afskärningar
bestämmas från någon af punkterna f och h eller från andra,
ännu ej kända stationspunkter. Man orienterar sedan
mätbordet i f eller h, drager afskärningslinier till från a och b
dragna diagonaler samt derjemte äfven diagonaler till nya
punkter. På detta sätt fortsattes mätningen undan för undan
tills hela fältet blifvit uppmätt.
Fig. 214.
Genom att använda bakåtsnitt kan man vid vissa
tillfällen i betydlig mån underlätta detta mätningssätt. Sålunda
kan man i fig. 212 bestämma stationerna c, d och e genom
bakåtsnitt, blott en lämpligt belägen central punkt p blifvit
från den uppmätta basen a b inskuren. c bestämmes från
b och p, d från c och p samt slutligen e såväl från d och p
som för kontrolls skull från a och p.
Ehuru det knapt gifves något sätt att skarpare
kartlägga en punkt än genom grafisk bestämning med syftlinial
under god afskärning från en erforderligt noga uppmätt bas,
så lemnar ofvannämnde mätningssätt, alldenstund alla
mätningsfelen vid stätionsbestämningarne fortplanta sig, snart
nog ett osäkert resultat. Redan när man kommer till sådane
stationer, hvilka såsom e i fig. 214 ej stå i direkt samband
med den uppmätta baslinien, angifva ofta profsnitten större
eller mindre afvikelser. Med anledning häraf är det
förmånligt att från den förlängda baslinien bestämma eller
kontrollera (piketmätning) sådane punkter (d och e kontrolleras
från i) eller, att först förlägga ett nät af stora trianglar (ett
grafiskt triangelnät) (219) öfver trakten och att från dess
punkter genom afskärning bestämma stationspunkterna för
detaljmätningarne. Vill man stationera i punkter, som ej blifvit
från det grafiska nätets punkter inskurna, men som
medgifva syftning till 2 eller 3 lämpligt belägna af dessa
punkter, så kunna Pothenots eller Hansens problem (150 och 151)
med fördel användas.
Vanligen anslutes det grafiska triangelnätet vid
mätningar af stor utsträckning till ett trigonometriskt nät, och söker
man i så fall att från de trigonometriska punkterna direkt
inskära så många af det grafiska nätets punkter som möjligt.
Vi återkomma längre fram (219) till den grafiska
triangelmätningen.
217. Detaljmätning på grund af ett trigonometriskt nät
af 4:de ordningen. När man vill med synnerlig
noggrannhet och i större skala grafiskt kartlägga en trakt, så bör
en trigonometrisk triangelmätning af 4:de ordningen (197)
först verkställas öfver trakten, och till hithörande punkter
detaljerna så omedelbart som möjligt anknytas. Att
förlägga nätets hufvud- och bipunkter så tätt, att man med
mätbordet blott kommer att stationera i trigonometriskt
bestämda punkter torde, ehuru önskvärdt, i allmänhet möta
stora svårigheter. Man får ofta åtnöja sig med sådane
stationspunkter, som — ej sällan under användning af
Pothenots och Hansens problem — blifvit inskurna från de
trigonometriskt bestämda punkterna.
Har trakten ej större utsträckning, än att den får rum
på ett mätblad, så kartläggas de trigonometriska punkterna
så noga som möjligt på det å taflan spända mätbladet enligt
210, 3). Sedan företagas detaljmätningarne på förut
anfördt sätt.
218. Planmätning med distansmätare. Hänvisande till
158 hafva vi här föga att tillägga. Vid mätning med
distansmätare är, om man har en van stångförare, utsättning af stickor
öfverflödigt, ty hvarje punkt bestämmes från en station.
Distansmätare enligt Reichenbachs princip äro de ende, som
vid planmätning funnit någon vidsträcktare användning.
Enligt hvad i 158 blifvit anfördt består mätningen, sedan
mätbordet blifvit i stationen orienteradt, uti att inställa tuben på
den efter tur och ordning i detaljpunkterna uppstälda
stången, att i tuben afläsa afstånden samt att från
stationspunkten på taflan afsätta dessa afstånd, sedan de blifvit
reducerade till horisonten, ut efter linialkanten.
Stationspunkterna förläggas och bestämmas enligt något
af de i föregående paragrafer anförde sätt. Baslinierna kunna
antingen mätas med kedja eller tub. Vid noggrann
mätning i stor skala bör basliniens längd kontrolleras med kedjan
eller åtminstone bestämmas ur mediet af flera observationer
under skarp inställning af tuben på stången.
Vill man med distansmätare ernå så godt resultat som
möjligt, så lämpar det sig bäst, att såvidt möjligt är
bestämma samtlige stationspunkterna genom (trigonometrisk eller
grafisk) triangelmätning eller att stationera i ett rutnät. Då
de distanstuber, som i allmänhet förekomma, ej medgifva
tydlig afläsning på afstånd, som öfverstiga 300 meter, så
torde afstånden mellan triangelpunkterna eller parallelerna
ej böra tagas större än 600 meter. Skall man mäta i stor
skala (¹⁄₁₀₀₀ till ¹⁄₄₀₀₀) och vill ernå det bästa möjliga resultat,
som vid mätning med distansmätare kan erhållas, så torde
afståndet mellan triangelpunkterna i allmänhet ej böra
öfverstiga 3 à 400 meter, såvida man ej vill bestämma längre
bort belägna punkter genom afskärning — något, som ofta
är att förorda.
Fig. 215 visar ett ideelt rutnät och ett ideelt
triangelnät, som blott — åtminstone det senare — må tjena till
förebild; ty en sådan regelbundenhet
som i figuren kommer, äfven om
terrängförhållanden ej lägga hinder
i vägen, i praktiken aldrig i fråga.
Af figuren framgår, att i händelse
af rutnät de mot baslinien
vinkelräta linierna böra vara på enkla,
de med baslinien parallela på
dubbla afståndet för tubens
tydliga syftvidd, äfven som att man
principielt taget endast borde
stationera i skärningspunkter
mellan u-linier och i
skärningspunkter mellan i-linier (nätet tänkes fullständigare utritadt och
linierna betecknade i öfverensstämmelse med i figuren
angifven regel).
Fig. 215.
Planmätning med distanstub lemnar vid kartläggning i
större skalor än ¹⁄₄₀₀₀ ej samma skärpa som mätning med
afskärning. Tubens mätningsförmåga kan ej ens anses fullt
motsvara kartläggningsskärpan (se 153 o. 159) i skalan ¹⁄₄₀₀₀.
Vid mätningar i mindre skalor, der tubens mätningsförmåga
fullt motsvarar kartläggningen, har distanstuben på grund af de
många fördelar den erbjuder, allt mer och mer vunnit insteg.
Stampfers distansmätare har, ehuru den lemnar
skarpare resultat än distanstuben, i anseende till de tidsödande
inställnings- och räkneoperationerna, som
planmätningsinstrument ej fått någon större användning. Det är dock för
mätning af baslinier synnerligen förmånligt att hafva en
Stampfers skruf kombinerad med distanstuben.
219. Grafisk detaljmätning af en trakt, som fordrar
flera mätblad. Hafva mätbladen obestämd form, och
finnas inga triangelpunkter, så utstakas i gränsen mellan olika
mätbladsområden en s. k. konnekteringslinie sa skarpt som
möjligt. Om denna linie upptages på båda bladen, så kunna
de sammanställas, konnekteras, genom att motsvarande punkter
på konnekteringslinien bringas att sammanfalla.
Har trakten som skall mätas mycket stor utsträckning,
så användas qvadratiska eller rektangulära mätblad, af samma
men ej större dimensioner, än att afståndet mellan
rutkanterna och tafvelkanterna är minst 30 m.m. Vi vilja i det
följande söka visa huru mätbladen anordnas, då
konnekteringen skall grundas på traktens inrutning eller på trigonometrisk
eller grafisk triangelmätning.
I händelse af konnektering genom traktens inrutning,
utstakas från en lämpligt vald baslinie öfver hela trakten ett
rutnät, hvars rutor motsvara i mätskalan den enligt 210 på
hvarje blad konstruerade rutan. Hvarje ruta på fältet och
dess motsvarande mätblad bilda då ett helt för sig.
Rutnätet blir naturligtvis skarpast bestämdt, om teodolit
användes såväl vid liniestakningen som vid utsättandet af de räta
vinklarne. Mätningen fortgår till en början ut efter
rutkanterna, men förflyttar sig till rutans inre i den mån genom
stommätning — vanligen utstakning af paralleler, inskärning
af i rutans inre belägna punkter — erforderliga hjelpbaslinier
och stationspunkter blifvit bestämda.
Fig. 210, pl. 6, visar en skiss öfver en rutmätning.
a b är baslinien, uti hvilken stickor äro på hvarannan eller
hvar fjerde kedjelängd utsatta.
I mätbladets I sydliga del
undvikande af missförstånd erinras, att, ehuru förmånligt, man sällan får
baslinien att ligga i meridianens riktning. har mätning i paralleler
(215) kunnat användas. I dess nordliga del har man fått
betjena sig af utefter gränslinier etc. förlagda hjelpbaslinier,
hvilkas lägen blifvit genom direkt längdmätning af de delar,
hvari de afskära rutkanter, paralleler och hvarandra, noga
kontrollerade. För uppmätning af inegor i nordvestra delen
har en bruten baslinie blifvit använd.
I mätbladet II, hvaraf endast södra halfvan synes, har
man i en parallel uppmätt såväl södra stranden af floden,
som ock inskurit vigtiga punkter på ön eller på den andra
stranden. Uppmätningen af ön har verkställts i en från
parallelen utgående bruten linie.
I de båda östra mätbladen har grafisk triangelmätning
företrädesvis måst användas. Man har härvid bemödat sig
om att från baslinien eller rutkanterna kontrollera nätet och
har i och för orientering och kontroll äfven dragit syftlinier
till utom mätbladen liggande punkter.
Hafva samtlige mätbladen blifvit färdiga, så
konnekteras de, i det att motsvarande rutkanter på sätt som i 222
finnes anfördt, bringas att sammanfalla.
Skall detaljmätningen af så stor trakt, att flera
mätblad behöfvas, grundas på en trigonometrisk triangelmätning,
så får man först med ledning af den öfver triangelnätet
upprättade öfversigtskartan göra den mätbladsindelning, som
för tillfället är lämpligast, och sedan på hvarje blad
inlägga de till bladet hörande punkterna. Mätbladets (rutans)
storlek beror som förut, dels på mätskalan, dels på
mättaflans storlek (afståndet mellan tafvelkanterna och rutkanterna
bör ej understiga 30 m.m.). Äro mätbladets dimensioner
bestämda, så konstrueras rutan enligt 210, 2) på det å taflan
spända papperet. Sedan kartläggas triangelpunkterna, genom
sina, med hänsyn till bladets läge i förhållande till nätets
axelsystem reducerade koordinater, i öfverensstämmelse med
hvad i 203, 3) finnes anfördt. För att derjemte äfven
kunna begagna sig af sådane, utom bladets område liggande
signaler, som i och för orientering etc. kunna befinnas
lämpliga, beräknar man enligt formlerna (200) och (201) läget af
skärningspunkterna mellan hithörande triangelsidor och
rutkanterna och utdrager öfver hela taflan motsvarande
riktningslinier.
Endast vid nät af 4:de ordningen ligga
triangelpunkterna så tätt, att vid mätning i större skala erforderligt
antal (minst 3, men helst flera) erhållas på hvarje mätblad.
Vid större trigonometriska nät ligga ofta punkterna så glest,
att man får genom en grafisk triangelmätning bestämma
nödiga anknytningspunkter.
Skall ett grafiskt triangelnät ensamt för sig eller i
samband med ett glest trigonometriskt nät utgöra den
sammanhållande grundstommen vid mätning af en så vidsträckt trakt
att flera mätblad behöfvas, så verkställes den i så stor skala
som möjligt på ett särskildt stort mätbord (med tafla om 0,6
meter (2 fot) i fyrkant). Har mätningen blifvit utförd, så
indelas triangelkartan före papperets afskärning från taflan
medelst meridianer och paralleler uti rutor, som
representera de respektive mätbladens områden, och uttagas samt
protokollföras samtlige de inskurna punkternas afstånd till
rutkanterna. Dessa afstånd reduceras sedan från
triangelskalan till detaljskalan, och medelst de reducerade
rutkantafstånden inläggas triangelpunkterna på sina respektive
mätblad. Dessutom inläggas äfven syftlinier till utom
bladets område befintliga punkter. Sådane syftlinier äro
nödvändiga dels för kontroll och dels för orientering i de
punkter, som ej äro synliga från någon af de till bladets område
hörande punkter. Det säger sig sjelf, att den så erhållna
grundstommen blir otillförlitlig i den mån triangelskalan är
mindre än detaljskalan. Triangelmätningen bör om möjligt
utföras i samma skala som detaljmätningen, och ej gerna i
mindre än hälften så stor skala.
Detaljmätningarne verkställas på hvarje mätblad med
triangelpunkterna såsom utgångs- och kontrollpunkter på förut
anfördt sätt, och mätbladen konnekteras efter rutkanterna
enligt 222.
220. Jemförelse meHan koordinatmätning och grafisk
mätning. Rörande företräden hos det ena eller det andra
af dessa mätningssätt äro meningarne betydligt delade. Det
må i det följande blott antydas båda mätningssättens såväl
fördelar som olägenheter; äfven som, när det ena eller det
andra kan vara att föredraga.
Den grafiska mätningen är i allmänhet betydligt
snabbare och billigare än koordinatmätningen, som vid vissa
terrängförhållanden blir besvärlig, understundom nästan omöjlig
att använda. Vid den grafiska mätningen skadas säd och
växter mindre än vid koordinatmätning.
Koordinatmätningen lemnar betydligt skarpare
sifferuttryck än den grafiska mätningen; ty då
koordinatmätningen kan uppdrifvas till all önskvärd skärpa och
sifferräkningen i sig sjelf är ofelbar, så förmår deremot, äfven om man
ej fäster sig vid papperets krympning (139), den grafiska
konstruktionen endast till en viss gräns angifva sifferuttryck
— detta i synnerhet för arealinnehåll, alldenstund dessas
sifferuttryck måste medelbart sökas under användning af mer
eller mindre felaktiga instrument och operationssätt.
Åstundar man sifferuttryck för afstånd och areor, så förmår alltså
det förra mätningssättet lemna all önskvärd skärpa, under
det att detta ej för alla ändamål är händelsen med det senare.
Detaljpunkterna blifva relativt till hvarandra i allmänhet
skarpare kartlagda genom grafisk mätning än då
kartläggningen grundas på en förut verkstäld koordinatmätning; och
inverkade ej i förra fallet papperets krympning, så skulle,
under förutsättning att i båda fallen detaljerna anknötos till
trigonometriskt bestämda punkter, den grafiska mätningen
lemna skarpare kartor än de på grund af koordinatmätning
upprättade. Med anledning af denna krympning blir, såvida
ej papperet krymper jemnt och en med hänsyn till
krympningen reducerad skala antages, förhållandet motsatt.
Grafiska mätningar utan anknytning till trigonometriskt bestämda
punkter lemna kartor af större utsträckning betydligt felaktiga.
Då på grund af det vid koordinatmätningen förda
protokollet huru många kartor som helst kunna uppritas, så är
man vid kopierandet af den grafiskt upprättade konceptkartan beroende af, att konceptkartan lätt kan skadas.
På grund af det ofvan sagda, torde den grafiska
mätningen alltid komma att användas så länge de mål, som
eftersträfvas, med den fullt vinnas, och i motsatt fall
koordinatmätningen anlitas. I England användes uteslutande
koornatmätning — mätning med teodolit och korstafla. I
Tyskland, der den grafiska mätningen hittills varit förherrskande,
börja i samband med stegrade fordringar många stämmor
uttala sig för koordinatmätning — ehuru ej sällan utan
ensidighet och öfverdrift. I Sverige är som bekant den
grafiska mätningen förherrskande och torde väl i anseende till
vårt lands utsträckning och dess kuperade
terrängförhållanden länge så förblifva. Det kan imellertid ifrågasättas
huruvida ej teodoliten borde finna större användning i vårt land
än hvad nu är händelsen samt huruvida med hänsyn till
stegrade egendomsvärden de ekonomiska mätningarne utföras
i erforderligt stora skalor.
Kartor.
221. Kartor hafva en olika karakter, allt efter som
de afse tekniska eller topografiska ändamål. I förra fallet,
då de skola innehålla en stor mängd, mer eller mindre
tillfälliga detaljer, måste de upprättas i stora skalor (1∶1000
à 1∶4000; i senare fallet, då de endast skola innehålla det
hufvudsakliga af ett land, i små skalor. Ehuru
mätningsoperationerna hvila på samma grunder, antingen man mäter
i stor eller liten skala, så få de dock i visst afseende en
annan karakter i ena än i andra fallet. Detta beror dels på
de olika uppgifter, som skola lösas, dels på att kartans
förmåga att skarpt uttrycka mätningsresultaten blir mindre i
samma mån den upprättas i mindre skala — en
omständighet, som, alldenstund mätningen i allmänhet bör stå i
harmoni med kartans förmåga att uttrycka, föranleder att en
del inätningsoperationer ej verkställas med samma skärpa
för en liten som för en stor skala.
Vi hafva i det föregående hufvudsakligen tänkt oss
definitiva mätningar i stora skalor. Skall man detaljmäta uti
mindre skalor, t. ex. uti skalan ¹⁄₅₀₀₀₀, så förmår enligt (153)
kartan ej angifva afstånd skarpare än på 5 meter när. Det
säger sig då sjelf, att man ej behöfver mäta afstånd till
enstaka punkter skarpare än på 5 meter när och att man
således ofta kan använda stegning; att vid grafisk mätning
något besvär med centrering af matbordet ej kommer i fråga;
att diagonaler och afskäringslinier ofta blifva så korta, att
det vinkel£el, som orientering med kompass föranleder,
förlorar all betydelse; men att de grafiska operationerna måste
utföras med all möjlig skärpa, i det man använder fin
stationsnål, drager de finaste diagonaler etc.
En särskild karakter hafva de kartutkast, som genom
en i hast utförd rekognoseringsmätning upprättas, dels till
ledning för militära operationer, dels för att förbereda en
noggrannare mätning. Dessa rekognoseringsmätningar
utföras vanligen utan andra instrument än kompass, skala och
passare, ett enkelt bräde eller en styf pappskifva, hvarpå
papperet — helst rutadt papper — är spändt. Baslinier stegas —
ofta stegning efter tid; brädet hålles, i händelse af grafisk
mätning, med venstra handen, samt orienteras med kompass;
diagonaler och afskärningslinier dragas, i det man, låtande
en blyerzpenna med sin spets hvila vinkelrätt mot papperet,
med fri och stadig hand för den i riktning mot föremålet.
För punkter, som skola kartläggas genom ordinatmätning,
bestämmas abskisser och ordinater dels genom stegning, dels
efter ögonmått. Vinklar mäter man ofta genom att öppna
passaren tills dess ben sammanfalla med vinkelbenen, o. s. v.
Det säger sig sjelf att dylika kartutkast, som vanligen
upprättas i skalorna ¹⁄₁₀₀₀₀ till ¹⁄₂₀₀₀₀, hafva en mycket
approximativ karakter.
De i vårt land begagnade skalorna äro:
vid landtmäterikartor: 1∶1000, 1∶2000 (tomtskalan), ¹⁄₄₀₀₀
(åkerskalan) samt 1∶8000;
vid de topografiska kartorna: 1∶1000000 (generalkartan),
1∶100000 (specialkartan), 1∶50000 (konceptkartan vid
rekognosering för specialkartan), 1∶20000 (positionskartor),
1 : 10,000 (vigtigare pass och positioner) och 1 : 5000
(befästningsplaner m, m.)
den sferiska geodesiens område, hafva vi ej heller här redogjort för de
olika kartprojektionerna. Ej heller hafva vi ansett det lämpligt att ingå
på kartritningens område. En kurs häri — vårt land saknar tyvärr en
genomförd sådan — torde lämpligast böra utgifvas ensam för sig..
222. Kartors konnektering. Det har redan i det
föregående blifvit anfördt grunderna för detaljbladens
sammansättning eller konnektering. Det återstår blott att i korthet
visa huru konnekteringsoperationerna utföras.
Hafva mätbladen en bestämd form, d. v. s. är det vid
hvarje blad kartlagda inneslutet uti en ruta af för alla
bladen gemensam storlek, så består konnekteringen helt enkelt
uti att bringa motsvarande rutkanter att sammanfalla. För
att få skarfven mindre synlig bör kanten, af ett sydligare
blad läggas öfver kanten till ett nordligare, och derjemte
papperet i den öfverliggande kanten, om så låter sig göra,
förtunnas. För detta ändamål drager man med en ytterst
fin passarspets en linie parallelt med och på 0,3 m.m. från
det öfverliggande bladets rutkanter, för sedan försigtigt en
uddvass knif utefter denna linie och på så sätt att papperet
endast till hälften genomskäres och afrifver sedan remsan
— i det man viker den försigtigt nedåt från papperet —
så att en undre hinna medföljer, hvarigenom kanten
förtunnas. Äro bladen färdiga för konnektering, så ordnas de på
ett plant ritbräde, och motsvarande ruthörn genomstickas
medelst iina nålar. När man med en linial förvissat sig,
att de nålar, som skola ligga i samma linie, göra det, och
.äfven förvissat sig, att öfverensstämmelse mellan de
gränslinier, som skära rutkanterna, eger rum, så sammanlimmas
kanterna medelst munlim.
Hafva mätbladen en obestämd form, så sker, då
mätningen ej är grundad på triangelmätning, konnekteringen i
det man med nålar genomsticker motsvarande ändpunkter
till de konnekteringslinier, som för ändamålet blifvit i båda
de sammanstötande kartbladen inlagda. Äro de olikformade
kartlapparne anknutna till triangelpunkter, så bestämmas
först dessas lägen med all möjlig skärpa på ett stort,
fint och plant ritbräde. Derpå fästas kartlapparne vid
brädet, i det man med en fin nål genomsticker motsvarande
punkter på papperet och brädet, och slutligen vridas och
hoppassas dessa lappar, dock under iakttagande af att ej
några trigonometriskt bestämda triangelpunkter rubbas, tills
de riktnings- och konnekteringslinier— om sådane finnas —
samt gränslinier, som höra tillsammans, såvidt möjligt är
sammanfalla. Då inånga orsaker kunna bidraga till
felaktigheter — ej minst papperets krympning — är denna
hoppassning ofta förenad med svårigheter och tager både tid,
urskilning och tålamod i anspråk. Är hoppassningen gjord,
så sammanlimmas lapparna vid kanterna.
Sistnämnde sätt att konnektera förekommer
hufvudsakligen vid upprättandet på grund af äldre och
mellankommande nyare mätningar af sådane stomkartor, som
sedermera skola läggas till grund för topografiska, ekonomiska
eller geologiska detaljmätningar.
*
Vertikalmätningar.
Bestämning af en orts polhöjd.
223. Med en orts polhöjd eller latitud förstås den
vinkel, som ortens förbindningslinie med jordens medelpunkt
bildar med eqvatorsplanet. För en noggrann latitudbestämning fordras
astronomiska hjelpmedel. Vi vilja här blott visa
huru man, med för många ändamål
tillräcklig noggrannhet, kan göra
latitudbestämningar med en vanlig teodolit eller
en spegelcirkel.
Fig. 216
Funnes det på himlahvalfvet en från
jorden synlig stjerna p, genom hvilken
jordens axel gick, så behöfde man (fig. 216)
blott mäta höjdvinkeln v för att få
latitudvinkeln; ty emedan en fixstjernas afstånd
från jorden är ofantligt stort i förhållande
till parallelcirkelns radie, så kunde utan
märkbart fel o p anses parallel med
jordaxeln. Som imellertid jordaxeln ej
träffar någon synlig fixstjerna, måste man begagna sig af någon
fixstjerna i närheten — och vanligen blir i norra halfklotet
polstjernan använd.
Om i fig. 216 en teodolit eller något annat
vinkelmätningsinstrument inriktas i meridianplanet för en ort o, hvars
latitud sökes, och tuben vrides tills man i den ser
polstjernan s, så synes på grund af jordens rotation stjernan under
loppet af ett dygn beskrifva en cirkel, som af det vertikala
hårkorset halfveras. Stjernan träffar (kulminerar) således
två gånger om dygnet meridianplanet, men ses påtagligen i
båda fallen under olika höjdvinklar. När man befinner
sig i o afläses — hårkorset inställes på stjernan i det ögonblick
den passerar meridianen — vinkeln φ; när jorden roterat
180°, d. v. s. när man befinner sig i o͵ afläses vinkeln φ͵.
Af fig. 216 framgår att ortens latitudvinkel fås ur
Vinkeln v är, oafsedt den approximation, hvartill man
gör sig skyldig genom att antaga o p parallel med jordaxeln,
ej den sanna eller geocentriska latitudvinkeln; ty emedan
alhidadaxeln instälts med vattenpass, så har den vid
observationerna sammanfallit med ortens normal, hvilken i
anseende till jordytans elliptiska form ej går genom jordens
medelpunkt. Vill man reducera den skenbara polhöjden v till
den geocentriska, så har man att minska v med en vinkel
Trigonometrisk höjdmätning.
224. Om inflytandet af ljusstrålarnes refraktion vid
mätning af vertikalvinklar. När afståndet mellan signalen och
instrumentet ej är synnerligen stort, så kan vertikalvinkeln
omedelbart mätas enligt i 69 angifna förfaringssätt; men
om afståndet är stort, så måste afseende fastas vid
ljusstrålarnes refraktion.
Denna refraktion uppkommer deraf, att ljusstrålarne
passera genom luftlager af olika täthet; och emedan
tätheten tilltager i den mån luftlagren ligga nära jordytan och
tvärtom, så följer enligt den optiska brytningslagen
(ljusstrålar brytas mot normalen vid öfvergång till ett tätare
och från normalen vid öfvergång till ett tunnare medium)
att ljusstrålarne mellan två olika högt belägna punkter p
och p͵ beskrifva en uppåt buktad kroklinie. Om man derför
(fig. 217) uppställer en teodolit i p och inställer tuben på
p͵, så intager kollimationsaxeln, alldenstund tuben mottager
Ijusstrålarne i
riktningen af strålbanans
tangent läget p q, och den
uppmätta vinkeln z
afviker med ∆z från
zenitvinkeln i p. Vi vilja,
under förutsättning att
strålbanan är en
cirkelbåge — hvilket i
verkligheten ej är fullt
fallet — söka ett uttryck
för ∆z.
Fig. 217.
Om jordens och
strålbanans radier
betecknas med r och ρ,
och de motsvarande
vinklarne med c och v,
så är, alldenstund
längden af bågen pp͵ i
verkligheten högst
obetydligt afviker från
längden af den
motsvarande horisontbågen p e
r c = ρ v; vidare är
enligt figuren v = ∆ 2 z
samt således
beteckna r ∕ 2 ρ med k.
hvarvid k eller förhållandet r∶ρ är en koefficient, som har
fått namnet refraktionskoefficient.
För att bestämma k har man uppmätt båda vinklarne
z och z͵, och för att likartade förhållanden må ega rum vid
dessa mätningar gjort dem samtidigt. Man kan endast i så
fall antaga, att ∆z varit lika med ∆z͵. Emedan ∆z = ∆z͵
så är, om man jemför de båda utanvinklarne z + ∆z och
z͵ + ∆z med vinklarne i triangeln p p͵ c
och således, emedan
På grund af många iakttagelser, gjorda vid olika tider
i olika länder; hafva följande värden på k erhållits
Mayer (Göttingen) fann k = 0,125.
Gauss (Tyskland) " k = 0,1306.
Struve (Ryssland) " k = 0,1237.
Bessel och Bayer (Ostpreussen) " k = 0,1370.
I Sverige har man användt k = 0,15.
En nyare och skarpare teori (se Bauernfeinds
Vermessungskunde) förutsätter ej refraktionskoefficienten konstant,
utan fordrar, att den för hvarje fall beräknas.
Om det horisontela afståndet s (den sferiska
triangelsidan) är genom triangelmätning bestämdt, så är
c = 206265 s ∕ r sek. och således
225. Den trigonometriska höjdmätningsformeln vid
konstant värde på k. För att kunna (fig. 217) beräkna
höjdskilnaden p͵ e = h mellan de två punkterna p och p͵, måste
man känna z eller z͵ samt det horisontela afståndet (den
sferiska triangelsidan) s.
Af fig. 217 framgår att
samt (triangeln a p q) att a q = p a sin a p q ∕ sin a p q = p a cos z ∕ sin (z − c). Som imellertid z ej afviker synnerligen från 90°, under det att c
vanligen är en mycket liten vinkel — den öfverstiger, äfven
för de värden på s, som förekomma i ett nät af 1:sta
ordningen, ytterst sällan 30′, men är vanligen mycket mindre
— så kan c försummas vid sidan af z uti sin (z − c) och
derjemte äfven sättas: p a = s och således a q = s cot z.
Emedan vinkeln a p e = c ∕ 2 är en mycket liten vinkel
och rc = s, så kan man sätta det mot jordytans buktighet
svarande stycket a e = s c ∕ 2 = s² ∕ (2 r).
Emedan enl. föregående 2 ∆z = k c, emedan divergensen
mellan c p och c q är så obetydlig, att man kan anse p p͵ = s,
samt emedan vinklarne v och ∆z (= k c ∕ 2) äro mycket små,
så kan man sätta det mot refraktionen svarande stycket
p͵ q = p p͵ ∙ ∆z = s k c ∕ 2 = s² k ∕ (2 r).
Insättas ofvanstående värden på a q , a e och p q uti
eqvationen h = a q + a e − p͵ q, så fås
eller, om man sätter (1 − k) ∕ (2 r) = m
eller
Uti den senare formeln, som torde vara mest konseqvent, beteckna x och
x͵ stationspnnktens och den observerade punktens höjder öfver
mediehafsytans klot. Såväl [(1 − 0,5 k) ∕ r] s² cot² z som (x͵² − x²) ∕ (2 r) kunna vid
praktiska mätningar försummas.
Ofvanstående formel
lemnar höjdskilnaden mellan
instrumentet och signalen. För
att finna höjdskilnaden mellan
punkterna på marken, har man
(fig. 218) att i den införa
instrumenthöjden i och
signalhöjden t och får då
H = s cot z + m s² + i − t (212).
Fig. 218
Det må påpekas, att s cot z
är positiv eller negativ allt efter
som z ≶ 90°, d. v. s, allt efter som den observerade
punkten ligger högre eller lägre än stationspunkten samt att
m s², i och t ej lida någon teckenförändring. H blir positiv
eller negativ allt efter som den observerade punkten ligger
högre eller lägre än stationspunkten.
Uti nedanstående tabell hafva vi, under användning af
den för Sverige i allmänhet lämpligaste koefficienten t=0,15,
beräknat och sammanfört värden på m s² för gifna värden på s.
Värden på m s² i meter för gifna värden på s i meter.
s 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Diff. i c.m. för 100 m.
----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----------------------
0 0,000 0,001 0,003 0,006 0,011 0,017 0,024 0,033 0,043 0,054 0,1-1
1000 0,067 0,082 0,097 0,112 0,130 0,150 0,170 0,192 0,215 0,240 2
2000 0,27 0,30 0,33 0,36 0,39 0,42 0,45 0,48 0,52 0,56 3
3000 0,60 0,64 0,68 0,72 0,77 0,81 0,86 0,91 0,96 1,01 5
4000 1,06 1,11 1,17 1,23 1,29 1,35 1,41 1,47 1,53 1,60 6
5000 1,67 1,73 1,80 1,87 1,94 2,01 2,08 2,16 2,24 2,32 8
6000 2,39 2,47 2,55 2,63 2,72 2,81 2,90 2,99 3,08 3,17 9
7000 3,26 3,35 3,44 3,54 3,64 3,74 3,84 3,94 4,04 4,15 10
8000 4,26 4,37 4,48 4,59 4,70 4,81 4,92 5,03 5,15 5,27 11
9000 5,39 5,51 5,63 5,75 5,88 6,01 6,14 6,27 6,40 6,53 13
10000 6,65 6,79 6,92 7,06 7,20 7,34 7,48 7,62 7,76 7,91 14
226. Sätt att göra sig oberoende af refraktionen. Man
kan genom att samtidigt mäta vinklarne z och z͵ i båda
punkterna göra sig oberoende af refraktionen vid
bestämningen af dessa punkters höjdskilnad; ty emedan enligt
föregående 2 ∆z = 180 + c − z − z͵ och enligt (fig. 217)
så är
Uti denna formel insättes c = 206265 ∕ r s sek. Formeln
är endast giltig, om instrumenten uppstälts i sjelfva
signalpunkterna, eller om vinklarne z och z͵ reducerats till dessa
punkter. Då det förra i allmänhet ej är möjligt, så får
vanligen vinklarne z och z͵ reduceras. Detta sker påtagligen om
man (fig. 219) i stället för z och z͵ inför z + δ = z + 206265 l∕s sek. och z͵ + δ͵ = z͵ + 206265 l͵∕s sek., hvarvid l och l͵ beteckna signalernas höjder öfver instrumenten.
Fig. 219.
Ett sätt att göra sig oberoende af korrektionen såväl
för refraktionen som för jordytans buktighet, är att uppställa
instrumentet i en punkt, som är på
samma afstånd från de båda
punkter, hvilkas höjdsklnad H′ sökes;
ty, om s är det geodetiska afståndet
mellan instrumentet och hvardera
punkten, om z͵ och z͵͵ äro de båda
i hjelpstationen uppmätta vinklarne,
H͵ och H͵͵ de motsvarande
höjdskilnaderna mellan instrumentet och
punkterna samt t͵ och t͵͵ signalhöjderna,
så fås enligt formeln (212) den sökta
höjdskilnaden H′ ur
H′ = H͵ − H͵͵ = s (cot z͵ - cot z͵͵) + t͵ − t͵͵.
Om det ock sällan låter sig göra
att uppställa in&trumentet på samma
afstånd från båda punkterna, så
framgår i sammanhang med det ofvan
anförda, att, om höjdskilnaden mellan två
punkter bestämmes från en tredje punkt, korrektionerna för
refraktionen och jordytans buktighet få mindre betydelse i
samma mån som afstånden s͵ och s͵͵ till den tredje punkten
närma sig till likhet [i samma mån närmar sig m (s͵² − s͵͵²)
till 0]. Detta mätningssätt har betydelse vid trigonometrisk
höjdmätning af punkterna i ett triangelnät. Består nätet af
närmevis liksidiga trianglar, kommer med detta mätningssätt
refraktionen att blifva jemförelsevis oskadlig. Strängt taget
elimineras den endast, om punkterna ligga lika högt (se not.
på sid. 303). Dock må påpekas, att refraktionen kan vara
betydligt olika i olika riktningar.
227. Noggrannhet vid trigonometrisk höjdmätning. Om,
för. att finna i hvad mån ett vinkelfel inverkar på
höjdskilnaden, formeln (212) differentieras, så erhålles det mot
vinkelfelet dz svarande höjdfelet f ur
Antages z =90° (i allmänhet afviker ej z synnerligen
mycket från 90°), så fås, om dz uttryckes i sekunder,
Är vinkelfelet i medeltal ± 5 sekunder (ej utan
synnerligen skarpa och många gånger upprepade mätningar kan
större skärpa påräknas), så blir H felaktig med följande,
mot olika värden på s i meter (fot) svarande värden på f i
meter (fot):
Ett fel inom vanliga gränser i längden på s inverkar ej
märkbart i höjdmätningsformeln; då z ej mycket afviker från
90° kan man temligen approximativt uppskatta s.
Som redan förut blifvit nämndt är ej
refraktionskoefficienten k en konstant. På grund af flera observationer har
man trott sig finna, att k i medeltal varierar med k∕4. Om
uti formeln (210) k antages till 0,15, men i medeltal är
felaktig med ± 0,15∕4, så blir −k s² ∕ (2r och således äfven h felaktig med följande, mot olika värden på s i meter svarande
värden f, i meter
Sammanställer man vinkelfelet och refraktionsfelet och
söker ett medelfel m för båda, så fås detta enligt minsta
qvadratmetoden ur
Om i denna formel de ofvanstående värdena på f och
f͵ insättas, så fås för de motsvarande värdena på s i meter
följande värden på m i meter:
Af ofvanstående framgår, att den trigonometriska
höjdmätningen på långt när ej lemnar samma skärpa som en väl
utförd afvägning. Imellertid må erinras, att med för hvarje
fall enligt nyare teorier beräknad refraktionskoefficient (se
Bauernfeinds Vermessungskunde) ett skarpare resultat
erhålles än med konstant koefficient, äfven som att en verkstäld
felutjemning minskar felet om höjdskilnaderna bestämmas från
flera punkter — hvilket vanligen blir fallet, om
triangelmätning samtidigt eger rum. I alla händelser erhålles bättre
resultat i den mån man (226) ställer så till, att refraktionens
inflytande minskas.
Af väsendtligt inflytande på mätningsresultatet är den
luftdallring, som alltid visar sig i tuben, när atmosferen ej är
i jemnvigt. Närmast före och efter middagen samt i
solnedgången lär luftdallringen i allmänhet vara starkast, och
för öfrigt mindre vid låg temperatur och betäckt himmel, än
vid hög temperatur och klar himmel.
Afvägning.
228. Hänvisande till hvad om afvägning finnes anfördt
i 122 och 123, vilja vi här rörande afvägning i allmänhet
blott i korthet påpeka inflytandet af refraktionen och
jordytans buktighet. Enligt 225 har man att till afläsningen
med horisontel syftlinie addera m s² för att få den sanna
höjdskilnaden mellan instrumenthöjden och den punkt, hvarpå
stången är uppstäld. Ehuru man vid afvägning i allmänhet
ej fäster något afseende vid detta tillskott, och genom att
uppställa instrumentet mellan flyttpunkterna helt och hållet
eliminerar detsamma, kan det understundom vid ensidiga
syftningar på långa håll, specielt vid afvägning med
Stampfers skruf, vara på sin plats att korrigera med m s². Tab. (9)
torde härför vara tillfyllest. För 300 meter (1010 fot) är
enligt denna tabell m s² = 6 m.m. (2 lin.).
Vi må i det följande sysselsätta oss med afvägning för
olika ändamål.
Längdprofiler.
229. Om lodlinien får följa en på marken utstakad
linie (midtellinien till en jernväg, en kanal etc.), så alstrar
den en vertikal yta, hvars skärningslinie med jordytan, när
den vertikala ytan utvecklas till ett plan, benämnes
längdprofil. Upprättandet af en längdprofil sker på grund af
horisontela och vertikala mätningar.
Fig. 220
De horisontela mätningarne gå antingen ut på, att i
den utstakade linien utsätta punkter på bestämda afstånd —
vid de svenska
jernvägsbyggnaderna vanligen 50 fot — eller ock att
utmärka alla brytningspunkter (a,
b och c i fig. 220) i profillinien och
sedermera mäta afstånden mellan
dessa punkter. Ehuru det senare
förfarandet är principielt riktigare
än det förra, användes det mera
sällan, dels på grund af, att det fordrar större tid, dels
emedan profilen blir mer svårhandterlig. I hvilkendera fallet
som helst nedslås afvägningspålarne i jemnhöjd med marken,
samt utsättes bakom hvarje påle en nummersticka med
numret vändt mot liniens utgångspunkt. Numret bör om möjligt
angifva pålens afstånd från utgångspunkten. I händelse
att pålarne blifvit utsatta på hvar femtionde fot, numreras
alla hundrafots pålar efter löpande nummer; de
mellanliggande få blott ett horisontelt streck. Numret på en påle
angifver då antalet hundra fot från utgångspunkten.
Hafva pålarne blifvit utsatta i brytningspunkter, så bör
man taga för regel att vid afståndsmätningen flytta kedjan
på jemna kedjelängdspunkter, under det man i förbigående
mäter in brytningspunkterna. Man undviker härigenom
addition af ojemna tal, och ett vid en brytningspunkt
begånget fel fortplantas ej till de följande punkterna.
Afvägningen sker och protokollet föres i
öfverensstämmelse med hvad i 122 är anfördt. För att hafva säkra
utgångs- och kontrollpunkter för följande mätningar, kan man
på hvar 500 meter af väga s. k. fixpunkter. Härtill väljer
man högsta punkten på någon bergknalt eller jordfast sten,
som ligger så långt från linien, att den vid blifvande
arbeten kommer att lemnas orörd. Fixpunkten utmärkes genom
en kring den med tjära och rödfärg uppdragen krets etc.,
och dess läge beskrifves dels genom att den protokollföres
vid de punkter, mellan hvilka dess ordinata träffar linien,
dels genom att i anmärkningskolumnen ordinatlängden
antecknas med antalet steg till höger eller venster om linien
(se protokollet i 122).
När längdprofilen skall uppritas, afsattes på en fin skarp
baslinie (fig. 221, pl. 7) de afvägda punkterna och sedan på
genom dessa punkter vinkelrätt mot baslinien dragna
ordinatlinier (minskade med 100 eller något annat jemnt tal,
om man finner fördel i att begagna kortare ordinater) de
respektive punkternas datumhöjder. De så erhållna
punkterna sammanbindas med räta eller något afrundade linier
— det förra alltid, när blott brytningspunkter blifvit
afvägda. Sällan begagnas samma skala för ordinaterna som
för abskisserna; höjdskalan är vanligen 10 à 40 gånger
större (vid öfversigtsprofiler ännu mycket större) än
längdskalan. Att den uppritade profilen härigenom kommer att
visa starkare lutningar än den verkliga, har ingen
olägenhet, utan tvärtom. Man kan nämligen genom att taga
längdskalan mindre än höjdskalan göra profilen kortare och
derigenom få den mera öfverskådlig; dessutom vinnes vid de
profiler, på hvilka balanslinier skola inläggas, förmånen, att
Pl. 7.
Fig. 221 —224
balanslinien ej kommer att skära profilen under för spetsiga
vinklar. I längdprofilen inläggas äfven fixpunkterna.
Man kan äfven bestämma profilpunkterna genom att
draga instrumenthöjdernas nivålinier och sedermera från dessa
linier (fig. 222, pl. 7) afsätta afläsningarne nedåt. Man
undviker härigenom uträknandet af datumhöjderna. Vid för
praktiska ändamål afsedda profiler äro imellertid dessa
höjders sifteruttryck i allmänhet nödvändiga att känna och i så
fall det förra sättet att förorda.
En längdprofil åtföljes ofta af en karta — vanligen
upprättad med kedja och korstafla — öfver det vigtigaste i och
på ömse sidor om linien.
Längdprofiler upprättas för mångahanda ändamål. Vid
väganläggningar upprättas längdprofiler på det man må kunna
bestämma vägplanets läge och i och med detsamma få
utrönt gräfnings- och fyllnadsförhållanden. Detta sker genom
inläggning af den s. k. balanslinien, hvilken, såvida ej
särskilda omständigheter äro för handen, i allmänhet bör läggas
så, att gräfningsmassorna och fyllnadsmassorna blifva lika
stora. En närmare redogörelse för dessa förhållanden skulle
föra oss utom området för detta arbete. Fig. 221, pl. 7
visar en bit af en jernvägsprofil med inlagd balansllnie (b l).
Densamma lutar till punkten 3 med 1 på 250 och går
sedan horisontelt. Är balansliniens höjd känd i en punkt
och dess lutningsförhållanden bestämda, så är det lätt att
uträkna dess läge vid följande punkter. Balanshöjderna
skrifvas i kolumnen ofvanför datumhöjderna. Skilnaden mellan
balanshöjderna och datumhöjderna skrifvas i
skilnadskolumnen. I denna kolumn afläses då huru djupt man skall gräfva
eller huru högt man skall fylla.
Förberedande undersökningsprofiler upprättas numera
ofta i kuperade trakter (135) med anneroidbarometrar
(afståndsbestämning efter karta och genom stegning). Sådane
profiler äro naturligtvis af mycket approximativ natur; men
de lemna ofta en god ledning för undersökningar och
mätningar af mera definitiv beskaffenhet.
Tvärprofiler.
230. De vinkelrätt mot längdprofilen förlagda
tvärprofilerna spela en vigtig rol vid en mängd olika slags
arbeten. De upprättas enligt samma grunder som längdprofilen;
dock användes, såvida ej tvärprofileringen är afsedd att
läggas till grund för en nivåkarta (se 232), samma längd- och
höjdskala — vanligen längdprofilens höjdskala. Vid
tvärprofiler (fig. 222, pl. 7) afvägas vanligen brytningspunkter
— i synnerhet om tvärprofileringen skall läggas till grund
för upprättandet af en nivåkarta. Operationerna äro i så
fall följande.
Man utstakar med tillhjelp af korstaflan vinkelrätt mot
längdprofilen och genom dess gifna punkter linier öfver den
trakt, som tvärprofileringen skall omfatta; nedsätter sedan
från längdprofilen åt hvardera sidan i ordning numrerade
eller, måhända bättre, alfabetiskt ordnade stickor i
tvärprofilens brytningspunkter; mäter dessa punkters afstånd från
längdprofilen — dervid läggande till med kedjan på hela
kedjelängdspunkter och i förbigående inmätande
brytningspunkterna — samt afväger slutligen punkterna.
Då terrängen i sjelfva verket har ett oändligt antal
brytningspunkter, har man, naturligtvis med fästadt afseende
på mätningens ändamål, blott att utmärka de vigtigare. I
en projektsprofilering etc., medtages betydligt färre punkter
än i en definitiv profilering, o. s. v. Tvärprofiler afvägas
ej med samma skärpa som längdprofilen. Vanligen
antecknar man ej centimeter (linier).
Förutom det vanliga afvägningsprotokollet bör man för
redighets skull föra ett schematiskt protokoll öfver
närgränsande tvärprofiler. Man inrutar härför protokollsboken på
sätt fig. 223, pl. 7 visar, numrerar tvärprofilerna efter deras
löpande nummer, nedifrån och uppåt, samt betecknar de
brytningspunkterna motsvarande linierna i alfabetisk ordning
— förutsatt att brytningspunkterna på terrängen äro på
samma sätt betecknade. I detta schema skrifves samtidigt
med längdmätningen (boken vänd så att protokollföringen
går i samma riktning som mätningen) under tvärlinien
brytningspunkternas afstånd från längdprofilen, och samtidigt med
afvägningen och öfver tvärlinien deras höjder
(framåtafläsningar eller datumhöjder, allt efter som de förra eller de
senare skola läggas till grund för uppritningen). Förutom
brytningspunkter inmätas och antecknas äfven andra med
afseende på profileringens ändamål vigtiga punkter, såsom
gränspunkter för berg etc.
Ett sådant schema är i synnerhet att förorda, då man
för att undvika onödig stationering afväger i olika profiler
så många punkter, som instrumentet beherrskar. Man
upptäcker då lätt genom de blanka ställena de punkter, som af
en eller annan anledning blifvit försummade och som återstå
att afväga.
Öfver innehållsrika tvärprofiler, exempelvis af den
beskaffenhet fig. 222, pl. 7 visar, bör man föra en särskild
handritning. Man uppritar härför under stickutsättningen
eller längdmätningen profilen efter ögonmått och inskrifver
höjder samt afstånd till längdprofilen (lp) samtidigt med
motsvarande mätningsoperationer. Uti ifrågavarande figur har
profilens uppritning grundats på afläsningarne ; dessa äro
derför skrifna vid instrumenthöjdernas nivålinier. Om
datumhöjdernas sifferuttryck ej behöfvas, så är detta sätt att gå
tillväga, såsom förenadt med stor tidsbesparing, att
rekommendera.
Tvärprofilerna uppritas sedermera på grund af
ofvannämnde schema med åtföljande handritningar — i hvilken
skala beror på ändamålet. Vid nivelleringsarbeten användas
ofta skalorna ¹⁄₁₀₀ à ¹⁄₂₀₀.
En mer eller mindre approximativ tvärprofilering kan
verkställas med nivåspegcln. Afvägningen eger rum uti
tvärlinierna på sätt, som i 126 finnes angifvet, och afståndet
mätes genom stegning eller med kedja. I sistnämnde fall
kan, om nivåspegeln är fästad vid en stake
genom att ömsevis syfta på hviländen af en stång och på ett dess märke
för instrumentets dubbla höjd öfver instrumentstakens hvilände, kan i
fallande eller stigande terräng reducera stationernas antal till hälften, och
dessutom, emedan i så fall framåt- och bakåtsyftningar ömsevis
förekomma, få mätningen oberoende af instrumentets justerfel, hvilket ej blir
oskadligt vid ensidig syftning. och om
afvägningen sker med omsorg, tvärprofilering med för många
praktiska ändamål erforderlig noggrannhet verkställas. Detta
mätningssätt lämpar sig i synnerhet för inläggning af
nivåkurver.
231. Arbetsprofiler. Med arbetsprofiler förstås sådane
tvärprofiler, som vid ett schakt- och fyllnadsarbete
utsättas till ledning för arbetarne äfven som för beräkning af
kubikmassornas storlek och den derpå, grundade
aflöningen. Med uteslutning af allt, som ej faller inom
mätningarnes område, må här redogöras för utsättandet af dylika
profiler. Fig. 224, pl. 7, angifver huru en arbetsprofil
(tvärsektion till en jernväg) utsättes, då doseringspinnarne d och
d′ (de punkter, der sidosluttningen börjar) skola genom
afvägning bestämmas.
Innan tvärsektioneringen kan försiggå, måste (229)
längdprofilen vara uppritad, balanslinien inlagd och skilnaderna
uträknade. Är detta gjordt, så utsättas från midtpålen i hvarje
sektion de båda sidopålarne v och h och, sedan dessa blifvit
afvägda, de, enligt den antagna doserirgen, mot sidopålarnes
höjder öfver balansplanet (skilnader) svarande horisontela
afstånden. Man får då, om terrängen är horisontel, genast lägena
hos doseringspinnarne för v och h. I motsatt fall kommer
man, när terrängen stiger (högra sidan af fig.) ej tillräckligt
långt ut och när den faller (venstra sidan) allt för långt ut.
För att visa huru man i båda dessa fall går till väga, må det
antagas att doseringen är 1∶1¹⁄₂ (1 i höjd mot ³⁄₂ horisontelt).
Om punkten h ligger 2,6 öfver balansplanet, så utsätter
man först från h 2,6 ∙ ³⁄₂ = 3,9, afväger punkten 2, söker
afläsningsskilnaden 2,4 − 1,5 = 0,9 mellan denna och
föregående punkt, utsätter 0,9 ∙ ³⁄₂ = 1,35 och fortfar sålunda att
utsätta afläsningsskilnaden i banko, tills den blir så obetydlig,
att doseringspinnen d′ kan anses funnen. Doseringspunktens
höjd öfver balanslinien antecknas. Dess afstånd från
sidopålen är då påtagligen äfven bekant.
I sluttande terräng förfar man enligt samma grunder;
men teckenvexlingar antyda i allmänhet ömsevis utåt- och
inåtsättning. När man sålunda (venstra sid.) från v kommit
till 2, har man att sätta inåt (1,9 − 3,5) ³⁄₂ = −2,4, derpå från
3 utåt (3,5 − 2,4) ³⁄₂ = +1,65, o. s. v., i snäckgång, tills så
små differenser erhållas, att de förlora praktisk betydelse.
I bank blir förhållandet motsatt det vid skärning. Man
får der använda snäckgång vid stigande och trappstegsgång
vid fallande terräng.
Man bör taga för regel, att i hvarje sektion alltid börja
på samma sida om längdprofilen med utsättningen af
doseringspinnarne; ty eljest kan lätt misstag om höger och
venster inträffa och sektionen vändas bakfram vid uppritning.
Som större tvärsektioner förutsätta en fullständig
tvärprofilering (afvägning af brytningspunkter) och derjemte
vanligen uppritas (profilen på vanligt sätt, de konstanta
gränslinierna efter en mall), så kan man i sådane sektioner äfven
bestämma doseringspinnarnes lägen genom att på ritningen
uttaga och på terrängen utsätta deras afstånd från
sidopålarne.
I händelse afskärning skrifves till ledning för
arbetaren på såväl midtelpålen som sidopålarne höjderna öfver
balansplanet. I händelse af bank ersättas midtel- och
sidopålarne ofta af smala spiror, hvilka nedslås, tills deras öfre
ändar komma i balansplanet.
För att erhålla kubikmassan mellan två sektioner
beräknas sektionsareorna, vare sig genom sifferräkning, genom
uppritning på rutpapper (vanligen i ¹⁄₁₀₀ skala) eller med
tillhjelp af planimetrar. Kubikmassan mellan två sektioner
erhåller man i allmänhet tillräckligt noga genom att
multiplicera aritmetiska mediet af de båda areorna med
afståndet mellan dem. Understundom betjenar man sig ock af
formeln för en stympad pyramid eller af formeln för en
stympad kil.
Om ytafvägning och upprättandet af nivåkartor.
232. För många ändamål är det af vigt att känna
terrängens höjdförhållanden i en trakt. Detta vinnes genom
att afväga och till läget i horisontalplanet bestämma de
vigtigaste punkterna i trakten. Terrängens höjnings-och
sänkningsförhållanden kunna sedan utmärkas på kartan genom
att nyssnämnde punkter inläggas och förses med höjdsiffror
eller, om man vill att kartan skall lemna en åskådlig bild
af terrängens höjdförhållanden, genom nivåkurver. Dessa
utgöras (fig. 227, pl. 8) af jordytans skärningslinier med
horisontela, på lika afstånd från hvarandra liggande planer. Alla
punkter på en sådan kurva hafva alltså samma höjd; och
genom sina inbördes lägen i förhållande till hvarandra
åskådliggöra kurverna terrängens höjnings- och
sänkningsförhållanden — brantare terräng i den mån på hvarandra följande
kurver närma sig hvarandra, och tvärtom.
Den förste som framstält idén att använda nivåkurver
lär hafva varit franske geografen Buache. Denne fullföljde
dock ej sina idéer, utan tillkommer det bland andra ingeniör
Ducaila i Genf att hafva spridt närmare kännedom om
nivåkurvernas praktiska betydelse.
Kurvernas höjdskilnad, æquidistans, beror på nivåkartans
ändamål. Vid definitiva mätningar för tekniska ändamål kan
den vara 0,5 à 3 meter; vid topografiska mätningar i liten
skala 3 à 15 meter, o. s. v. Hvarje kurva utmärkes med
en siffra, som derjemte angifver dess höjd öfver grundplanet
— 0-kurvan. För æquidistansen 2 meter blir besiffringen
0, 2, 4, 6, .etc.; för æquidistansen 5 meter 0, 5, 10, 15, etc.
En nivåkurva består af ett oändligt antal punkter. Det
säger sig sjelf, att endast ett fåtal af dessa punkter kunna
inmätas. Man uppsöker och bestämmer de vigtigaste
punkterna enligt något af följande sätt, som äfven medgifva
samtidig inmätning af de föremål, hvilka nivåkartan såsom
plankarta skall innehålla.
1) Direkt uppsökning och bestämning af kurvpunkter
förekommer vid mätningar af mera definitiv beskaffenhet och
vid liten æquidistans (0,5 à 1 meter) och i föga kuperad
terräng. Man uppsöker punkterna med
afvägningsinstrument och bestämmer deras läge i horisontalplanet genom
koordinatmätning eller grafisk mätning. I förra fallet
utstakar man först en baslinie och sedan vinkelrätt mot den och
på bestämdt afstånd (i allmänhet 10 à 20 meter) från
hvarandra tvärlinier öfver den trakt, som skall afvägas. Man
bör härvid bemöda sig, att gifva baslinien ett sådant läge
— vanligen i riktningen af större dälder eller större åsar —
att tvärlinierna komma i lutningsriktningarne. När
utstakningen är gjord, bestämmas i hvarje tvärlinie de i den
befintliga kurvpunkterna sålunda: Man uppställer
afvägningsinstrumentet (fig. 227, pl. 8), bestämmer instrumenthöjden
{34,4) genom bakåtsyftning på fixpunkten, låter sedan
stångföraren gå i hvarje tvärlinie och efter kommando flytta stången
tills de afläsningar (4,4, 3,4, 2,4, etc., om æquidist. är 1 m.)
erhållas, som svara mot de sökta kurvpunkterna (30, 31, 32
etc.
utmärkas genom stickor med kurvans nummer) afstånd från
baslinien. Har på detta sätt samtlige kurvpunkterna blifvit
upptagne, så kan deras kartläggning sedermera lätt
verkställas, och genom att punkter med samma nummer
sammanbindas kurverna erhållas. Som man bör från samma station
bestämma så många punkter som möjligt, således äfven
punkter i olika tvärlinier, är det förmånligt, att protokollet öfver
mätningen föres enligt fig. 223, pl. 7, hvarvid dock
alfabetet utelemnas och punkternas datumhöjder representeras af
deras kurvnummer.
Vid mer eller mindre approximativ nivåmätning, kunna
kurvpunkterna uppsökas med nivåspegeln på sätt i 126 finnes
anfördt. Æquidistansen är i så fall lika med afståndet
mellan fotsulan och ögat eller, om stake begagnas, afståndet
mellan spegelns midtpunkt och stakens hvilände. Vid
rekog-noseringsmätning på detta sätt eger ej någon utstakning rum,
utan bestämmes afståndet mellan tvärlinierna genom stegning,
samt tvärliniernas riktning med ledning af ögat eller kompassen.
I händelse af grafisk planmätning utstakar man ej några
tvärlinier, utan uppsöker med afvägningstuben och
betecknar med stickor kurvpunkter, der ögat förutser att kurverna
hastigt kröka sig eller bilda hörn. Planmätningen kan ske
genom afskärning, men som i så fall två instrument behöfvas och tre uppställningar af stången i hvarje punkt erfordras, så är mätning med distanstub vida att föredraga.
Begagnas distanstub, så eger äfven afvägningen rum med nämnde,
vid detta mätningssätt horisontelt instälda tub, och
omedelbart sedan punkten är funnen kartlägges den (158).
Nivåkartor upprättas imellertid vanligen med distanstub
på sätt, som under 3) kommer att närmare afhandlas.
Pl. 8.
Fig. 225—230
2) Tvärsektionering och kurvpunkternas bestämning
genom konstruktion eller interpolering begagnas i
allmänhet vid mätning af definitiv karakter i kuperad terräng.
Man tvärsektionerar enligt 230 trakten, dervid gifvande
baslinien ett sådant läge (fig. 228, pl. 8), att tvärprofilerna i
allmänhet komma att förläggas i de starkaste lutningarne —
vinkelrätt mot riktningen af större dälder eller åsar. Der
så anses lämpligt brytes baslinien. Afståndet mellan
tvärlinierna, likasom ock antalet utmärkta brytningspunkter bero
på terrängens beskaffenhet och æquidistansen. Man bör
bemöda sig om, att ej inmäta sådane brytningspunkter, som
för konstruktionen eller interpoleringen äro öfverflödiga.
Endast undantagsvis äro (se det följande) två brytningspunkter
mellan tvenne kurvpunkter motiverade. Är tvärsektioneringen verkstäld, så kunna kurvpunkterna bestämmas genom
konstruktion eller genom interpolering.
I förra fallet uppritas tvärprofilerna med tillhjelp af
rutpapper. Man numrerar (fig. 225, pl. 8) först de nivålinier
(horisontalplanens vertikalprojektioner), hvilka ligga på
æquidistansen från hvarandra med siffror 27, 28, 29 etc.), som
angifva deras höjder öfver 0-kurvan; inprickar, utgående från.
dessa linier och en antagen vertikallinie (längdprofil),
tvärprofilerna och projicerar tvärprofilernas skärningspunkter med
ofvannämnde nivålinier på motsvarande sektionslinier i
horisontalplanet. På detta sätt hafva punkterna 28, 29, 30,
o. s. v., erhållits för sektionerna 5 och 6. Då punkternas
lägen i horisontalplanet alltid äro oberoende af höjdskalan, så
tager man, för att få skarpare skärning mellan
horisontalplanen och profilerna, höjdskalan 5, 10 à 20 gånger större
än längdskalan. Uti fig. 225 är längdskalan ¹⁄₂₀₀₀ (1 c.m = 20 m.)
och höjdskalan ¹⁄₂₅₀ (4 m.m. - 1 m.). När tvärsektionerna äro
många, är det förmånligt att gruppvis upprita dem afskildt och
att med passare transportera skärningspunkternas afstånd från
längdprofilen på motsvarande sektionslinier i horisontalplanet.
Skola kurvpunkterna bestämmas genom interpolering, så
behöfva ej tvärprofilerna uppritas, utan blott
brytningspunkterna kartläggas; man söker sedan (oberoende af mätskalan)
med en tunn, i millimeter eller med hvilken liten enhet
som helst graderad träskala direkt afstånden i skalenheter
mellan på hvarandra följande brytningspunkter och
beräknar med kännedom af höjdskilnaderna läget af
kurvpunkterna. Detta sker på sätt, som i följande exempel skall visas.
Om (fig. 225, pl. 8) afståndet mellan brytningspunkterna
a och b i sektionen 0 är 30,3 skalenheter samt
höjdskilnaden är 32,3 − 28,6 = 3,7 meter, så förhåller sig (på grund
af trianglarnes likformighet med den i horisontalplanet
nedfälda triangeln a b b͵), for två mellan a och b belägna kurv-
punkter deras afstånd uttryckt i skalenheter till deras
höjdskilnad i meter, som 30,3∕3,7 = 8,2. Afståndet mellan a och
kurvan 29 är således 8,2(29 − 28,6) = 3,3 skalenheter och
afståndet mellan de på hvarandra följande kurverna 29, 30,
31 och 32, 8,2 skalenheter. Man afsätter derför med
tillhjelp af ofvannämnde skala först 3,3 enheter från a och
sedermera 8,2 enheter tre gånger från 29; och får då de
fyra kurvpunkterna 29, 30, 31 och 32. På samma sätt
interpoleras mellan öfriga brytningspunkter i sektionerna.
Äfven kan man, der så anses nödigt, interpolera mellan
brytningspunkter i olika sektioner.
Interpoleringsmetoden är endast i det fall, att flera
kurvpunkter ligga mellan på hvarandra följande
brytningspunkter, att föredraga framför konstruktionsmetoden.
3) Kurvpunkternas bestämning genom interpolering
mellan tvångsfritt valda och bestämda brytningspunkter
kan försiggå vid mätning i såväl stor som liten skala.
Brytningspunkterna kunna härför bestämmas såväl genom
särskildt afvägning och derpå följande planmätning med
afskärningar, som ock genom samtidig plan- och höjdmätning med
Reichenbachs eller Stampfers distansmätare. Reichenbachs
distansmätare erbjuder för detta mätningssätt afgjorda
företräden, och må derför dess användning härvid i det följande
hufvudsakligen framhållas. Det förutsattes bekant hvad om
detta instrument redan i instrumentläran blifvit anfördt.
Sedan man uppstäldt mätbordet (bör för hithörande
mätningar vara synnerligen stadigt) och noga horisonterat samt
orienterat taflan bestämmas instrumenthöjden och
stationspålens höjd genom tillbakasyftning, vare sig med
horisontel eller med lutande tub (158), på en punkt, hvars
höjd är känd. Derefter börjar mätningen, i det
brytningspunkter (se fig. 225 nedtill, pl. 8), mellan hvilka terrängen
kan anses slutta rätlinigt, bestämmas. Stångföraren har
härför i allmänhet att uppställa stången (lämpligen 5 meter lång)
i paralleler i den starkaste lutningsriktningen (i små sidoåsar
eller dälder vinkelrätt mot hufvudåsens eller hufvuddäldens
riktning), men får derjemte äfven stationera der terrängen
angifver hastiga krökningar af kurverna. I fig. 225, pl. 8,
angifva de streckade linierna stångförarens väg, samt de
små cirklarna de brytningspunkter, i hvilka han stationerat.
Det synes, att han i allmänhet har gått vinkelrätt mot
kurverna, således i de starkaste lutningarne, och hufvudsakligen
i riktningen öster och vester. För att få in de båda åsarne
har han imellertid äfven måst stationera i polära linier.
Vid samtidig plan- och höjdmätning torde Wilds tabell
[158, α)] vara lämplig att använda såväl för afståndets
reducering som för höjdbestämningen
bestämmer höjden med det oreducerade afståndet (instrumentet lemnar ej
sifferuttryck för det reducerade), kan i kuperad terräng föranleda
beaktansvärda fel.. Det säger sig sjelf, att
man alltid, när så är möjligt, använder horisontel. tub.
De kartlagda brytningspunkterna omgifvas med små
cirklar, och bredvid skrifvas med små siffror deras höjder
vinkelrätt mot sluttningslinierna (de ofvannämnde streckade
linierna). Interpolering eger sedermera rum på förut anfördt
sätt uti dessa linier, men äfven, der så anses nödigt, mellan
punkter i olika linier. Interpoleringen likasom kurvernas
uppritning med blyerzpenna, bör försiggå medan man är på
fältet och i svårare fall kan af terrängen få ledning för
kurvernas lägen. De vigtigaste brytningspunkterna böra till
ledning qvarstå på kartan samt besiffras med tusch.
Som höjdmätning med distansmätare och lutande tub
lemnar erforderlig skärpa för höjdbestämning af enstaka
detaljpunkter (fel 30 à 80 m.m.), men vid på hvarandra
följande stationeringar så småningom kan föranleda för vissa
ändamål otillåtliga fel, bör, såvida ej stationspunkternas
höjder kunna bestämmas med horisontel tub — och detta är
sällan fallet — när synnerlig noggrannhet eftersträfvas, ett
erforderligt antal fixpunkter vara genom trigonometrisk
höjdmätning eller afvägning bestämda öfver den trakt som
kartlägges, och helst så, att man må kunna i hvarannan eller
hvar tredje station kontrollera höjden. Lämpligast är, om
öfver trakten är förlagdt ett höjdmätt trigonometriskt nät af
4:de ordningen, ty enligt hvad i 218 finnes anfördt
behöfver äfven planmätningen kontrolleras.
Finnes vid distanstuben anbringad en Stampfers skruf
(160), så bör, i anseende till den skärpa hvarmed densamma
såväl längd- som höjdmäter, der så låter sig göra,
stationspunkternas afstånd och höjder kontrolleras med denna skruf.
Den hittills brukliga anordningen af skrufven gör den dock
oanvändbar i kuperad terräng.
Om brytningspunkterna skola bestämmas genom särskildt
afvägning och derpå följande planmätning med afskärning,
bör en person sköta afvägningen och en planmätningen.
Brytningspunkterna utväljas och afvägas för öfrigt enligt
ofvan anförde grunder; och sedan de blifvit inskurna, så
interpoleras mellan dem. Detta tidsödande och intrasslade
mätningssätt, som erfordrar samarbete mellan två instrument,
stickor och trefaldig stationering med stång vid hvarje sticka,
torde endast undantagsvis böra användas.
4) Nivåkartor af approximativ karakter kunna upprättas
med tillhjelp af aneroidbarometrar; i så fall torde
interpoleringsmätning (sid. 177 och 178) vara lämpligast att använda.
233. Nivåkartors egenskaper och användning. Nivåkartor äro användbara för många ändamål. Förutom den allmänna åskådlighet, en nivåkarta lemnar öfver traktens
höjnings- och sänkningsförhållanden, kan den äfven läggas
till grund för tekniska arbeten, såsom följande exempel visa.
Skall en trakt dräneras, så kan man med ledning af
kurverna i allmänhet bestämma hvar afloppskanalerna
lämpligen böra förläggas.
Skall i en mycket kuperad trakt en väg af bestämd
lutning anläggas, så kan man på nivåkartan bestämma dess
läge genom att (fig. 230, pl. 8) med det mot æquidistansen
svarande horisontela afståndet såsom passöppning slå upp
cirkelbågar i de så efter hvarandra bestämda
skärningspunkterna med kurverna. Sammanbindas dessa punkter, så
erhålles vägens riktning. Det må uppmärksammas, att från
en punkt i hvarje kurva i allmänhet två alternativer
medgifvas.
Man kan på grund af en nivåkarta projektvis utlägga
en landsväg, jernväg eller kanal och derjemte äfven utan
vidare mätningar upprita tvärsektionerna och approximativt
beräkna kubikmassorna. Om (fig. 228, pl. 8) man vill
upprita tvärsektionen a b, så behöfver man blott från
midtpunkten m på en baslinie (fig. 229, pl. 8) afsätta
skärningspunkterna med kurverna, från dessa punkter draga ordinater och
sedan sammanbinda dessas skärningspunkter med planernas
nivålinier. Resultatet blir naturligtvis noggrannare i samma
mån æquidistansen är liten och kartan ritad i stor skala.
Man kan på grund af nivåkurverna under förmånliga
förhållanden beräkna kubikmassan öfver något af
kurvernas plan. Lämpligast låter detta sig göra om kurverna
utan många förslingringar sluta sig, såsom t. ex. vid en
jordhöjd (fig. 226, pl. 8). Man beräknar i så fall med
planimeter arean på den af hvarje kurva inneslutna figuren
och beräknar kubikmassan mellan på hvarandra följande
planer enligt formeln för en stympad kon. De horisontela
Pl. 9.
Fig. 231—236.
sektionsareorna representera konens baser, æquidistansen
dess höjd. Vid ett större planeringsarbete blifva imellertid i
allmänhet kurverna så invecklade, att det lämpar sig bättre
grunda beräkningen på tvärprofilering under införande af
tvärsektionsareorna och kubikmassorna mellan dem på förut i
232 anfördt sätt.
*
Kurvstakning.
234. Vid vägar i allmänhet och isynnerhet vid
jernvägar förekommer det ofta, att rätliniga sträckor skola
sammanbindas genom en kurva af bestämd form. Vanligen
använder man cirkelbågar, mindre ofta parallelbågar.
Stakning af cirkelkurver.
235. För att en cirkelkurva af bestämd radie skall
kunna så stakas, att den tangerar tvenne räta linier, måste
man känna vinkeln mellan dessa linier. Vinkeln mätes med
kedja eller teodolit, och radiens storlek bestämmes med hänsyn
till rådande terrängförhållanden. Vi vilja i det följande
redogöra för tre olika sätt att staka cirkelkurver.
236. Stakning med ordinater förekommer allmännast.
Om (fig. 231, pl. 9) linierna A B och B D skola
sammanbindas med en cirkelkurva (tangentpunkterna ännu ej kända),
så har man först att mäta vinkeln h B D, tydligen lika med
centrivinkeln C. Ehuru teodolit här är förmånlig att använda,
brukar man vid smärre kurver ofta mäta vinkeln med kedja.
Detta sker genom att en kedjelängd l utsättes i hvardera
linien och den tredje sidan s mätes. Vinkeln C = h B D kan då
beräknas ur l sin (C∕2) = s∕2. Imellertid verkställer man ej denna
beräkning, utan söker med tillhjelp af tabeller såväl
centrivinkelns storlek som den häremot svarande tangentlängden.
Det är denna senare storhet, som man egentligen åstundar
att få veta; ty det är från tangentpunkterna, som vid
följande stakningsoperationer abskisserna räknas.
I Kröhnkes tabeller (äfvensom i 2:dra upplagan, 1876,
af John W. Nyströms Handbok för Ingeniörer, öfvers, af
L. G. Paijkull) finner man hvarandra motsvarande värden på
centrivinkeln C, tangentlängden A B, kurvlängden A M D samt
halfva kordan (Halbe Sehne) A H uträknade för 1000 meters
(fots) radie. För att betjena sig af denna tabell vid bestämning
C har man att uppställa följande analogi: l∶s = 1000∶2 A H,
hvaraf A H = 1000 s∕2l om l är 50. Har man på
på detta sätt funnit A H, uppsöker man dess värde i
tabellen och finner då på samma rad de motsvarande värdena
på C och A B = B D för radien 1000. För att kunna
belysa med exempel bifogas här nedan ett utdrag af
Kröhnkes tabeller.
================================================================
Minuter. Tangente Curve Halbe Sehne Ordinate Curven-
A B. A M D. A H H M = I M abstand
Abscisse B M.
A I.
------- ---------- ---------- ----------- --------- -------
0 249,328 488,692 241,922 29,704 30,613
2 249,637 489,274 242,204 29,774 30,688
4 249,946 489,856 242,487 29,845 30,763
Har vid mätning s befunnits vara 24,23, så är A H = 242,3
och, vid interpolering mellan de motsvarande gränsvärdena i
tabellen, C = 28°3′ samt tangenten A B för radien 1000 = 249,75.
Tangentlängden x, för hvilken radie r som helst, är nu lätt att
finna, ty alldenstund tangentlängderna äro proportionela med
radierna, så är x = r∙A B∕1000. Antag, att man i förevarande exempel bestämt sig för radien 1500 meter, så är x = 1,5 ∙ 249,75 = 373,6. Man har alltså att från B utsätta 373,6 i
hvardera linien, för att finna tangentpunkterna.
Äro tangentpunkterna funna, så kan ordinatutsättningen
begynna. Den mot en viss abskissa x svarande ordinatan
y kan påtagligen beräknas ur y = r − (r² − x²)0,5. Kröhnkes
bok har äfven en serie tabeller för hvarandra motsvarande
värden på x, r och y. För att kunna belysa genom
exempel bifoga vi äfven ett utdrag ur denna tabellserie.
=============================+==============================
Curven- Abscisse. Ordinate. | Curven- Abscisse. Ordinate.
länge. | länge.
------- -------- -------- | ------- --------- ---------
25 24,998 0,208 | 325 322,463 35,071
50 49,991 0,833 | 350 346,832 40,648
75 74,969 1,875 | 375 371,106 46,632
För att kunna justera en stakad kurva, önskar man
konstant afstånd mellan kurvpunkterna. Detta afstånd tages
mindre för små än för stora radier. I Sverige användas
mest, såsom i ofvanstående tabell, 25 fots båglängder mellan
punkterna. En följd häraf är att man får ojemna
abskiss-längder. Det möter visserligen ingen svårighet att från
tangentpunkten A utsätta abskisser på afstånden 24,998,
49,991 … 322,463 etc. och att från de så erhållna
punkterna med tillhjelp af korstafla staka ut de motsvarande
ordinaterna 0,208, 0,833 … 35,071, men det är ej fullt
lämpligt att så gå till väga. Sådane ojemna afstånd äro
besvärliga att med kedja utsätta, emedan längder under 50
linier måste efter ögonmått uppskattas. Bättre är att från
tangentpunkten utsätta punkter i tangenten på den konstanta
båglängden — här således 25 fot — från hvarandra och att
sedan göra en tillbaryckning med skilnaden mellan
båglängden och abskissan. Tillbakaryckningen, som i allmänhet är
temligen obetydlig, kan lätt göras med tillhjelp af en
graderad stake eller en afvägningsstång. Man förfar alltså i
förevarande exempel på följande sätt: Man utsätter på hvar
25:te fot (från A räknadt) punkterna l, 2, 3 etc. och gör
detta i och för tidsbesparing samtidigt med utmätandet af
tangentiängden 373,6 genom att först från B afsätta 23,6 —
då återstår 350 — och genom att sedan utsätta 25 fot 14
gånger. Man erhåller sålunda på samma gång tangentpunkten
och de ifrågavarande punkterna samt undviker att mäta två
gånger i tangenten. Kurvstakningen börjar nu från A. Vid
1 (fig. 232, pl. 9) är tillbakaryckningen 25 − 24,998 = 0,002;
vid 2 är den 50 − 49,991 = 0,009, d. v. s. till en början så
obetydlig, att man vid den ej behöfver fasta afseende; men
den ökas med båglängden och är vid 325 fot från A 325
− 322,46 = 2,24. Korstaflan uppställes ej i de första
punkterna, utan först, när ordinaterna blifva så stora, att den räta
vinkeln ej kan utsättas efter Ögonmått. Såsom bekräftelse
på att kurvan är riktig har man, att de båda armarne från
hvardera tangenten gå i hvarandra. Det må erinras, att
hela kurvlängden endast undantagsvis är multipel af
båglängden mellan kurvstakarne och att derför de båda sista
stakarne ej få detta afstånd mellan sig.
Efter att hafva principielt redogjordt för kurvstakning
med ordinater, må vi tillfoga några anmärkningar från
praktisk synpunkt. Hvad först och främst beträffar
bestämningen af centrivinkeln genom att med kedja mäta triangeln
B a h, så måste man såväl vid utsättning af punkterna a
och h som vid uppmätning af sidan s bemöda sig om all
möjlig skärpa; ty endast i så fall erhåller man vinkeln
och tangentlängden med erforderlig noggrannhet. Vidare
bör man hålla linierna rena, i det man viker alla sådane
stakar, som ej ursprungligen bestämma dem, åt sidan. Vid
kedjemätningen i tangenterna betecknas punkterna lämpligen
med stickor. Dessa stickor behofva ej med någon synnerlig
noggrannhet inriktas i tangenten; deremot bör detta ske
med de, genom tillbakaryckning bestämda fotpunkterna för
ordinaterna, ty ordinaterna bli eljest felaktiga med dessa
punkters afvikelser ur linien, afvikelser, som är sä mycket
farligare, som de nästan ega rum vinkelrätt mot kurvan.
Fotpunkten för korstaflan bör derför bestämmas med lod eller
lodstake och under inriktning efter de, tangenterna
ursprungligen bestämmande stakarne. Innan man lemnar en i
kurvan utsatt stake, bör man efter ögonmått kontrollera dess
ställning. Detta sker, i det man efterser huruvida den
föregående staken afviker med den konstanta pilhöjden från
kordan mellan den utsatta och den näst föregående staken.
Sålunda bör b afvika från a c lika mycket som a afviker från
A b, o. s. v.
Visar sig ett beaktansvärdt fel, så upprepas mätningen
för staken i fråga; visar sig deremot blott ett mindre fel, så
låter man det vara, tills hela kurvan blifvit stakad. Först
då är det möjligt, att på ofvannämnde sätt skarpt afgöra,
hvilka stakar som kommit att få felaktiga platser och att
vidtaga erforderlig justering af kurvan.
237. Stakning med hjelptangent. Kurvstakningen
försvåras och blir osäker i den mån ordinaterna blifva stora.
Detta förhållande börjar redan, då de öfverstiga
kedjelängden. För att i större kurver undvika stora ordinater, brukar
man med fördel använda hjelptangenten b e (fig. 231, pl. 9).
Läget af denna fås genom att man afsätter A b = D e =
A C tang (C∕4) i hvardera linien. För att få tangentpunkten M
har man att från b eller e likaledes afsätta A C tang C∕4. Man
kontrollerar härvid huruvida b e = 2 A C tang C∕4. Man kan
äfven kontrollera genom att mäta den i tabellen upptagna
linien B M. Stakningen fortgår sedan åt ömse sidor från
M och på samma sätt som i de båda andra tangenterna.
238. Stakning, då liniernas skärningspunkt är oåtkomlig.
Skulle punkten B vara otillgänglig, så sammanbinder man
de båda linierna med en linie f g, mäter denna linie samt
vinklarne α och β. Man beräknar sedan C = α + β, B f =
= f g sin β∕sin C och B g = f g sin α∕sin C samt bestämmer
tangent-punkterna i det man från f utsätter A B − B f och från g
utsätter B D − B g. Vinklarne α och β kunna härvid, endast
om synnerlig omsorg iakttages, med erforderlig noggrannhet
bestämmas genom kedjemätning. Deras beräkning
underlättas i så fall på förut anfördt sätt med tillhjelp af
Kröhnkes tabell.
239. Stakning med inryckning. Detta stakningssätt är
betydligt snabbare, men mindre tillförlitligt än föregående.
Man bestämmer centrivinkeln och tangentlängden på samma
sätt som i föregående fall och börjar, sedan tangentpunkterna
blifvit utsatta, stakningen i hvar och en af dem på
följande sätt.
Man afsätter (fig. 233, pl. 9), kedjelängden l från D,
vrider kedjan kring D inåt och nedsätter i skärningspunkten
mellan kedjans båge och en båge med den beräknade
kordan s till radie och a till medelpunkt staken 1; man
utsätter sedan i den förlängda linien D 1 ånyo en kedjelängd,
vrider kedjan kring 1 och nedsätter i skärningspunkten
mellan kedjans båge och en båge med 2 s till radie samt b till
medelpunkt staken 2, och fortsätter sålunda att utsätta
stakar, i det man rycker in med 2 s (endast med s närmast
före tangentpunkterna). Beräkningen af s sker, alldenstund
2 s∶l = l∶r ur s = l²∕2 r = 1250∕r,
om kedjelängden är 50.
Stakningens noggrannhet beror hufvudsakligen på, att
stakarne a, b etc. blifva skarpt inriktade och att
kurvstakarne skarpt inskäras. Det senare sker lämpligast, genom
att man med högra handen vrider kedjan kring D, 1 etc.
och med venstra handen en stake, hvarpå s och 2 s blifvit
utsatta, kring a, b etc. Detta stakningssätt synes för ögat
lemna en vacker kurva ända tills anslutning skall göras till
nästa tangent eller till en från den utstakad båge. Då visar
sig ofta i denna anslutning ett fel af beaktansvärd storlek.
Detta härleder sig deraf, att de enstaka felen genom detta
stakningssätt fortplantas och föranleda att kurvan kröker sig
för mycket eller för litet. Man bör med anledning häraf
staka halfva kurvan från hvardera hållet.
Det torde knapt behöfva påpekas, att man genom att
inrycka med s bestämmer en tangent (3 t) till kurvan och
att man således kan med lätthet till kurvan hvar som helst
ansluta en tangerande linie.
240. Stakning af en s-kurva. I allmänhet låter man
ej vid dylika kurver de båda bågarne öfvergå i hvarandra;
vanligen sammanbindas de (fig. 234, pl. 9) af ett rätlinigt
element. Man stakar, enligt något af förut anförde sätt,
hvardera kurvan för sig, sedan man först genom lämpligt val
af radier förvissadt sig, att de båda närmast liggande
tangentpunkterna ej falla innanför hvarandra.
241. Stakning af en kurva (tunnelkurva) med teodolit.
På samma gång vi vilja visa huru en kurva stakas med
teodolit, hafva vi ansett det lämpligt att framhålla huru man
kan gå till väga, då, såsom ofta vid de kurver, der detta
stakningssätt är nödvändigt, de förberedande mätningarne
försvåras af ogynnsamma terrängförhållanden.
Om (fig. 235, pl. 9) linierna A B och B D skola
sammanbindas med en kurva, men punkten B är otillgänglig,
så kan ej vinkeln B mätas; och äfven om den vore bekant
och således tangentlängden beräknelig, så kunde man likväl
ej mäta sig fram till tangenteringspunkterna, d. v. s.
bestämma deras läge. Man blir i sådane fall nödgad att på
omvägar göra detta.
Kunde två punkter, t. ex. a och b, sammanbindas med
en rät linie, så behöfde man blott mäta vinklarne A b a och
D a b samt sidan a b för att på så satt som i 238 är anfördt,
beräkna vinkeln C, tangentlängden samt sidorna A b och D a,
och från de åtkomliga punkterna a och b utsätta
tangentpunkterna A och B. Nu är imellertid problemet ytterligare
försvåradt deraf, att man endast ut efter en bruten linie kan
mäta sig fram från a till b. Det återstår derför endast att
mäta vinklarne a, 1, 2, 3 och b samt sidorna a͞1, 1͞2, 2͞3,
och 3͞b, och att på grund häraf beräkna sidan a b samt
vinklarne A b a och D a b. Vinklarne mätas med teodolit enligt
de i 192 för bruten liniemätning gifna föreskrifter, och sidorna
mätas, alldenstund det vid sådane fall som det förevarande
ofta är fråga om stor noggrannhet, lämpligast med
träbasstänger på sätt i 94 finnes anfördt.
Enligt de i 193 befintliga, allmängiltiga formlerna för
bruten liniemätning är, om a͞1 förlänges och b e drages
vinkelrätt mot dess förlängning,
Äro a e och b e beräknade, så fås
A b a = b − δ͵,
samt slutligen vinkeln C i månghörningen C A b a D ur
Såsom kontroll på att föregående räkneoperationer äro
rätt utförda lemnar månghörningen C A b 3 2 1 a D
Emedan A B = B D = r tang (C∕2), aB = (a b∕sin C) sin A b a och
b B = (a b∕sin C)∙sin D a b, så fås slutligen
Har b A och a D blifvit från b och b utsatta, så kan
kurvstakningen samtidigt begynna i A och D. Under
sådane terrängförhållanden som här förutsättas, kan
naturligtvis ej någon koordinatstakning komma i fråga, utan måste
kurvan, som ofta i dylika fall blir en tunnelkurva, stakas
med teodolit. Man beräknar för detta ändamål kordan som
svarar mot en antagen centrivinkel φ [A m = m n = 2r sin (φ∕2)],
centrerar teodoliten öfver A, inriktar tuben i linien A F,
afläser samt vrider den 180 − φ∕2 och får riktningen af A m
bestämd. Utsättes nu från A kordans längd, så erhålles
punkten m i kurvan. Instrumentet centreras nu öfver m,
tuben inriktas på A och vrides efter förutgången afläsning
vinkeln 180 − φ, och i den så bestämda riktningen utsättes
punkten n. På samma sätt bestämmas följande punkter i
kurvan i den mån arbetarne hinna arbeta undan. Så, länge
samma kordlängd användes, blir brytningsvinkeln med undantag
för tangentpunkterna 180 − φ. Vill man för att kontrollera
sig, eller af annan anledning i en punkt o använda den körda,
som svarar mot centrivinkeln ψ, sä blir brytningsvinkeln i o
tydligen 180 − (φ + ψ)∕2. Att intet hinder möter för kurvans
stakning samtidig från A och B är tydligt, och att utgå från
båda är alltid förenadt med fördelar. För att
sammanträffning skall ega rum, måste instrumentet omsorgsfullt
centreras öfver punkterna, tuben på dem noga inställas samt
kordlängderna skarpt utsättas. Hvarje punkt bör utmärkas
genom ett fint ritskors på en neddrifven dubb. Först
inriktas dubben, och sedan bestämmes genom förnyad inriktning
punktens läge på honom.
I stället för att grunda bestämningen af punkterna A
och D på en bruten liniemätning kan man, med vinnande af
större skärpa, der så låter sig göra, äfven grunda den på
en trigonometrisk triangelmätning. I så fall anslutas de båda
gifna linierna i två punkter a och b till ett triangelnät, och
på grund häraf beräknas a b samt vinklarne A b a och D a b).
För de stora tunnelstakningarne vid Mont Ceni och
S:t Gotthard hafva trigonometriska triangelmätningar blifvit
verkstälda.
242. Stakning enligt "fjerdedelsmetoden" består uti
insättning af kurvpunkter mellan tre gifna, symmetriskt
belägna kurvpunkter, oaktadt radien är obekant. Äro (fig.
231) d, A och C dessa punkter (man fäste sig ej vid att A
är tangentpunkt), så erhålles en punkt i kurvan, om A C
stakas och halfveras samt om från den så erhållna midtpunkten pilhöjden h∕4 utsättes.
Genom att på detta sätt från
kordan, som sammanbinder den sist bestämda punkten med
någon af de gifna punkterna, utsätta den föregående
pilhöjden, dividerad med 4, kan man undan för undan bestämma
huru många punkter som helst.
Det behöfver knapt påpekas, att man på detta sätt kan
öfver hvarje korda utstaka en cirkelbåge med hvilken
pilhöjd som helst.
Parabelkurver.
243. Om man enligt formeln y = x²∕2r söker
motsvarande värden på x och y, och med dessa koordinater
bestämmer punkter, så erhålles en parabelkurva, som, när r är stor
och bågen är liten, praktiskt sedt sammanfaller med
cirkelkurvan.
Följande sätt att staka parabelkurver förutsätta inga
förberedande beräkningar. Låt (fig. 236, pl. 9) B C och B Ä
vara de båda linierna samt a och e͵ de på förhand
godtyckligt antagna tangeringspunkteina. Man indelar B a och B e͵
i lika många, i hvardera linien lika stora delar, utsätter
stakarne l, 2, 3 och 4 i linie med b b͵, c c͵, d d͵, och e e͵, utgår
sedan från e͵ och nedsätter stakar i skärningspunkterna
mellan de på hvarandra följande linierna. Dessa
skärningspunkter tillhöra parabelkurvan.
Vill man staka en s-kurva, så utdrages e e͵ till f, och
sedan afsattes A f i linien A D lika många gånger som
antalet delar hvari A e͵ indelas. Sedermera förfares vid
stakningen af bågen e͵ D på samma sätt som vid stakningen af
bågen a e.
Detta sätt att staka kurver medgifver, alldenstund
tangentpunkterna kunna väljas fritt, kurvans formning efter för
handen varande terrängförhållanden, men har olägenheten
att fordra stort utrymme. I den mån den inre vinkeln
mellan tangenterna är spetsig, måste tangenterna indelas i
små delar för att kurvan må ansluta sig till dem.
*
Tabell 10. Meter, decimeter, centimeter och millimeter förvandlade till svenska fot, tum, linier och gran.
Meter. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
————— ——————— ——————— ——————— ——————— ——————— ——————— ——————— ——————— ——————— ———————
0 0,000 3,368 6,736 10,104 13,472 16,841 20,209 23,577 26,945 30,313
10 33,681 37,049 40,417 43,785 47,153 50,522 53,890 57,258 60,626 63,994
20 67,362 70,730 74,098 77,466 80,834 84,203 87,571 90,939 94,307 97,675
30 101,043 104,411 107,779 111,147 114,515 117,884 121,252 124,620 127,988 131,356
40 134,724 138,092 141,460 144,828 148,196 151,565 154,933 158,301 161,669 165,037
50 168,405 171,773 175,141 178,509 181,877 185,246 188,614 191,982 195,350 198,718
60 202,086 205,454 208,822 212,190 215,558 218,927 222,295 225,663 229,031 232,399
70 235,767 239,135 242,503 245,871 249,239 252,608 255,976 259,344 262,712 266,080
80 269,448 272,816 276,184 279,552 282,920 286,289 289,657 293,025 296,393 299,761
90 303,129 306,497 309,865 313,233 316,601 319,970 323,388 326,706 330,074 333,442
Tabell 11. Svenska fot, tum och linier förvandlade till meter, decimeter, centimeter och millimeter.
Fot. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
——— —————— —————— —————— —————— —————— —————— —————— —————— —————— ——————
0 0,000 0,297 0,594 0,891 1,188 1,485 1,781 2,078 2,375 2,672
10 2,969 3,266 3,563 3,860 4,157 4,454 4,750 5,047 5,344 5,641
20 5,938 6,235 6,532 6,829 7,126 7,423 7,719 8,016 8,313 8,610
30 8,907 9,204 9,501 9,798 10,095 10,392 10,688 10,985 11,282 11,579
40 11,876 12,173 12,470 12,767 13,064 13,361 13,657 13,954 14,251 14,548
50 14,845 15,142 15,436 15,736 16,033 16,330 16,626 16,923 17,220 17,517
60 17,814 18,111 18,408 18,705 19,002 19,299 19,595 19,892 20,189 20,486
70 20,783 21,080 21,377 21,674 21,971 22,268 22,564 22,861 23,158 23,455
80 23,752 24,049 24,346 24,643 24,940 25,237 25,533 25,830 26,127 26,424
90 26,721 27,018 27,315 27,612 27,909 28,206 28,502 28,799 29,096 29,393
Tab. 12. Qvadrat-meter, -decim., -centim. och -millim. förvandlade till svenska qvadrat-fot, -tum, -linier och -gran.
| Qv.meter | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | 0,000 | 11,344 | 22,689 | 34,033 | 45,377 | 56,721 | 68,066 | 79,410 | 90,754 | 102,099 | 10 | 113,443 | 124,787 | 136,132 | 147,476 | 158,820 | 170,164 | 181,509 | 192,853 | 204,197 | 215,542 | 20 | 226,886 | 238,230 | 249,575 | 260,919 | 272,263 | 283,607 | 294,952 | 306,296 | 317,640 | 328,985 | 30 | 340,329 | 351,673 | 363,018 | 374,362 | 385,706 | 397,050 | 408,395 | 419,739 | 431,083 | 442,428 | 40 | 453,772 | 465,116 | 476,461 | 487,805 | 499,149 | 510,493 | 521,838 | 533,182 | 544,526 | 555,871 |
50 567,215 578,559 589,904 601,248 612,592 623,936 635,281 646,625 657,969 669,314
60 680,658 692,002 703,347 714,691 726,035 737,379 748,724 760,068 771,412 782,757
70 794,101 805,445 816,790 828,134 839,478 850,822 862,167 873,511 884,855 896,200
80 907,544 918,888 930,233 941,577 952,921 964,265 975,610 986,954 998,298 1009,643
90 1020,987 1032,331 1043,676 1055,020 1066,364 1077,708 1089,053 1100,397 1111,741 1123,086
Tab.13. Svenska qvadrat-fot, -tum, -linier och -gran förvandlade till qvadrat-meter., -decim., -centim. och -millim.
Qv.fot 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
—————— ————— ————— ————— ————— ————— ————— ————— ————— ————— —————
0 0,000 0,088 0,176 0,265 0,353 0,441 0,529 0,617 0,706 0,794
10 0,882 0,970 1,058 1,147 1,235 1,323 1,411 1,499 1,588 1,676
20 1,764 1,852 1,940 2,029 2,117 2,205 2,293 2,381 2,470 2,558
30 2,646 2,734 2,822 2,911 2,999 3,087 3,175 3,263 3,352 3,440
40 3,528 3,616 3,704 3 793 3,881 3,969 4,057 4,145 4,234 4,322
50 4,410 4,498 4,586 4,675 4,763 4,851 4,939 5,027 5,116 5,204
60 5,292 5,380 5,468 5,557 5,645 5,733 5,821 5,909 5,998 6,086
70 6,174 6,262 6,350 6,439 6,527 6,615 6,703 6,791 6,880 6,968
80 7,056 7,144 7,232 7,321 7,409 7,497 7,585 7,673 7,762 7,850
90 7,938 8,026 8,114 8,203 8,291 8,379 8,467 8,555 8,644 8,732
Tabell 14. Hektar förvandlade till tunnland och kappland.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
————————— ————————— ————————— ————————— ————————— ————————— ————————— ————————— ————————— —————————
0 00: 0,0 2: 0,8 4: 1,6 6: 2,5 8: 3,3 10: 4,1 12: 4,9 14: 5,8 16: 6,6 18: 7,4
10 20: 8,2 22: 9,0 24: 9,9 26: 10,7 28: 11,5 30: 12,3 32: 13,2 34: 14,0 36: 14,8 38: 15,6
20 40: 16,4 42: 17,3 44: 18,1 46: 18,9 48: 19,7 50: 20,6 52: 21,4 54: 22,2 56: 23,0 58: 23,9
30 60: 24,7 62: 25,5 64: 26,3 66: 27,2 68: 28,0 70: 28,8 72: 29,6 74: 30,5 76: 31,3 79: 0,1
40 81: 0,9 83: 1,7 85: 2,5 87: 3,4 89: 4,2 91: 5,1 93: 5,8 95: 6,7 97: 7,5 99: 8,3
50 101: 9,1 103: 9,9 105: 10,8 107: 11,7 109: 12,5 111: 13,2 113: 14,1 115: 14,9 117: 15,7 119: 16,5
60 121: 17,3 123: 18,2 125: 19,0 127: 19,9 129: 20,7 131: 21,5 133: 22,3 135: 23,2 137: 23,9 139: 24,7
70 141: 25,6 143: 26,4 145: 27,2 147: 28,1 149: 28,9 151: 29,7 153: 30,5 155: 31,3 158: 0,1 160: 1,0
Tabell 15. Tunnland förvandlade till hektar.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 8
————— ————— ————— ————— ————— ————— ————— ————— ————— —————
0 0,00 0,49 0,99 1,48 1,97 2,47 2,96 3,46 3,95 4,44
10 4,94 5,43 5,92 6,42 6,91 7,40 7,90 8,39 8,89 9,38
20 9,87 10,37 10,86 11,35 11,85 12,34 12,83 13,33 13,82 14,32
30 14,81 15,30 15,80 16,29 16,78 17,28 17,77 18,27 18,76 19,25
40 19,75 20,24 20,73 21,23 21,72 22,21 22,71 23,20 23,70 24,19
50 24,68 25,18 25,67 26,16 26,66 27,15 27,64 28,14 28,63 29,13
60 29,62 30,11 30,61 31,10 31,59 32,09 32,58 33,07 33,57 34,06
70 34,56 35,05 35,54 36,04 36,53 37,02 37,52 38,01 38,50 39,00
Tabell 16. Kappland förvandlade till hektar.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
———— ———— ———— ———— ———— ———— ———— ———— ———— ————
0,02 0,03 0,05 0,06 0,08 0,09 0,11 0,12 0,14 0,15
Anm. l tab. 14 utmärka talen efter : kappland. Ex. 50 hektar = 101 tunnland och 9,1 kappland
Tab. 17.Kubik-meter, -decimeter, -centimeter och -millimeter förvandlade till kubik-fot, -tum, -linier och -gran.
K.-meter 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
———————— ———————— ———————— ———————— ———————— ———————— ———————— ———————— ———————— ———————— ————————
0 0,000 38,209 76,418 114,627 152,836 191,045 229,253 267,462 305,671 343,880
10 382,089 420,298 458,507 496,716 534,925 573,134 611,342 649,551 687,760 725,969
20 764,178 802,387 840,596 878,805 917,014 955,223 993,431 1031,640 1069,849 1108,058
30 1146,267 1183,476 1222,685 1260,894 1299,103 1337,312 1375,520 1413,729 1451,938 1490,147
40 1528,356 1566,565 1604,774 1642,983 1681,192 1719,401 1757,609 1795,818 1834,027 1872,236
50 1910,445 1048,654 1986,863 2025,072 2063,281 2101,490 2139,698 2177,907 2216,116 2254,325
60 2292,534 2330,743 2368,952 2407,161 2445,370 2483,579 2521,787 2559,996 2598,205 2636,414
70 2674,623 2712,832 2751,041 2789,250 2827,459 2865,668 2903,876 2942,085 2980,294 3018,503
80 3056,712 3091,921 3133,130 3171,339 3209,548 3247,757 3285,965 3324,174 3362,383 3400,592
90 3438,801 3477,010 3515,219 3553,428 3591,637 3629,846 3668,054 3706,263 3744,472 3782,681
Tab. 18. Kubik-fot, -tum, -linier och gran förvandlade till kubik-meter, -decimeter, -centimeter och -millimeter.
Kub.fot. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
———————— ————— ————— ————— ————— ————— ————— ————— ————— ————— —————
0 0,000 0,026 0,052 0,079 0,105 0,131 0,157 0,183 0,210 0,236
10 0,262 0,288 0,314 0,341 0,367 0,393 0,419 0,445 0,472 0,498
20 0,524 0,550 0,576 0,603 0,629 0,655 0,681 0,707 0,734 0,760
30 0,786 0,812 0,838 0,865 0,891 0,917 0,943 0,969 0,996 1,022
40 1,048 1,074 1,100 1,127 1,153 1,179 1,205 1,231 1,258 1,284
50 1,310 1,336 1,362 1,389 1,415 1,441 1,467 1,493 1,520 1,546
60 1,572 1,598 1,624 1,651 1,677 1,703 1,729 1,755 1,782 1,808
70 1,834 1,860 1,886 1,913 1,939 1,965 1,991 2,017 2,044 2,070
80 2,096 2,122 2,148 2,175 2,201 2,227 2,253 2,279 2,306 2,332
90 2,358 2,384 2,410 2,437 2,463 2,489 2,515 2,541 2,568 2,594
Innehållsförteckning.
*
Inledning.
Hjelpmedel för inställning i lodlinien och i horisontalplanet, s. 11.
Sättvågen sid. 12. — Rörvattenpasset, 13. Blåsans utslag, 14.
Känslighet, 14. Temperaturens inflytande, 15. Rörets infattning, 16.
Pröfning och justering, 17. Vattenpassets användning, 21.
— Dosvattenpasset, 23.
Hjelpmedel för att angifva eller bestämma riktningar, sid. 24.
Dioptern, 24. Noggrannhet, 25. — Den enkla astronomiska tuben,
26. Förstoring, 27. Synfält, 28. Ljusstyrka, 29. Hårkorset, 31.
Tubens inställning på ett föremål, 31. — Den sammansatta
astronomiska tuben, 32. Den sferiska aberrationen, 33. Den
chromatiska aberrationen, 33. Det sammansatta objektivet, 34. Det
sammansatta okularet, 34. — Tubens pröfning och justering, 40.
Pröfning af tydlighet och skärpa, 40. Objektivets och hårkorsets
centrering vid den vridbara tuben, 40.
Hjelpmedel för noggrann afläsning af längder och vinklar, s. 43.
Nonien, 43. Den efterlöpande nonien, 43 Den förelöpande
nonien, 45. — Skrufmikroskopet, 45.
Signaler för triangelpunkter af högre ordning, sid. 48.
Pyramidsignaler, 48. Andra signaler, 49.
Signaler vid detaljmätningar, sid. 49.
Stakar, 49. Stakning af räta linier, 50. Stickor och pålar, 51.
Heliotroper, sid. 51.
Heliotrop af Gauss, 51. Heliotrop af Bertram, 52. Heliotrop af
Steinheil, 52. Heliotropljuset, 53.
Teodoliten, sid. 54.
Teodolitens beståndsdelar, 55. — Teodolitens uppställning öfver
stationspunkt, 62. — Teodolitens fel, 63. I. Teodolitens fel, som
kunna bortskaffas, 64. Konstruktionen a, 64. Konstruktionen b,
72. Konstruktionen c, 72. Inflytandet af de tre axelfelen, 74. —
II. Teodolitens konstanta fel, 83. Excentricitet mellan
horisontalcirkeln och alhidadaxeln, 83. Excentricitet mellan alhidaden
(noniebågarne) och alhidadaxeln, 88. Excentricitet mellan vertikalcirkeln
och horisontalaxeln, 89. Exentricitet mellan vertikalcirkeln och
noniebågarne, 89. Excentricitet mellan tuben och alhidadaxeln, 89.
Delningsfel, 91. Axlarne ej vinkelräta mot cirklarnes planer, 91.
Afvikelse mellan repetitionsaxeln och alhidadaxeln, 91. Inflytandet af
olika ringdiametrar, 92. — Teodolitens användning för mätning af
horisontalvinklar, 92. Noggrannhet vid mätning af
horisontalvinklar, 98. — Teodolitens användning för mätning af vertikalvinklar,
99. — Stakning af räta linier med teodolit, 102.
Vinkeltrumman, sid. 105.
Användning, 105.
Vinkelmätningskompassen, sid. 106.
Pröfning och justering, 107. Användning, 108. Noggrannhet, 109.
Sextanten, sid. 109.
Sextantens pröfning och justering, 111. Sextantens användning, 112.
Noggrannhet, 112. Douglas" sextant, 112.
Spegelcirkeln, sid. 113.
Pröfning och justering, 115. Användning, 115.
Basapparater, sid. 116.
Bessels apparat, 116. Torneåapparaten, 118. Basstängernas
användning, 119. Noggrannhet, 119.
Mäthjul, sid. 120.
Enkla mätstänger, sid. 120.
Direkt mätning på terrängen, 121. Staffelmätning, 121. Mätning
efter spända snören, 121. Noggrannhet, 124.
Landtmäterikedjan, sid. 125.
Felorsaker och noggrannhet vid kedjemätning, 127.
Afståndsbestämning genom stegning, sid. 129.
Distansmätare (se äfven Åttonde kapitlet), sid. 129.
Korstaflan, sid. 130.
Pröfning, 130. Korstaflans användning, 131. Noggrannhet, 132.
Vinkeltrumman, sid. 132.
Vinkelspegeln, sid. 132.
Pröfning och justering, 133. Användning, 134.
Prisman, sid. 134.
Pröfning, 136.
Prismkorset, sid. 137.
Pröfning och justering, 138. Användning, 138.
Afvägningsstången, sid. 140.
Afvägningsinstrumentet, sid. 141.
Tubafvägningsinstrumentets beståndsdelar, 142.
— Afvägningsinstrument med fast tub, 144. Pröfning och justering, 144. —
Afvägningsinstrument med vridbar tub, 149. Pröfning och justering,
150. Afvägningsinstrumentets användning, 154. Noggrannhet, 158.
Afvägningsspegeln, sid. 159.
Pröfning och justering, 160. Användning, 160.
Barometrar, sid. 160.
Qvicksilfverbarometern, 161. Korrektion för observerade
barometerhöjder, 162. Barometerformelns härledning, 164.
Qvicksilfverbarometerns användning för höjdmätning, 169. Noggrannhet, 170.
— Aneroidbarometern, 171. Aneroidafläsningens reduktion till
qvicksilfverpelarhöjd vid 0°, 173. Användning, 175. Noggrannhet, 179.
Mätbordet, sid. 180.
Att fästa papperet på taflan, 182.
Diopterlinialen, sid. 183.
Pröfning och justering, 183.
Tublinialen, sid. 184.
Pröfning och justering, 185.
Orienteringskompassen, sid. 185.
Mätbordets och syftlinialens användning vid grafisk mätning, 186.
Mätbordets uppställning och orientering, 186. — Olika sätt att
grafiskt bestämma punkter, 187. Att bestämma en punkt genom
framåtafskärning, 187. Att bestämma en punkt genom
bakåtafskärning, 188. Att bestämma en punkt genom polarmätning, 189. Att
då längden af en linie, hvars ändpunkter äro otillgängliga, är gifven,
orientera mätbordet i en närliggande punkt, 190. Att när tre
punkter äro gifna, orientera mätbordet i en fjerde punkt, 191. Att, när
när två punkter äro gifna orientera i en punkt, hvars afstånd till en
af dessa punkter är kändt, 196. Noggrannhet vid mätning med
mätbord och syftlinial, 196.
Reichenbachs distans- och höjdmätare, sid. 198.
Teori, 200. Pröfning och justering, 203. Instrumentets
användning vid samtidig plan- och höjdmätning, 204. Noggrannhet, 211.
Stampfers distans- och höjdmätare, sid. 212.
Teori, 212. Detaljbeskrifning, 214. Bestämning af instrumentets
konstant, 215. Afståndsmätning, 217. Noggrannhet vid
afståndsmätning, 218. Höjdmätning, 219. Noggrannhet vid höjdmätning,
221. Konstruktionsfel vid Stampfers distansmätare, 222.
Poletten jemte hjelpmedel, sid. 223.
Ytmätning med passare och cirkel, 224. — Liedbecks
ytberäknare, 225. Användning, 225. Justering, 226.
Linearplanimetern, sid. 226.
Teori, 228. Pröfning, 230. Noggrannhet, 230.
Amslers polarplanimeter, sid. 231.
Teori, 232. Pröfning och justering, 239. Instrumentets
användning, 240. Noggrannhet, 240.
Ljungströms cirkelplanimeter, sid. 241.
Teori, 242. Pröfning och justering, 243. Användning, 243.
Pantografen, sid. 244.
Användning, 246.
Bestämning af en orts meridian, sid. 249.
Stommätning, sid. 251.
Bruten liniemätning, 251. Beräkning af brytningspunkternas
koordinater, 253. Anslutning af ett linietåg till ett gifvet
koordinatsystem, 257. Slutna polygoner, 259. Noggrannhet vid bruten
liniemätning, 259. — Trigonometrisk triangelmätning af 3:dje eller 4:de
ordningen, 260. Beräkning af triangelpunkternas koordinater, 262.
Vinkelfelens utjemning, 264. Excentrisk vinkel mätning, 269.
Pothenots problem, 270. Hansens problem, 271. Noggrannhet vid
triangelmätning af 4:de ordningen, 273.
Detaljmätning, sid. 273.
Planmätning med kedja och korstafla (koordinatmätning}, 274.
Mätning på ömse sidor af en linie, 274. Mätning af en trakt på
grund af dess indelning i trianglar och triangelsidornas mätning, 275.
Mätning af en trakt på grund af dess inrutning, 277. Mätning af
en trakt på grund af bruten liniemätning, 277. Mätning af en trakt
på grund af triangelmätning, 278. Kartläggning af genom
koordinatmätning bestämda punkter, 279. Ytberäkning på grund af
koordinatmätning, 282. — Grafisk planmätning, 284. Kartläggning af
punkter på ömse sidor om en linie, 284. Detaljmätning grundad på
bruten liniemätning, 287. Detaljmätning genom paralleler, 289.
Detaljmätning på grund af gransk triangelmätning, 289.
Detaljmätning på grund af ett trigonometriskt nät af 4:de ordningen, 291.
Planmätning med distansmätare, 291. Grafisk detalj mätning af en
trakt, som fordrar flera mätblad, 293. Jemförelse mellan
koordinatmätning och grafisk mätning, 295.
Kartor, sid. 296.
Kartors konnektering, 298.
Bestämning af en orts polhöjd, sid. 299.
Trigonometrisk höjdmätning, sid. 300.
Om inflytandet af ljusstrålarnes refraktion vid mätning af
vertikalvinklar, 300. Den trigonometriska höjdmätningsformeln med konstant
refraktionskoefficient, 302. Sätt att göra mätningen oberoende af
refraktionen, 304. Noggrannhet vid trigonometrisk höjdmätning, 305.
Afvägning, sid. 307.
Längdprofiler, 307. — Tvärprofiler, 309. Arbetsprofiler, 311. —
Ytafvägning och upprättandet af nivåkartor, 313. Nivåkartors
egenskaper och användning, 318.
Stakning af cirkelkurver, 319. Stakning med ordinater, 319.
Stakning med hjelptangent; 322. Stakning, då liniernas
skärningspunkt är oåtkomlig, 323. Stakning med inryckning, 323. Stakning
af en s-kurva, 324. Stakning af en tunnelkurva, 324. Stakning
enligt "fjerdedelsmetoden", 326. — Parabelkurver, 327.
*
Förteckning öfver tabeller.
| 1. | Kollimationsfelets inflytande vid teodoliten, sid. 76. | 2. | Inflytandet af horisontalaxelns felläge, 79. | 3. | Sneda längders reduktion till horisonten, 124. | 4. | Kapillärdepressionen vid qvicksilfverbarometern, 163. | 5. | Den observerade barometerhöjdens reduktion till 0°, 164. | 6. | Barometerhöjdmätningstabell, 167 | 7. | Värden på 100 sin² v och 100 tang v för Reichenbachs distansmätare, 207. | 8. | Tabell för reduktionsdiagram vid Reichenbachs distansmätare, 209. | 9. | Värden på reduktionstalet; m s² i den trigonometriska höjdmätningsformeln, 304. | 10. | Meter till svenska fot, 328. | 11. | Svenska fot till meter, 328. | 12. | Qvadratmeter till svenska qvadratfot, 329. | 13. | Svenska qvadratfot till qvadratmeter, 329. | 14. | Hektar till tunnland och kappland, 330. | 15. | Tunnland till hektar, 330. | 16. | Kappland till hektar, 330. | 17. | Kubikmeter till svenska kubikfot, 331. | 18. | Svenska kubikfot till kubikmeter, 331. |
*
*